(後只人季 14行列式按行(列)展开定理
1.4 行列式按行（列）展开定理
(後只人季 子式与代数余子式 二、按一行(列)展开定理 三、拉普拉斯定理
一、子式与代数余子式 二、按一行（列）展开定理 三、拉普拉斯定理
(後只人季 余子式与代数余子式 容易验证: 12 3 14233+a12233+a132143 23 123432-12213-m13231 32 =an1(a2g3-a2a32)+a1(a23a31-a21a3)+a3(a2a32-a2g3) 22 23 21 23 21a 23 a1 a 13 33 问题:一个高阶行列式是否可以转化为若干个 低阶行列式来计算?
11 23 32 12 21 33 13 22 31, 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a ( ) 11 22 33 23 32 = a a a − a a ( ) 12 23 31 21 33 + a a a − a a ( ) 13 21 32 22 31 + a a a − a a 3 1 3 3 2 1 2 3 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 a a a a a a a a a a a a a a = a − + 一、余子式与代数余子式 容易验证： 问题：一个高阶行列式是否可以转化为若干个 低阶行列式来计算？
(後只人季 定义1.5在n阶行列式A中,任意取定k 行k列,位于这些行、列相交处的元素 按原位置所构成的k阶行列式称为行列 式的一个k阶子式,记为M 在|A|中划去k阶子式M所在k行k列,余 下的元素按原位置构成的一个n-k阶 行列式,称为k阶子式M的余子式,记 为N
(後只人季 设k阶子式M位于行列式中第i1行,第2 行灬第行与第j1列,第j2列,…第 列,则称 1)1+2+…+ak+1+/2++JkN 为k阶子式M的代数余子式
()後大手 在n阶行列式中,把元素an所在的第i行和第j 列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做元素an 的余子式,记作M 记A=(-1)Mn叫做元素a2的代数余子式 例如 12 3 12 14 aa. 2 2. 23.24Ma-la 31 32 34 31 32 33C 34 42 44 41 42 3 44 +3 23 23
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 n aij i j n −1 aij M . ij 记 ( ) ij， i j Aij M + = − 1 叫做元素 aij 的代数余子式． 例如 4 1 4 2 4 3 4 4 3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 α α α α α α α α α α α α α α α α A = 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M23
(後只人季 例1设 1112C13观14C15 21 22 23 24 25 31 32 33 34 35 410424344观45 5152C5305455 A的第1、3行与第2、3列构成的二阶子式 M 12 13 32033
例1 设
(後只人季 M的余子式为 21024025 41 44 45 5105455 M的代数余子式为 )1+3+2+3 N=-N A|的元素a23的余子式为 11 12 14a 15 32 34 35 23 1231 41 42 44 a45 51a525455
(後只人季 A的元素a23的代数余子式为 A23=(-1) 1+3+2+3 23 23
()後大手 二、行列式按行(列)展开法则 定理1.2行列式等于它的任一行(列)的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和,即 A4=an41+a242+…+anAn(=12,…,m) 证 +0+…+00+a2+…+0…0+…+0
定理1.2 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即 A = αi1 Ai1 + αi2 Ai2 + + αi nAi n (i = 1,2, ,n) 证 n n nn i i i n n α α α α α α α α α A 1 2 1 2 1 1 1 2 1 = + 0 + + 0 0 + + + 0 0 + + 0 + 二、行列式按行（列）展开法则