(後只人季 33n元向量的线性关系
3.3 n元向量的线性关系
线性组合和等价向量组 定义3.1n个数组成的有序数(a1,a2…an)称为 n元向量,其中a称为这n元向量的第个分量, 常用a或B表示n元向量。 n元列向量(常用): n元行向量:
一 .线性组合和等价向量组 定义3.1 n 个数组成的有序数 称为 n 元向量，其中 称为这n 元向量的第i个分量， 常用 或 表示n 元向量。 1 2 ( , , , ) n a a a i a 1 2 ( , , , ) T n = a a a 1 2 n a a a = n 元列向量（常用）： n 元行向量：
定义32两个n元向量: 2 a B 当他们各个分量对应相等时, 即a1=b2i=1,2,…,n,则称 bn)与B相等,记做a=B 定义32设n元向量a与β,k为数,则n元向量 +6 +b an+b,丿(kon称为c与β的和,k与&的数量乘积 ·通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算
1 2 , n a a a = 1 2 n b b b = 定义3.2 两个n 元向量： 当他们各个分量对应相等时， 即 则称 与 相等，记做 1 2 a b i n = = , 1,2, , , = . 定义3.2 设n 元向量 与 ，k为数，则n 元向量 1 1 2 2 , n n a b a b a b + + + 1 2 n ka ka ka 称为 与 的和， k与 的数量乘积。 • 通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算
定义33设一组向量B31,O2…,n,若存在一组 数k,k2…,kn,使 B=ka1+k2a2+…+knOn 则称β是向量组ax1,O2…mn的线性组合,或称β 可以由向量组C1,O2,…Cm线性表示。 (1)零向量0=(0,0…0)可以经任意向量组线性表示。 (2)任一n元向量a=(a12a2…an)可以经由n元向 量组e1=(1,02…,0),…en7=(0,0,…,1)线性表 示式:=C1e1+2e2+…"nen 向量是矩阵A各列向量a12Q2…Mm的线性组 合的两个充要条件: 线性方程组AX=β相容。 矩阵(a1,2…,On)的秩与矩阵(x12C2…,Cmn2B)相 同。且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出
定义3.3 设一组向量 ，若存在一组 数 ，使 1 2 , , , , m 1 2 , , , m k k k 1 1 2 2 m m = + + + k k k 则称 是向量组 的线性组合，或称 可以由向量组 线性表示。 1 2 , , , m 1 2 , , , m (1).零向量 可以经任意向量组线性表示。 (2).任一n 元向量 可以经由n 元向 量组 线性表 示式： 0 (0,0, 0)T = 1 2 ( , , , ) T = a a an 1 (1,0, ,0) , (0,0, ,1) T T T T n e e = = 1 1 2 2 . n n = + + e e e • 向量 是矩阵A各列向量 的线性组 合的两个充要条件： • 线性方程组 相容。 • 矩阵 的秩与矩阵 相 同。且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出。 1 2 , , , m AX = 1 2 ( , , , ) m 1 2 ( , , , , ) m
例1已知向量a1=(10,2,1),a2=(1,0,2,1), a3=(2,1,3。0)2,a4=(2,5,-1,4),试问a4可否经向 量组Cx1,C2,C3线性表示。 解记A=(G,2,3),A=(x1,a2,a3,a4) 1122 0215R3-2R A 203-1R-R 000 2-1-5 0-22 R+凡、0215凡凡交/11 122 0215 记 -1/2R40000 B 00 001-1 0000
例1 已知向量 试问 可否经向 量组 线性表示。 1 2 (1,0,2,1) , (1,0,2,1) , T T = = 3 4 (2,1,3,0) , (2,5, 1,4) , T T = = − 4 1 2 3 , , 解 记 1 2 3 1 2 3 4 A A = = ( , , ), ( , , , ). 1 1 2 2 0 2 1 5 2 0 3 1 1 1 0 4 A = − 3 1 R R − 2 R R 4 1 − R R 3 2 + 4 −1/ 2R 3 4 R R, 交换 1 1 2 2 0 2 1 5 0 2 1 5 0 0 2 2 − − − − 1 1 2 2 0 2 1 5 0 0 0 0 0 0 1 1 − 1 1 2 2 0 2 1 5 0 0 1 1 0 0 0 0 − 记 B
可以看出,==3,根据充要条件(2),可以得出 4可以经由C1,2,a3线性表示。 进一步求解线性表示式: 04 04 B R-2R02061/2R0103 R2-R,001-1 001-1 0000 0000 1001 R-R20103X=a1的解:x=1x2=3x=-1 001-1 0000 CA=c1+3,-c
可以看出， 根据充要条件(2) ，可以得出 可以经由 线性表示。 3, A A r r = = 4 1 2 3 , , 的解： B 1 3 R R − 2 2 3 R R- 1 1 0 4 0 2 0 6 0 0 1 1 0 0 0 0 − 3 1/ 2R 1 1 0 4 0 1 0 3 0 0 1 1 0 0 0 0 − R R 1 2 − 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 1 0 0 0 0 − 进一步求解线性表示式： AX 4 = 1 2 3 x x x = = = − 1, 3, 1 4 1 2 3 = + − 3
定义3.4若向量组1,O2,中每一个向量 )都可以经由向量组B12B2…,B线 性表示,则称向量组a1,O2…C1可以经B12B2…,B 线性表示。两个可以互相线性表示的向量组等价。 等价的向量组有以下性质: (1).自反性:每个向量组都与它自身等价; (2).对称性:若向量组I与向量组Ⅱ等价,则 向量组Ⅱ也与向量组I等价 (3).传递性:若向量组I与向量组Ⅱ等价,且向 量组Ⅱ与向量组Ⅲ等价,则向量组I与向量组Ⅲ 等价
定义3.4 若向量组 中每一个向量 都可以经由向量组 线 性表示，则称向量组 可以经 线性表示。两个可以互相线性表示的向量组等价。 1 2 , , , r ( 1,2, , ) i i r = 1 2 , , , r 1 2 , , , r 1 2 , , , r 等价的向量组有以下性质： (1). 自反性：每个向量组都与它自身等价； (2). 对称性：若向量组Ⅰ与向量组 Ⅱ等价，则 向量组Ⅱ也与向量组Ⅰ等价； (3). 传递性：若向量组Ⅰ与向量组 Ⅱ等价，且向 量组Ⅱ与向量组Ⅲ等价,则向量组Ⅰ与向量组Ⅲ 等价
二线性相关与线性无关 定义35对于向量组a1,2…a,(≥1),若存在全 不为零的数k,k2…,k,使 ka1+k2a2+…+k,a=0 成立,称向量组a1,O2,…,C线性相关;当且仅当 k1=k2=…=k,=0时,上面等式才成立,则称向量 组线性无关或者线性独立 由于当k=k2=…=k。=0时,等式必成立,因 此,只要当ka1+k2a2+…+k,ay=0,必有 k1=k2=…=k。=0,就可以得向量组线性无关
二.线性相关与线性无关 定义3.5 对于向量组 ，若存在全 不为零的数 ，使 成立，称向量组 线性相关；当且仅当 时，上面等式才成立，则称向量 组线性无关或者线性独立。 1 2 , , , ( 1) s s 1 2 , , , s k k k 1 1 2 2 0 s s k k k + + + = 1 2 , , , s 1 2 0 s k k k = = = = 由于当 时，等式必成立，因 此，只要当 ，必有 ，就可以得向量组线性无关。 1 2 0 s k k k = = = = 1 1 2 2 0 s s k k k + + + = 1 2 0 s k k k = = = =
例2设a1=(1,-2,3),a2=(0,2,-5),a3=(2,0,-4) 分别讨论向量组22,及向量组C12C2G是线性 相关还是线性无关。 解设k1+k2a2=0,即 0(0(k=0 k|-2|+k22|=0,1-2k+2k2=0 5)(0丿(3k1-5k2=0 解得k=k2=0,故a2C2线性无关。 设k1+k22+k33=0,即 0 2)(0k+2k3=0 k-2+k22+k30=0,1-2k1+2k2=0 5 0)(3k1-5k2-4k3=0
例2 设 分别讨论向量组 及向量组 是线性 相关还是线性无关。 1 2 3 (1, 2,3) , (0,2, 5) , (2,0, 4) T T T = − = − = − 1 2 , , 1 2 3 , , 解 设 k k 1 1 2 2 + = 0， 即 1 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 2 2 0 2 2 0 3 5 0 3 5 0 k k k k k k k = − + = − + = − − = ， 解得 k k 1 2 = = 0, 故 1 2 , 线性无关。 设 k k k 1 1 2 2 3 3 + + = 0， 即 1 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 0 2 0 2 0 2 2 0 0 2 2 0 3 5 4 0 3 5 4 0 k k k k k k k k k k + = − + + = − + = − − − =
解得k=-21k2=-2t,k3=1 令1=-1得k=2k2=2,k2=-1有21+2a2-a3=0 所以,C1,C2,C3线性相关 几个重要结论: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关。 (2).如果一个向量组中有一部分向量线性相关,则 整个向量组线性相关。 (3)如果一个向量组线性无关,则它的任意一部分 向量组必线性无关。 (4).当向量组仅含有一个向量时,若该向量是零向量 称向量组线性相关;若该向量是非零向量,称它 线性无关
解得 令 得 有 所以， 线性相关。 1 2 3 k t k t k t = − = − = 2 , 2 , , t = −1, 1 2 3 k k k = = = − 2, 2, 1, 1 2 3 2 2 0, + − = 1 2 3 , , 几个重要结论： (1). 任意一个包含零向量的向量组必线性相关。 (2). 如果一个向量组中有一部分向量线性相关，则 整个向量组线性相关。 (3). 如果一个向量组线性无关，则它的任意一部分 向量组必线性无关。 (4). 当向量组仅含有一个向量时，若该向量是零向量， 称向量组线性相关；若该向量是非零向量，称它 线性无关