(後只人季 1.2n阶行列式的定义
1.2 n阶行列式的定义
(後只人季 、n级排列及奇偶性 二、三阶行列式展开式的规律 三、n阶行列式的定义
一、n级排列及奇偶性 二、三阶行列式展开式的规律 三、n阶行列式的定义
(後只人季 、n级排列及奇偶性 定义1.1 由数1,2,…,n组成的一个有序数组,称为一个 n级排列 由1,2,…,n所组成的所有不同的n级排列共有n! 个.12…n是唯一的一个按从小到大次序组 成的排列,称为n级标准排列 例如,3级排列共有6个不同的排列,即 123231312 132213321 其中123是3级标准排列
一、n级排列及奇偶性 定义1.1 由数1,2,…,n组成的一个有序数组，称为一个 n级排列. 由1,2,…,n所组成的所有不同的n级排列共有n! 个. 1 2 … n是唯一的一个按从小到大次序组 成的排列,称为n级标准排列. 例如,3级排列共有6个不同的排列，即 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 其中1 2 3是3级标准排列
(後只人季 定义12 在一个排列中,对任何两个数i和j,若 有i>j,而i位于j的前面时,则称i,j构 成一个逆序.一个排列中逆序的总数, 称为此排列的逆序数,n级排列 i1,i2…in的逆序数,记作τ(i1,i2…in) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆 序数为奇数的排列称为奇排列
定义1.2 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆 序数为奇数的排列称为奇排列
(後只人季 例1在3级排列312中,3与1构成逆序,这 是因为3>1,但3在1的前面,同理3与2 构成逆序,而1与2不构成逆序,因此其 逆序数τ(321)=2,这是一个偶排列 例2(1)(3142)=2+0+1=3,所以314 2是一个奇排列. (2)r(24315)=1+2+1+0=4,所以 24315是一个偶排列 (3)r(12…n)=0,标准n级排列是偶排列
例 1 例 2
(後只人季 定义13 将一个排列中某两个数的位置互换而其 余的数不动,就得到另一个排列,这种 对排列的变换方法称为对换 例如,排列2413经过2与3兑换后,就得 到排列3412;排列32415经过2与1兑换 后,就得到排列31425 由计算逆序数可知,奇排列2413变成了 偶排列3412;而偶排列32415却变成了 奇排列31425
定义1.3 将一个排列中某两个数的位置互换而其 余的数不动，就得到另一个排列，这种 对排列的变换方法称为对换. 例如，排列2413经过2与3兑换后，就得 到排列3412；排列32415经过2与1兑换 后，就得到排列31425. 由计算逆序数可知，奇排列2413变成了 偶排列3412；而偶排列32415却变成了 奇排列31425
(後只人季 定理11任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性 证明设排列为 对换a与b a1… a ab b…bn . a, ba b..b 除a,b外,其它元素的逆序数不改变 当a<b时, 经对换后a的逆序数增加1,b的逆序数不变;
证明 设排列为 a1 al ab b1 bm a1 al ba b1 bm 除 a,b 外，其它元素的逆序数不改变. 经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变; 当 a b 时， 定理1.1 任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性
(後只人季 当a>b时 经对换后a的逆序数不变,b的逆序数减少1 因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性 设排列为a1…amb… b bc1…cn 现来对换a与b
当 a b 时， 经对换后 a 的逆序数不变， b 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 l m n a a ab b bc c 1 1 1 现来对换 a 与 b
(後只人季 2 bCl m次相邻对换 bb,…b m+1次相邻对换 1…a1b1…bnac1…Cn b,…b.be 2m+1次相邻对换 a1…a1bb1…bnac1…cn 所以一个排列中的任意两个元素对换,排列改变 奇偶性
m 次相邻对换 l m n a a ab b b c c 1 1 1 m + 1 次相邻对换 l m n a a b b b a c c 1 1 1 , 1 l 1 m 1 n a a ab b bc c 2m +1 次相邻对换 , 1 l 1 m 1 n a a bb b ac c 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. l m n a a a b b b c c 1 1 1
()後大手 二、三阶行列式展开式的规律 三阶行列式 2 0123+a1212331+a132132 21 22 23 6 31 32 33 13{2131-a12332-a12213 规律 (1)三阶行列式是行列式中取自不同行、不同 列的三个元素乘积的代数和(共有3!=6项)
三阶行列式 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 α α α α α α α α α 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 = a a a + a a a + a a a 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 − a a a − a a a − a a a 规律 （1）三阶行列式是行列式中取自不同行、不同 列的三个元素乘积的代数和（共有3!=6项） 二、三阶行列式展开式的规律 (2.6)