复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第三章 线性方程组（2/3）

齐次线性方程组 AX=O 由于r(A)=r(A,O),所以恒有解 当r(A)=n时,A可逆,方程组有唯一解:零 当r(A<n时,方程组有无数解,才有非零解

齐次线性方程组 • AX=0 • 由于 r(A)=r(A,0), 所以恒有解 • 当r(A)=n时，A可逆，方程组有唯一解：零 • 当r( A)<n时，方程组有无数解，才有非零解 1

例:设有线性方程组 (1+)x1+ 2 十 x1+(1+)x2+ x1十 x2+(1+)x3=. 问取何值时,此方程组有(1)唯一解;(2)无解;(3)有无 限多个解?并在有无限多解时求其通解

例：设有线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (1 ) 0, (1 ) 3, (1 ) . x x x x x x x x x λ λ λ λ  + + + =  + + + =  + + + =  问 λ取何值时，此方程组有(1) 唯一解；(2) 无解；(3) 有无 限多个解？并在有无限多解时求其通解．

1+21 B=11+元 3 +2 解法1:对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵 1+ 11+a rIer 11+a 11+213 11+2 1+1 1+2 111+2 r3+r2 3-A 0 3-元 3-(1+ 0-2-2(2+1)-2(1+4)(00-4(3+4)(1-4)(3+4)

1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 B λ λ λ λ   +   = +       + 解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵．   1 1 1 0 + λ   1 1 1 r r λ λ ↔   +   1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 λ λ λ λ   +   +       + 1 3 1 1 1 ~ 1 1 1 3 1 1 1 0 r r λ λ λ λ ↔   +   +       + 2 1 3 1 (1 ) 1 1 1 ~ 0 3 0 (2 ) (1 ) r r r r λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − +   +   − −       − − + − + 3 2 1 1 1 ~ 0 3 0 0 (3 ) (1 )(3 ) r r λ λ λ λ λ λ λ λ λ +   +   − −       − + − +

附注 对含参数的矩阵作初等变换时,由于λ+1,λ+3等因式可 能等于霁,故不宜进行下列的变换 /2 (+3 1+2 √如果作了这样的变换,则需对4+1=0(或A+3=0)的情 况另作讨论

附注：
对含参数的矩阵作初等变换时，由于 λ +1， λ +3 等因式可 能等于零，故不宜进行下列的变换：
如果作了这样的变换，则需对 λ +1 = 0（或 λ +3 = 0）的情 2 1 1 1 r r λ − + 3 / λ r ÷ + ( 3) λ 2r
如果作了这样的变换，则需对 λ +1 = 0（或 λ +3 = 0）的情 况另作讨论．

1+1 1+2 B 3-0x 3-元 11+λ4)(00-4(3+4)(1-4)(3+A) 分析 讨论方程组的解的情况,就是讨论参数λ取何值时,F2、3 是非霁行 在2、「3中,有5处地方出现了λ,要使这5个元素等于霁 λ=0,3,-3,1 实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论,先从方程 组有唯一解入手

1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 ~ 0 3 1 1 1 0 0 (3 ) (1 )(3 ) r B λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ     + +     = + − −             + − + − + 分析： • 讨论方程 组的解的情况，就是讨论参数 λ 取何值时，r2 、r3 是非零行． • 在 r2 、r3 中，有 5 处地方出 现 了 λ ，要使 这 5 个元素等于零， λ = 0，3，－ 3，1 ． • 实际上没有必要对这 4 个可能取 值逐一 进 行讨论，先从方程 组有唯一解入手．

1+1 10)(111+2 B 3-A 11+4)(00-4(3+4)(1-4)(3+A 于是 当λ≠0且九≠-3时,R(A)=R(B)=3,有唯一解 当λ=0时,R(A)=1,R(B)=2,无解 当=-3时,R(A)=R(B)=2,有无限多解

1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 ~ 0 3 1 1 1 0 0 (3 ) (1 )(3 ) r B λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ     + +     = + − −             + − + − + 于是 • 当 λ ≠ 0 且 λ ≠ －3 时，R ( A) = R ( B) = 3 ，有唯一解． • 当 λ = 0 时，R ( A) = 1， R ( B) = 2 ，无解． • 当 λ = －3 时，R ( A) = R ( B) = 2 ，有无限多解．

1+ B 11+213 +22 解法2:因为系数矩阵A是方阵,所以方程组有唯一解的充 分必要粲件是|A|≠0 1+21 A|=11+1=(3+4) 11+ 于是当λ≠0且λ≠-3时,方程组有唯一解

1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 B λ λ λ λ   +   = +       + 解法2：因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 ． 2 1 1 1 | | 1 1 1 (3 ) 1 1 1 A λ λ λ λ λ + = + = + + 于是当 λ ≠ 0 且 λ ≠－3 时，方程组有唯一解．

当l=0时,B=1113-0001 000 R(A=1,R(B=2,方程组无解 2110 当l=-3时,B=1-213|-01-1-2 112-3)(000 R(A=R(B=2,方程组有无限多个解,其通解为 1+|-2

当 l = 0 时， R(A) = 1， R(B) = 2 ， ) = 2 ，方程组无解． 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 3 ~ 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 r B         =             2 1 1 0 1 0 1 1 r     − − − 当     l = －3 时， R(A) = R(B) = 2 ， ) = 2 ，方程组有无限多个解 方程组有无限多个解，其通解为 1 2 1 3 ~ 0 1 1 2 1 1 2 3 0 0 0 0 r B     = − − −             − − 1 2 3 1 1 1 2 1 0 x x c x       −       = + −                  

定理:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是 R(4)=R(A,B 定理:设AB=C,则R(O≤min{RA,R(B)} 证明:因为AB=C,所以矩阵方程AX=C有解X=B, 于是R(A)=R(A,O R(O≤RA,O,故RO≤R4 又(AB=C,即BA=C,所以矩阵方程BX=C有解 X=A,同理可得,R(O≤RB 综上所述,可知RC≤min{R(4),R(B} 问:≤能否改成=?

定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) ． 定理：设 AB = C ，则 R(C) ≤ min{R(A), R(B)} ． 证明：因为 AB = C ，所以矩阵方程 AX = C 有解 X = B， 于是 R(A) = R(A, C) ． R(C) ≤ R(A, C) ，故 R(C) ≤ R(A) ． 又 (AB)T = CT，即 BTAT = CT，所以矩阵方程 BTX = CT 有解 X = AT ，同理可得，R(C) ≤ R(B) ． 综上所述，可知 R(C) ≤ min{R(A), R(B)} ． 问： ≤能否改成= ？

向量组及其线性组合 定义:n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n维向 量( vector),这n个数称为该向量的n个分量,第i个数a;称 为第玠个分量 口分量全为实数的向量称为实向量 口分量全为复数的向量称为复向量 备注 √本书一般只讨论实向量(特别说明的除外) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当作列向量 本书中,列向量用黑体小写字母a,bG月等表示,行向量则用a,b,a, 表示

定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向 量（vector），这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称 为第 i个分量． 分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量． 向量组及其线性组合 备注：
本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） ．
行向量和列向量总被看作是两个不同的向量．
所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量．
本书中，列向量用黑体小写字母 a, b, α, β 等表示，行向量则用 aT, bT, αT, βT 表示．