第五讲习题解答(讲义) 1.判断下列各变换是否是线性变换 解:()是,对21,2∈R和c∈R,有 x1+x2+k(y+y2) y1+y2 x1+91+ k(cy1 (b).不是,对wx,y∈V,有 o(x+y=afa+a=o(x)+o(y (c).是,对vf1(x),f2(x)∈F[]h和vc∈F,有 a(f1(x)+f2(x)=f1(x+1)+f2(x+1)=a(f1(x)+a(f2(x) o(efi(a))=cfi(a+1)=co(i(a)) (d).是,对vf1(x),f2(x)∈F[x]l和ve∈F,有 a(f1(x)+f2(x)=f1(x0)+f2(xo)=a(f1(x))+a(f2(x) o(efi(a))=cfi()= co(i(r)) (e).是,对vf1(x),f2(x)∈F[xln和c∈F,有 a(f(x)+f2(x)=(x+a)x(f1(x)+f2(x) =(x+a)(x)+(x+a)元2(x)=(1(x)+a(2(x) d o(cfi()=(+a(cfi())=co(i(a) (f).是,对ⅤX,Y∈F"xn和Vc∈F,有 o(X+Y)=B(X+Y)C=BXC+BYC=0(X)+o(Y) o(cX)=b(eX)C= co(x) (g).是,对vf1(t),2(t)∈C0,2]和vc∈R,有 a(f1(t)+f2(t) f1(x)+f2(x)]sin(t-x)dx=a(f1(t)+a(2(t) a(cfi(t)=/cf(z) in(t-rdr=co(f(t) (h.是.(证明略)
第五讲习题解答(讲义) 1. 判断下列各变换是否是线性变换. 解: (a). 是, 对∀ " x1 y1 # , " x2 y2 # ∈ R 2 和 c ∈ R, 有 σ " x1 y1 # + " x2 y2 #! = σ " x1 + x2 y1 + y2 #! = " x1 + x2 + k(y1 + y2) y1 + y2 # = " x1 + ky1 y1 # + " x2 + ky2 y2 # = σ " x1 y1 #! + σ " x2 y2 #! σ c " x1 y1 #! = σ " cx1 cy1 #! = " cx1 + k(cy1) cy1 # = c " x1 + ky1 y1 # = cσ " x1 y1 #! (b). 不是, 对 ∀x, y ∈ V , 有 σ (x + y) = a 6= a + a = σ (x) + σ (y) (c). 是, 对 ∀f1(x), f2(x) ∈ F[x]n 和 ∀c ∈ F, 有 σ (f1(x) + f2(x)) = f1(x + 1) + f2(x + 1) = σ (f1(x)) + σ (f2(x)) σ (cf1(x)) = cf1(x + 1) = cσ (f1(x)) (d). 是, 对 ∀f1(x), f2(x) ∈ F[x]n 和 ∀c ∈ F, 有 σ (f1(x) + f2(x)) = f1(x0) + f2(x0) = σ (f1(x)) + σ (f2(x)) σ (cf1(x)) = cf1(x0) = cσ (f1(x)) (e). 是, 对 ∀f1(x), f2(x) ∈ F[x]n 和 ∀c ∈ F, 有 σ (f1(x) + f2(x)) = (x + a) d dx (f1(x) + f2(x)) = (x + a) d dxf1(x) + (x + a) d dxf2(x) = σ (f1(x)) + σ (f2(x)) σ (cf1(x)) = (x + a) d dx (cf1(x)) = cσ (f1(x)) (f). 是, 对 ∀X, Y ∈ F n×n 和 ∀c ∈ F, 有 σ (X + Y) = B (X + Y) C = BXC + BYC = σ (X) + σ (Y) σ (cX) = B (cX) C = cσ (X) (g). 是, 对 ∀f1(t), f2(t) ∈ C [0, 2π] 和 ∀c ∈ R, 有 σ (f1(t) + f2(t)) = Z 2π 0 [f1(x) + f2(x)] sin (t − x) dx = σ (f1(t)) + σ (f2(t)) σ (cf1(t)) = Z 2π 0 cf1(x) sin (t − x) dx = cσ (f1(t)) (h). 是. (证明略)
2.证:对x,y∈Rn和c∈R,有 o(x+y)=(x+y, a)a 内 积的线性性 (x, a)a+(y, a)a=o(x)+o(y) 0(x)=(x,a)a内积的齐次性 c(x, a)a=co(x) 因此,σ是线性变换 3.证:对vf(x),f2(x)∈Ca,列和Ⅴc∈R,有 d(1(m)+2(x)=/1(t)+f2()dt=/(t)d+f2(t)t=a(1(x)+a(2(x) a(cfi(=))=/cfi(t)dt=c/fi(t)dt= co(i(a) 4.o,1,0k表示分别绕相互正交的单位向量了,了,R(逆时针)旋转90°(如图所示) 图1:习题 (1).σ (了)=了,(对)=k ()=了,(k)=k 3)=-,0k(=k (a)变换(,0k)连续作用四次,旋转360度,所以是恒等变换 (b)取向量 (7)=0(-)=7,n(n()=n(7) 显然00;≠oj 对v 2+x 2(G(2)=x((7)+x(G()+((k) +x02(了)+xk02(-k 7-x了+xkk ))+9(G(了)+29((k) io joj 7-x了+xkk 所以a2
2. 证: 对 ∀x, y ∈ R n 和 c ∈ R, 有 σ (x + y) = (x + y, a) a 内积的线性性 ============ (x, a) a + (y, a) a = σ (x) + σ (y) σ (cx) = (cx, a) a 内积的齐次性 ============ c (x, a) a = cσ (x) 因此, σ 是线性变换. 3. 证: 对 ∀f1(x), f2(x) ∈ C [a, b] 和 ∀c ∈ R, 有 σ (f1(x) + f2(x)) = Z x a [f1(t) + f2(t)] dt = Z x a f1(t)dt + Z x a f2(t)dt = σ (f1(x)) + σ (f2(x)) σ (cf1(x)) = Z x a cf1(t)dt = c Z x a f1(t)dt = cσ (f1(x)) 4. σi , σj , σk 表示分别绕相互正交的单位向量 −→i , −→j , −→k (逆时针)旋转 90◦ (如图所示) −→k −→i −→ σi j σj σk 图 1: 习题4 (i). σi −→i = −→i , σi −→j = −→k , σi −→k = − −→j ⇒ σ 4 i −→i = −→i , σ4 i −→j = −→j , σ4 i −→k = −→k (ii). σj −→i = − −→k , σj −→j = −→j , σj −→k = −→i ⇒ σ 4 j −→i = −→i , σ4 j −→j = −→j , σ4 j −→k = −→k (iii). σk −→i = −→j , σk −→j = − −→i , σk −→k = −→k ⇒ σ 4 k −→i = −→i , σ4 k −→j = −→j , σ4 k −→k = −→k (a) 变换 σi(σj , σk) 连续作用四次, 旋转 360 度, 所以是恒等变换. (b) 取向量 −→i , σi σj −→i = σi − −→k = −→j , σj σi −→i = σj −→i = − −→k 显然 σiσj 6= σjσi . (c) 对 ∀ −→x = xi −→i + xj −→j + xk −→k , σ 2 i σ 2 j ( −→x ) = xiσ 2 i σ 2 j −→i + xjσ 2 i σ 2 j −→j + xkσ 2 i σ 2 j −→k = xiσ 2 i − −→i + xjσ 2 i −→j + xkσ 2 i − −→k = −xi −→i − xj −→j + xk −→k σ 2 j σ 2 i ( −→x ) = xiσ 2 j σ 2 i −→i + xjσ 2 j σ 2 i −→j + xkσ 2 j σ 2 i −→k = xiσ 2 j −→i + xjσ 2 j − −→j + xkσ 2 j − −→k = −xi −→i − xj −→j + xk −→k 所以 σ 2 i · σ 2 j = σ 2 j · σ 2 i
(d)不成立,考察向量F, (n(n((k)=n((n(7)=0(7(7)=01(-)=了 (G(k)=07(-k)=k 所以 f(x)∈Fx],有 a(T(f(x)=a(xf(x)=元(xf(x)=f(x)+xx-f(x) T(o((d=T-f(a f(a) 所以 (a·7-7·a)(f(x)=a(r(f(x))-r(o(f(x)=f(x) 即a7-7:=1F为F]上的恒等变换 6.证:归纳法 (a)当m=1时,a·r-r·a=1o0=1v,结论成立 (b)当m=2时, 1 T一·T:O a=1v:a=(ar-a)·σ=ara-r·a2 (1)+(2)得:2a (c)设m≤k时,成立om,r-r·om=mom-1 (d)当m=k+1时, kok (3)+(4)得 T·0+0.T·0-T 因此,2kk-(k-1)k=ak+1 →(k+1
(d) 不成立, 考察向量 −→k , σi σj σi σj −→k = σi σj σi −→i = σi σj −→i = σi − −→k = −→j σ 2 i σ 2 j −→k = σ 2 i − −→k = −→k 所以 σi · σj · σi · σj 6= σ 2 i · σ 2 j . 5. ∀f(x) ∈ F[x], 有 σ (τ (f(x))) = σ (xf(x)) = d dx (xf(x)) = f(x) + x d dxf(x) τ (σ (f(x))) = τ d dxf(x) = x d dxf(x) 所以 (σ · τ − τ · σ) (f(x)) = σ (τ (f(x))) − τ (σ (f(x))) = f(x) 即 σ · τ − τ · σ = 1F[x] 为 F[x] 上的恒等变换. 6. 证: 归纳法 (a) 当 m = 1 时, σ · τ − τ · σ = 1σ 0 = 1V , 结论成立. (b) 当 m = 2 时, σ = σ · 1V = σ · (σ · τ − τσ) = σ 2 · τ − σ · τ · σ (1) σ = 1V · σ = (σ · τ − τσ) · σ = σ · τ · σ − τ · σ 2 (2) (1)+(2) 得: 2σ = σ 2 · τ − τ · σ 2 . (c) 设 m ≤ k 时, 成立 σ m · τ − τ · σ m = mσm−1 . (d) 当 m = k + 1 时, kσk = σ · kσk−1 = σ · σ k · τ − τ · σ k = σ k+1 · τ − σ · τ · σ k (3) kσk = kσk−1 · σ = σ k · τ − τ · σ k · σ = σ k · τ · σ − τ · σ k+1 (4) (3)+(4) 得: 2kσk = σ k+1 · τ − σ · τ · σ k + σ k · τ · σ − τ · σ k+1 = σ k+1 · τ + σ · σ k−1 · τ − τ · σ k−1 · σ − τ · σ k+1 = σ k+1 · τ − τ · σ k+1 + σ · (k − 1)σ k−2 · σ 因此, 2kσk − (k − 1)σ k = σ k+1 · τ − τ · σ k+1 ⇒ (k + 1)σ k = σ k+1 · τ − τ · σ k+1
7.解取R2的基:e1,e2,其中e1= Tk(e1)=e1+0e2 0 T(e2)=ken+e2=ene」1 因此,变换Tk在基e1,e2下对应的矩阵为 1 k 01 8.解:因x1,x2,x3线性独立,x1=Ba(i=1,2,3),及y=Bb(i=1,2,3,因 a(xi)=yi =0(Bai)=Bo(B)g ai=Bb (a)所以,σ在基B下的矩阵{(B)k满足下列关系 a (B)I bi bo b 求得: o(B)B= bi b2 b3 a a2 as 112|201 2-116 1-12520 (b)o(B)=o(BM)=o(B)M a(B)=Bo(B)]B=BM(o(B)Ig, a(B)M= Bo(B)IBM 因此M(B)B={a(BgM得: 14344 lo(B)g=M- [a(B)l
7. 解: 取 R 2 的基: e1, e2, 其中 e1 = " 1 0 # , e2 = " 0 1 # , 则 τk (e1) = e1 + 0e2 = h e1 e2 i " 1 0 # τk (e2) = ke1 + e2 = h e1 e2 i " k 1 # 因此, 变换 τk 在基 e1, e2 下对应的矩阵为: " 1 k 0 1 # . 8. 解: 因 x1, x2, x3 线性独立, xi = Bai(i = 1, 2, 3), 及 yi = Bbi(i = 1, 2, 3), 因 σ (xi) = yi ⇒ σ (Bai) = B [σ (B)]B ai = Bbi (a) 所以, σ 在基 B 下的矩阵 [σ (B)]B 满足下列关系: [σ (B)]B h a1 a2 a3 i = h b1 b2 b3 i 求得: [σ (B)]B = h b1 b2 b3 i h a1 a2 a3 i−1 = 1 1 2 1 1 1 1 −1 2 2 0 1 3 1 0 5 2 0 −1 = 2 −11 6 1 −7 4 2 −1 0 (b) σ (B 0 ) = σ (BM) = σ (B)M σ (B 0 ) = B 0 [σ (B 0 )]B0 = BM[σ (B 0 )]B0 = σ (B)M = B [σ (B)]B M 因此 M[σ (B 0 )]B0 = [σ (B)]B M 得: σ B 0 B0 = M−1 [σ (B)]B M = 14 3 44 −3 −5 −2 −4 0 −14
9.解取R3空间中的一组基:B={e1,e2,e3},其中 变换σ对基B的变换为 o(B)=Bo(B)8 其中[σ(B)g就是变换a在基B下对应的矩阵.根据已知条件有: 0 B0 123 gB1 B-1 0 对于基向量e3变换没有交代,可以假设两种(这样的假设有无穷多种)o(e3)=0和a(e3) e3=B0,它们对应的矩阵分别为 110 10.解:设在基B下,变换a对应的矩阵为{a(Bs,即 (B)=bo(B) 令 00 00 B 1 B 4= 根据定义 01 B1)=AB1= aB1+cB3, 01(B2)= AB 01 (B3)=AB3= bB1+dB3, 01(B4)=AB4=bB2+dB4 则a1在这组基B=「B1B2B3B4下对应的矩阵为 O, bE 0 0 a0 b 1(B) 02dE202E2,或 e 0 dE 0 02cE202dE2 0 B1)=blA=aB1+bB2, a2 (B2)=B2A=cB a2( B3)=B3A= aB3+bB4, 2 B4)= BAA=cB3 +dB4 则a2在基B下对应的矩阵为 E2cE2020 a c0 0 2(B)g bE2dE20202 或 b do o 0202bE2dE2 00b
9. 解: 取 R 3 空间中的一组基: B = {e1, e2, e3}, 其中: e1 = 1 0 0 , e2 = 0 1 0 , e3 = 0 0 1 变换 σ 对基 B 的变换为: σ (B) = B [σ (B)]B 其中 [σ (B)]B 就是变换 σ 在基 B 下对应的矩阵. 根据已知条件有: σ B 1 0 0 = B 1 2 3 , σ B 0 1 0 = B 1 −1 0 对于基向量 e3 变换没有交代, 可以假设两种(这样的假设有无穷多种) σ (e3) = 0 和 σ (e3) = e3 = B 0 0 1 , 它们对应的矩阵分别为: 1 1 0 2 −1 0 3 0 0 , 1 1 0 2 −1 0 3 0 1 10. 解: 设在基 B 下, 变换 σ 对应的矩阵为 [σ (B)]B , 即 σ (B) = B [σ (B)]B 令 B1 = " 1 0 0 0 # , B2 = " 0 1 0 0 # , B3 = " 0 0 1 0 # , B4 = " 0 0 0 1 # 根据定义 σ1 (B1) = AB1 = aB1 + cB3, σ1 (B2) = AB2 = aB2 + cB4 σ1 (B3) = AB3 = bB1 + dB3, σ1 (B4) = AB4 = bB2 + dB4 则 σ1 在这组基 B = h B1 B2 B3 B4 i 下对应的矩阵为: [σ1 (B)]B = aE2 02 bE2 02 02 aE2 02 bE2 cE2 02 dE2 02 02 cE2 02 dE2 , 或 a 0 b 0 0 a 0 b c 0 d 0 0 c 0 d σ2 (B1) = B1A = aB1 + bB2, σ2 (B2) = B2A = cB1 + dB2 σ2 (B3) = B3A = aB3 + bB4, σ2 (B4) = B4A = cB3 + dB4 则 σ2 在基 B 下对应的矩阵为: [σ2 (B)]B = aE2 cE2 02 02 bE2 dE2 02 02 02 02 aE2 cE2 02 02 bE2 dE2 , 或 a c 0 0 b d 0 0 0 0 a c 0 0 b d
1l.解因1(61)=B1{1(B1)B1,(B)=B2(B2)B2 (a)Im(o1)=span B1(o1(B1)lB,=span 11 19 Kar()=K{B2(2(B2)l}求2(B2)2的核空间 2(B2)B2 基础解系 因此 Ker(o2) ()(1+m)(62)=B2|(1+m)(62)l2=B2(m1(B2)2+(2(B2))因此a1+m2在 基B2下的矩阵为 1(B62)B2+2(B2)B2 设矩阵M是基B1到B2的过渡矩阵,即B1M=B2,解得: 则 o1[B2]b,=M o1 B1]B, M 7811「-10044 4346 因此 1+02)(B2)B2=1(62)B2+{2(B2)B2= 1228536 12.解:选定n维线性空间V的一组基B={1,E2,…,n}后,V上的线性变换a对应nxn阶矩 阵,不同变换对应不同的矩阵,因此L(V)与线性空间F×n(设线性空间V定义在数域F上 同构,线性空间Fn×n维数为n2,它的一组基为:{E}(i,j=1,2,…,m),其中E;的第i行 第j列元素为F上的(乘法)单位元,其它元素为0的n×n矩阵
11. 解: 因 σ1 (B1) = B1 [σ1 (B1)]B1 , σ2 (B2) = B2 [σ2 (B2)]B2 (a) Im (σ1) = span n B1 [σ1 (B1)]B1 o = span (" 11 18 # , " 11 19 #), Ker (σ2) = Ker n B2 [σ2 (B2)]B2 o , 求 [σ2 (B2)]T B2 的核空间: [σ2 (B2)]T B2 x = 0 基础解系: " −3 2 # , 因此 Ker (σ2) = span (" −1 1 #) (b) (σ1 + σ2) (B2) = B2 [(σ1 + σ2) (B2)]B2 = B2 [σ1 (B2)]B2 + [σ2 (B2)]B2 , 因此 σ1 +σ2 在 基 B2 下的矩阵为: [σ1 (B2)]B2 + [σ2 (B2)]B2 设矩阵 M 是基 B1 到 B2 的过渡矩阵, 即 B1M = B2, 解得: M = " −7 8 5 6 # 则 σ1 [B2]B2 = M−1σ1 [B1]B1 M = " −7 8 5 6 #−1 " 3 5 4 3 # " −7 8 5 6 # = 1 82 " −100 44 43 46 # 因此 [(σ1 + σ2) (B2)]B2 = [σ1 (B2)]B2 + [σ2 (B2)]B2 = 1 82 " 228 536 535 784 # 12. 解: 选定 n 维线性空间 V 的一组基 B = {ε1, ε2, . . . , εn} 后, V 上的线性变换 σ 对应 n × n 阶矩 阵, 不同变换对应不同的矩阵, 因此 L(V ) 与线性空间 F n×n (设线性空间 V 定义在数域 F 上) 同构, 线性空间 F n×n 维数为 n 2 , 它的一组基为: {Eij}(i, j = 1, 2, . . . , n), 其中 Eij 的第 i 行 第 j 列元素为 F 上的(乘法)单位元, 其它元素为 0 的 n × n 矩阵
13.解:取线性空间R2×2的一组基: E11 10 E12= 00 00 1 10 E22 01 令B=EnE12E21E2求线性变换a在基B下对应的矩阵: a(E1) 111020 000 2E1+2E 11 2 a(E12)= 101 0 11|00 a(E21) 20=2E11 11 a(E2) 020 1100 01=E1 因此,a对应的矩阵为: 2020 2020 0101 rank(o(B)s)=2,因此dima=2.dim(Kera)=4-2=2. 14.证:Im()={y|wx∈vy=a(x)},Ker(o)={x|x∈VA0(x)=0}对wy∈Im(a),则存在 x∈V使得y=a(x) T()=T(o(x))=o(T()) Im(o 即Im(a)是r的不变子空间 对x∈Ker(a),则 a((x))=7(a(x)=T(0) 因T是V上的线性变换,有T(0)=0,因此 a((x)=0 即r(x)∈Ker(o),说明Ker(a)是r的不变子空间 15.证:因S1和S2是线性变换σ的不变子空间,有Wx∈S1,y∈S2,o(x)∈S,o(y)∈S2,对 Wx∈S1+S2,存在x1∈S1和x2∈S2使得x=x1+x2,则 a(x)=0(x1+x2)=0(x1)+0(x2) 因a(x1)∈S1和a(x2)∈S2,所以a(x)∈S1+S2,S1+S2是o的不变子空间.S1∩S2是a 不变子空间的证明类似
13. 解: 取线性空间 R 2×2 的一组基: E11 = " 1 0 0 0 # , E12 = " 0 1 0 0 # , E21 = " 0 0 1 0 # , E22 = " 0 0 0 1 # 令 B = h E11 E12 E21 E22 i 求线性变换 σ 在基 B 下对应的矩阵: σ (E11) = " 1 1 1 1 # " 1 0 0 0 # " 2 0 0 1 # = 2E11 + 2E21 σ (E12) = " 1 1 1 1 # " 0 1 0 0 # " 2 0 0 1 # = E12 + E22 σ (E21) = " 1 1 1 1 # " 0 0 1 0 # " 2 0 0 1 # = 2E11 + 2E21 σ (E22) = " 1 1 1 1 # " 1 0 0 0 # " 2 0 0 1 # = E12 + E22 因此, σ 对应的矩阵为: [σ (B)]B = 2 0 2 0 0 1 0 1 2 0 2 0 0 1 0 1 rank ([σ (B)]B ) = 2, 因此 dim σ = 2. dim (Kerσ) = 4 − 2 = 2. 14. 证: Im(σ) = y ∀x ∈ V, y = σ (x) , Ker(σ) = x ∀x ∈ V ∧ σ(x) = 0 . 对 ∀y ∈ Im (σ), 则存在 x ∈ V 使得 y = σ(x), τ (y) = τ (σ (x)) = σ (τ (x)) ∈ Im (σ) 即 Im (σ) 是 τ 的不变子空间. 对 ∀x ∈ Ker (σ), 则 σ (τ (x)) = τ (σ (x)) = τ (0) 因 τ 是 V 上的线性变换, 有 τ (0) = 0, 因此 σ (τ (x)) = 0 即 τ (x) ∈ Ker (σ), 说明 Ker (σ) 是 τ 的不变子空间. 15. 证: 因 S1 和 S2 是线性变换 σ 的不变子空间, 有 ∀x ∈ S1, y ∈ S2, σ(x) ∈ S1, σ(y) ∈ S2, 对 ∀x ∈ S1 + S2, 存在 x1 ∈ S1 和 x2 ∈ S2 使得 x = x1 + x2, 则 σ(x) = σ(x1 + x2) = σ(x1) + σ(x2) 因 σ(x1) ∈ S1 和 σ(x2) ∈ S2, 所以 σ(x) ∈ S1 + S2, S1 + S2 是 σ 的不变子空间. S1 ∩ S2 是 σ 不变子空间的证明类似
16.证:考察空间Im(a),对y∈m(a),存在x∈V使得y=a(x),则 (y)=(x)的幂等性a(x)=y 因此,Im()是线性变换a的不变子空间 17.解:取空间Cn的一组基:B={e1,e2,…,en}, o(e1)=en,a(e2)=e1,…,o(en)=en-1 (a).a在基B下对应的矩阵Aa为 (B=BA 0 01 (b).矩阵A。的特征多项式 入-10 00 det (AE 0 -10 0入 按第1列展开=x+(-1)+2(-1)-1=A-1 fA(X)=A-1=0,在复数域C上求得n个根:4k=e2k/m(k=0,1,…,n-1),且 有=1=wg(k>0),所以 010 0 01 即向量k是矩阵A。关于特征值wk的特征向量
16. 证: 考察空间 Im(σ), 对 ∀y ∈ Im (σ), 存在 x ∈ V 使得 y = σ (x), 则 σ (y) = σ (σ(x)) σ的幂等性 ========== σ (x) = y 因此, Im (σ) 是线性变换 σ 的不变子空间. 17. 解: 取空间 C n 的一组基: B = {e1, e2, . . . , en}, σ (e1) = en, σ (e2) = e1, . . . , σ (en) = en−1, (a). σ 在基 B 下对应的矩阵 Aσ 为: σ (B) = BAσ Aσ = 0 1 0 · · · 0 0 0 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · · · · 0 1 1 0 · · · · · · 0 0 n×n (b). 矩阵 Aσ 的特征多项式: fAσ (λ) = det (λE − Aσ) = λ −1 0 · · · 0 0 0 λ −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · · · · λ −1 −1 0 · · · · · · 0 λ 按第1列展开 =========== λ n + (−1)n+2(−1)n−1 = λ n − 1 fAσ (λ) = λ n − 1 = 0, 在复数域 C 上求得 n 个根: ωk = e j2kπ/n(k = 0, 1, . . . , n − 1), 且 有 ω n k = 1 = ω 0 k (k > 0), 所以 AσΩk = 0 1 0 · · · 0 0 0 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · · · · 0 1 1 0 · · · · · · 0 0 ω 0 k ω 1 k ω 2 k . . . ω n−2 k ω n−1 k = ω 1 k ω 2 k ω 3 k . . . ω n−1 k ω 0 k = ωkΩk 即向量 Ωk 是矩阵 Aσ 关于特征值 ωk 的特征向量
(c).变换a-1v作用到基B eo e1一 (a-1v)(en) 可得σ-1v对应的矩阵: 0-11 0 (d).可验证gk是矩阵An-1v相应特征值k-u8=k-1的特征向量 ().矩阵[a(a)n2(a)…q"-1(a)]对应的向量!k,特征值为(1/na(k 0.1 18.证:设x为矩阵AB对应非零特征值A的特征向量,即ABx=Ax,则Bx≠0(因x是 (AE-AB)x=0的非零解,Nx=A(Bx),若Bx=0则特征方程不成立),因此, ABx= B(x)= B(ABx)=(BA)(Bx) 可见Bx为矩阵BA相应于特征值的特征向量,换言之,矩阵AB的非零特征值也是矩阵 BA的特征值 同理可证,矩阵BA的所有非零特征值也是矩阵AB的特征值 若0是矩阵AB的特征值,则det(AB)=det(BA)=0,说明0也是BA的特征值,反之亦 然 综上所述,矩阵AB和BA具有相同的特征值 19.解:(a.因A,B相似,有AP=PB,即 Ax A2x B Ax A2xB *[Ax Ax 3Ax-2A2x =x Ax AxB 000 B 103 (b).因A与B相似 00 det(A+E)=det(P-1(A+E)P)=det(B+E)=det[1 13
(c). 变换 σ − 1V 作用到基 B (σ − 1V ) (e1) = en − e1, (σ − 1V ) (e2) = e1 − e2, . . . (σ − 1V ) (en) = en−1 − en 可得 σ − 1V 对应的矩阵: Aσ−1V = −1 1 0 · · · 0 0 −1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 0 −1 1 1 0 · · · 0 −1 (d). 可验证 Ωk 是矩阵 Aσ−1V 相应特征值 ω 1 k − ω 0 k = ωk − 1 的特征向量. (e). 矩阵 h a σ (a) σ 2 (a) · · · σ n−1 (a) i 对应的向量 Ωk, 特征值为 (1/n)ΩH k a(k = 0, 1, . . . , n − 1). 18. 证: 设 x 为矩阵 AB 对应非零特征值 λ 的特征向量, 即 ABx = λx, 则 Bx 6= 0 (因 x 是 (λE − AB) x = 0 的非零解, λx = A(Bx), 若 Bx = 0 则特征方程不成立), 因此, λBx = B(λx) = B (ABx) = (BA) (Bx) 可见 Bx 为矩阵 BA 相应于特征值 λ 的特征向量, 换言之, 矩阵 AB 的非零特征值也是矩阵 BA 的特征值. 同理可证, 矩阵 BA 的所有非零特征值也是矩阵 AB 的特征值. 若 0 是矩阵 AB 的特征值, 则 det(AB) = det(BA) = 0, 说明 0 也是 BA 的特征值, 反之亦 然. 综上所述, 矩阵 AB 和 BA 具有相同的特征值. 19. 解: (a). 因 A, B 相似, 有 AP = PB, 即 A h x Ax A2x i = h x Ax A2x i B ⇒ h Ax A2x A3x i = h x Ax A2x i B ⇒ h Ax A2x 3Ax − 2A2x i = h x Ax A2x i B ⇒ B = 0 0 0 1 0 3 0 1 −2 (b). 因 A 与 B 相似, det (A + E) = det P −1 (A + E) P = det (B + E) = det 1 0 0 1 1 3 0 1 −1 = −4
20.解:考察向量x(i=1,2,,r), Axi=XXxi=X xie;=xi xi 即向量x;是矩阵A的特征向量,相应的特征值为|xe(i 21.解只求解其中的(a,c),d) (a).先求特征值, f()=det-5x+3-3|=(x+1)3=0 0+2 求得特征根:1=2=3=-1.求相应的特征向量, xxx 0 101 求得特征向量:x=1 (c).计算特征值, f(x)=det-4+7-8|=(x+12(A-3) 7入-7 求得特征根:A1=A2=-1,A3= 入1=入2=-1的特征向量 23-4 46-8 xxx 0 求得特征向量:x=2 入3=3的特征向量x 2 (e).求得特征值h1=1,A2=A3=A4=2 1=1对应特征向量:x 入2=A3=A4=2对应特征向量:x 1100
20. 解: 考察向量 xi(i = 1, 2, . . . , r), Axi = XXT xi = X kxik 2 ei = kxik 2 xi 即向量 xi 是矩阵 A 的特征向量, 相应的特征值为 kxik 2 (i = 1, 2, . . . , r). 21. 解: 只求解其中的(a),(c),(d) (a). 先求特征值, f(λ) = det λ − 2 1 −2 −5 λ + 3 −3 1 0 λ + 2 = (λ + 1)3 = 0 求得特征根: λ1 = λ2 = λ3 = −1. 求相应的特征向量, −3 1 −2 −5 2 −3 1 0 1 x1 x2 x3 = 0 求得特征向量: x = 1 1 −1 . (c). 计算特征值, f(λ) = det λ − 1 3 −4 −4 λ + 7 −8 −6 7 λ − 7 = (λ + 1)2 (λ − 3) 求得特征根: λ1 = λ2 = −1,λ3 = 3 λ1 = λ2 = −1 的特征向量 −2 3 −4 −4 6 −8 −6 7 −8 x1 x2 x3 = 0 求得特征向量: x = 1 2 1 . λ3 = 3 的特征向量 x = 1 2 2 (e). 求得特征值 λ1 = 1, λ2 = λ3 = λ4 = 2. λ1 = 1 对应特征向量: x = −5 7 1 2 . λ2 = λ3 = λ4 = 2 对应特征向量: x = 1 −1 0 0
