第二讲补充题解答 (1)设矩阵 2-20 1-10 A 求A2-4B2-2BA+2AB 解: 原式=(A2-2BA)+(2AB-4B2)=(A-2B)A+2(A-2B)B=(A-2B)(A+2B) 000 4-40 000 8-44000 36-124 111 151 1,b=「bb2…bn17,计算A=ab3,B=b3a及A 解: a1b1 a1b2 b a2b1 a2b2 a2b ab= B=ba=b1 b2 1b1 alby agb1 a2b2 a2b k= abTabT.abT 4)“/ (3)设矩阵 A 2-24 求A(n为正整数) 解:因 所以 1 (4)设A2=A,B2=B,(A+B)2=A+B,证明:AB=0
第二讲补充题解答 (1) 设矩阵 A = 2 −2 0 4 −2 2 1 3 1 , B = 1 −1 0 −2 1 −1 0 1 0 求A2 − 4B2 − 2BA + 2AB. 解: 原式 = A2 − 2BA + 2AB − 4B2 = (A − 2B) A + 2 (A − 2B) B = (A − 2B) (A + 2B) = 0 0 0 8 −4 4 1 1 1 4 −4 0 0 0 0 1 5 1 = 0 0 0 36 −12 4 5 1 1 (2) 设 a = h a1 a2 · · · an iT , b = h b1 b2 · · · bn iT , 计算 A = abT , B = b T a 及 Ak . 解: A = abT = a1 a2 . . . an h b1 b2 · · · bn i = a1b1 a1b2 · · · a1bn a2b1 a2b2 · · · a2bn . . . . . . . . . anb1 anb2 · · · anbn B = b T a = h b1 b2 · · · bn i a1 a2 . . . an = Xn i=1 aibi Ak = abT abT · · · abT = b T a k−1 abT = nX−1 i=1 aibi !k−1 a1b1 a1b2 · · · a1bn a2b1 a2b2 · · · a2bn . . . . . . . . . anb1 anb2 · · · anbn (3) 设矩阵 A = 1 −1 2 2 −2 4 −1 1 −2 求An (n为正整数). 解: 因 A = 1 2 −1 h 1 −1 2 i , 所以, An = h 1 −1 2 i 1 2 −1 n−1 A = (−3)n−1 A (4) 设 A2 = A, B2 = B, (A + B) 2 = A + B, 证明: AB = 0
证:因(A+B)2=A2+AB+BA+B2=A+AB+BA+B=A+B,得 AB+BA=0 对式(1)两端右乘矩阵B,得 AB2+BAB=0→AB=-BAB 同样式(1)两端左乘矩阵B,得 BAB+B2A=0→BA=-BAB 因此,AB=BA=0 (5)设A实对称矩阵,即A=A,且A2=0,证明:A=0. 证:设A为n阶实对称方阵,考察A2=A7A的对角元a2 aiai a2=0.i=1.2 0,(i=1,2,…,j=1,2,…,n) 因此,A=0 (6)设矩阵A=[ aidl,若对任意n×1向量x,均有Ax=0,试证:A=0 证:依次取ⅹ=e1,e2,.,em,因Ax=0,所以 Aer 0,(i=1,2 an2 0→ 因此A=0 矩阵A=3I-aaT (a)求矩阵A; (b)A是否可逆?若可逆,求A
证: 因 (A + B) 2 = A2 + AB + BA + B2 = A + AB + BA + B = A + B, 得 AB + BA = 0 (1) 对式(1)两端右乘矩阵 B, 得 AB2 + BAB = 0 ⇒ AB = −BAB 同样式(1)两端左乘矩阵 B, 得 BAB + B 2A = 0 ⇒ BA = −BAB 因此, AB = BA = 0. (5) 设A 实对称矩阵, 即 AT = A, 且A2 = 0, 证明: A = 0. 证: 设 A 为 n 阶实对称方阵, 考察 A2 = AT A 的对角元 a (2) ii , a (2) ii = Xn j=1 aijaij = Xn j=1 a 2 ij = 0, i = 1, 2, . . . , n ⇒ aij = 0, (i = 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . . , n) 因此, A = 0. (6) 设矩阵 A = [aij ]m×n , 若对任意 n × 1向量x, 均有 Ax = 0, 试证: A = 0. 证: 依次取 x = e1, e2, . . . , en, 因 Ax = 0, 所以 Ae1 = a11 a21 . . . am1 = 0 ⇒ ai1 = 0, (i = 1, 2, . . . , m) Ae2 = a12 a22 . . . am2 = 0 ⇒ ai2 = 0, (i = 1, 2, . . . , m) . . . Aen = a1n a2n . . . amn = 0 ⇒ ain = 0, (i = 1, 2, . . . , m) 因此 A = 0. (7) 设 a = h −1 0 1 iT , 矩阵 A = 3I − aaT . (a) 求矩阵A; (b) A 是否可逆? 若可逆, 求A−1
000,所以 101 a=3I-aa 030 102 (b)因det(A)=9≠0,所以A可逆.A-1的计算如下: 201100 E 030010 05+B-B101/21/200 030 010 003/2-1/201 (1/3)*R2,(2/3)*R3, 101/21/200 01/30 001-1/302/3 (R1-(1/2)*F 1002/30-1/3 01/3 001-1/302/3 8)设AB是n×n矩阵,且A,B和A+B均可逆,证明:A-1+B-1也可逆,并求(A-1+B-1)”的 表达式 证:因A-1+B-1=A-1(A+B)B-1,且A,B,A+B均可逆,则有 A-1+B B(A+B)A (9)设n阶方阵A满足A3=2I(是单位阵),矩阵B=A2+2A+I,试证:B可逆,并求B-1的表达 式 证:BA2=(A2+2A+1A2=A4+2A3+A2,因A3=2L,所以 BA2=2A+4I+A2=B+3I →BA2-B=→B3(A2-I 因此B可逆,且 B 3 (10)设A是n阶方阵,且Ak=0(k≥2,求(I-A)-1
解: (a) aaT = −1 0 1 h −1 0 1 i = 1 0 −1 0 0 0 −1 0 1 , 所以 A = 3I − aaT = 2 0 1 0 3 0 1 0 2 (b) 因 det (A) = 9 6= 0, 所以 A 可逆. A−1 的计算如下: h A E i = 2 0 1 1 0 0 0 3 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 0.5∗R1,R3−R1 −−−−−−−−−→ 1 0 1/2 1/2 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 3/2 −1/2 0 1 (1/3)∗R2,(2/3)∗R3, −−−−−−−−−−−−→ 1 0 1/2 1/2 0 0 0 1 0 0 1/3 0 0 0 1 −1/3 0 2/3 (R1−(1/2)∗R3, −−−−−−−−−→ 1 0 0 2/3 0 −1/3 0 1 0 0 1/3 0 0 0 1 −1/3 0 2/3 A−1 = 1 3 2 0 −1 0 1 0 −1 0 2 (8) 设 A,B 是n×n矩阵, 且A, B 和A+B 均可逆, 证明: A−1+B−1 也可逆, 并求 A−1 + B−1 −1的 表达式. 证: 因 A−1 + B−1 = A−1 (A + B) B−1 , 且 A, B, A + B 均可逆, 则有 A−1 + B −1 −1 = B (A + B) −1 A (9) 设 n阶方阵A满足A3 = 2I(I是单位阵), 矩阵 B = A2 + 2A + I, 试证: B可逆, 并求B−1的表达 式. 证: BA2 = A2 + 2A + I A2 = A4 + 2A3 + A2 , 因 A3 = 2I, 所以 BA2 = 2A + 4I + A2 = B + 3I ⇒ BA2 − B = 3I ⇒ B 1 3 A2 − I = I 因此 B 可逆, 且 B −1 = 1 3 A2 − I (10) 设 A 是 n 阶方阵, 且 Ak = 0(k ≥ 2), 求 (I − A) −1
解:因 1-A)(I+A+A2+…+A4-) =I+A+A2+…+Ak-1 A+A2 I-Ak=I 所以,(I-A)-1=I+A+A2+…+Ak-1 (11)设n阶方阵A,B满足A+B=AB (a)证明:A-I可逆 (b)证明:AB=BA 120 (c)若B=340,求A 证:(a)因0=AB-B-A,等式两端同时加上单位阵I得 I=I-A-(I-AB=(I-A)(I-B=(A-I)(B-I 因此A-I可逆,且(A-D)-1=B-I (b)由等式A+B=AB可得A=(A-I)B,同时对等式A+B=AB两边右乘矩阵A, 得 A2+BA=ABA →BA=ABA-A2=A(B-IA →BA=A(B-D(A-1B=AB c)因A-I=(B-D)-,先求(B-I)-1 B-II 030 0043 001 21 0 0101/200 0010 /21/3 A=B-1+I /2 00/ (12)设a是n×1向量,设A=I-aa,证明 (a)A2=A当且仅当aa=1 (b)当aa=1时,A是不可逆矩阵
解: 因 (I − A) I + A + A2 + · · · + Ak−1 = I +A + A2 + · · · + Ak−1 −A + A2 − · · · − Ak−1 − Ak = I − Ak = I 所以, (I − A) −1 = I + A + A2 + · · · + Ak−1 . (11) 设 n阶方阵A, B 满足 A + B = AB. (a) 证明: A − I 可逆. (b) 证明: AB = BA. (c) 若 B = 1 2 0 3 4 0 0 0 5 , 求A. 证: (a) 因 0 = AB − B − A, 等式两端同时加上单位阵 I 得: I = I − A − (I − A) B = (I − A) (I − B) = (A − I) (B − I) 因此 A − I 可逆, 且 (A − I) −1 = B − I. (b) 由等式 A + B = AB 可得 A = (A − I) B, 同时对等式 A + B = AB 两边右乘矩阵 A, 得 A2 + BA = ABA ⇒ BA = ABA − A2 = A (B − I) A ⇒ BA = A (B − I) (A − I) B = AB (c) 因 A − I = (B − I) −1 , 先求 (B − I) −1 : h B − I I i = 0 2 0 1 0 0 3 3 0 0 1 0 0 0 4 0 0 1 → 1 0 0 −1/2 1/3 0 0 1 0 1/2 0 0 0 0 1 0 0 1/4 A = (B − I) −1 + I = 1/2 1/3 0 1/2 1 0 0 0 5/4 (12) 设 a 是 n × 1向量, 设 A = I − aaT , 证明: (a) A2 = A 当且仅当 a T a = 1. (b) 当 a T a = 1 时, A 是不可逆矩阵
证(必要性,A2=1-2n2+(ana)a=A=Ia,所以 aa 0 又因a≠0→aa-1=0→a7a=1 充分性”,因a7a=1,所以 A2=(1-an)(I-an) A (b)(反证法),假设A可逆,它的逆阵记为A-1 另外,当aa=1时,有A2=A,所以 但当a≠0时,A≠I,所以与前提矛盾 (13)设矩阵 22-1 求矩阵X,使得AX=A+X 解:根据条件可得(A-1X=A 2-1 00 102 100 10 1-12 因det(A)=-1≠0,所以A-I可逆,并求得 147-3 (A-I 531 求得 545 (14)设矩阵 10 110 矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+I,求X
证: (a)“必要性”, A2 = I − 2aaT + a T a aaT = A = I − aaT , 所以, a T a − 1 aaT = 0 又因a 6= 0 ⇒ a T a − 1 = 0 ⇒ a T a = 1 “充分性”, 因 a T a = 1, 所以 A2 = I − aaT I − aaT = I − 2aaT + aaT = A (b) (反证法), 假设 A 可逆, 它的逆阵记为 A−1 . 另外, 当 a T a = 1 时, 有 A2 = A, 所以 I = A−1A = A−1A2 = A 但当 a 6= 0 时, A 6= I, 所以与前提矛盾. (13) 设矩阵 A = 2 2 −1 −1 0 2 2 7 1 求矩阵 X, 使得 AX = A + X. 解: 根据条件可得 (A − I) X = A, A − I = 2 2 −1 −1 0 2 2 7 1 − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1 2 −1 −1 −1 2 2 7 0 因 det (A) = −1 6= 0, 所以 A − I 可逆, 并求得 (A − I) −1 = 14 7 −3 −4 −2 1 5 3 1 求得 X = (A − I) −1 A = 15 7 −3 −4 −1 1 5 3 0 (14) 设矩阵 A = 1 0 0 1 1 0 1 1 1 , B = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 矩阵 X 满足 AXA + BXB = AXB + BXA + I, 求X
解:由原方程得 AXA-AXB+BXB-BXA=I A(XA-XB)-B(XA-XB=I (ABX(A-B)=I 因A-B=01-1可逆,所以 x=(A-B)2=011 012 001 (15)设矩阵 12-3-2 1201 012-3 B= 0001 0001 矩阵X满足(2I-B-1A)XT=B-1,求X 解:原方程两端左乘矩阵B,得: 2B-A)X= 由方程知,2B-A可逆,则 1 2100 2100 X=(2B1-A 3210 1-210 (6)设矩阵A=4t3,B为3×3非零矩阵,且AB=0求t的值 解:AB=0,且要求B≠0,则矩阵rank(A)<3,即 (A)=7t-21=0→t=3 (17)分块矩阵 A A21A22 12中A1,A2分别是m阶和n阶方阵,设A1可逆,求矩阵X,Y使 I0A10 22 0 S 0 称矩阵S为A11的 Schur补,同样,当A22逆时,可求得A22的 Schur补
解: 由原方程得: AXA − AXB + BXB − BXA = I ⇒ A (XA − XB) − B (XA − XB) = I ⇒ (A − B) X (A − B) = I 因 A − B = 1 −1 −1 0 1 −1 0 0 1 可逆, 所以 X = (A − B) −2 = 1 1 2 0 1 1 0 0 1 2 = 1 2 5 0 1 2 0 0 1 (15) 设矩阵 A = 1 2 −3 −2 0 1 2 −3 0 0 1 2 0 0 0 1 , B = 1 2 0 1 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 矩阵 X 满足 2I − B−1A XT = B−1 , 求X. 解: 原方程两端左乘矩阵 B, 得: (2B − A) XT = I 由方程知, 2B − A 可逆, 则 X = 2B T − AT −1 = 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1 −1 = 1 0 0 0 −2 1 0 0 1 −2 1 0 0 1 −2 1 (16) 设矩阵 A = 1 2 −2 4 t 3 3 −1 1 , B 为3 × 3 非零矩阵, 且 AB = 0, 求 t 的值. 解: AB = 0, 且要求 B 6= 0, 则矩阵 rank (A) < 3, 即 det (A) = 7t − 21 = 0 ⇒ t = 3 (17) 分块矩阵 " A11 A12 A21 A22 # 中 A11, A22 分别是 m 阶和 n 阶方阵, 设A11 可逆, 求矩阵X, Y,S 使 得 " A11 A12 A21 A22 # = " I 0 X I # " A11 0 0 S # " I Y 0 I # 称矩阵S为A11 的Schur补, 同样, 当A22可逆时, 可求得 A22 的Schur补
解:将分块矩阵表示的方程写成分块相等,得 A1 A A21A22 XA1 XAuY+S A XAl=A AlY=A12 XAlY+S=A X=A21A S=A22-A21A1A12 (18)设水银密度p与温度t之间的关系满足 alt+a2t+ 由实验测得一下数据: 度小(035 求t=15°,40°时水银的密度(保留到小数点后2位置
解: 将分块矩阵表示的方程写成分块相等, 得: " A11 A12 A21 A22 # = " A11 A11Y XA11 XA11Y + S # ⇒ A11 = A11 XA11 = A21 A11Y = A12 XA11Y + S = A22 ⇒ X = A21A−1 11 Y = A−1 11 A12 S = A22 − A21A−1 11 A12 (18) 设水银密度ρ 与温度t之间的关系满足 ρ (t) = a0 + a1t + a2t 2 + a3t 3 由实验测得一下数据: 温度t 0 ◦ 10◦ 20◦ 30◦ 密度ρ 13.60 13.57 13.55 13.52 求 t = 15◦ , 40◦ 时水银的密度(保留到小数点后2位置)
解水银密度与温度的关系为p()=[1t2][aoa1a2a],根据实验数据先确定 参数a0,a1,a2,a3.为此,求解下列线性方程组 1101001000a1 13.57 1204008000 13090027000a 对增广矩阵实施初等行变换 100 013.60 100013.60 110100100013.57 0101001000-0.03 20400800013.55 0204008000-0.05 1309002700013.52 03090027000-0.08 100 013.60 013.60 =3:图010100100-0.03 0101001000-0.03 0020060000.01 0020060000.01 00600240000.01 0006000-0.02 B6) 100013.60 R2-(1/2)R 01000-0.25/6 002000 0006000 0.02 解得a0=13.60,a1=-0.025/6,a2=0.00015,a3=-0.0000/3,即 ()=1300~9+0002-32 0.00001 则 P(15)=1360-0.0625+0.03375-0.01125=13.56 (40)=1360-g+0.2416=13.46 (19)证明方程组 2a111+2a12x2+ 2a211+2a2202+…+2a2nn 2an11+2an2x2+ 只有零解,其中a全为整数
解: 水银密度与温度的关系为 ρ (t) = h 1 t t2 t 3 i h a0 a1 a2 a3 iT , 根据实验数据先确定 参数 a0, a1, a2, a3. 为此, 求解下列线性方程组 1 0 0 0 1 10 100 1000 1 20 400 8000 1 30 900 27000 a0 a1 a2 a3 = 13.60 13.57 13.55 13.52 对增广矩阵实施初等行变换: 1 0 0 0 13.60 1 10 100 1000 13.57 1 20 400 8000 13.55 1 30 900 27000 13.52 R2 − R1 R3 − R1 R4 − R1 −−−−−−−→ 1 0 0 0 13.60 0 10 100 1000 −0.03 0 20 400 8000 −0.05 0 30 900 27000 −0.08 R3 − 2 ∗ R2 R4 − 3 ∗ R1 −−−−−−−−−→ 1 0 0 0 13.60 0 10 100 1000 −0.03 0 0 200 6000 0.01 0 0 600 24000 0.01 R4−3∗R3 −−−−−−→ 1 0 0 0 13.60 0 10 100 1000 −0.03 0 0 200 6000 0.01 0 0 0 6000 −0.02 R3 − R4 R2 − (1/6) ∗ R4 R2 − (1/2)R3 −−−−−−−−−−−→ 1 0 0 0 13.60 0 10 0 0 −0.25/6 0 0 200 0 0.03 0 0 0 6000 −0.02 解得 a0 = 13.60, a1 = −0.025/6, a2 = 0.00015, a3 = −0.00001/3, 即 ρ (t) = 13.60 − 0.025 6 t + 0.00015t 2 − 0.00001 3 t 3 则 ρ (15) = 13.60 − 0.0625 + 0.03375 − 0.01125 = 13.56 ρ (40) = 13.60 − 1 6 + 0.24 − 16 75 = 13.46 (19) 证明方程组 x1 = 2a11x1 + 2a12x2 + · · · + 2a1nxn x2 = 2a21x1 + 2a22x2 + · · · + 2a2nxn · · · · · · · · · · · · · · · xn = 2an1x1 + 2an2x2 + · · · + 2annxn 只有零解, 其中aij全为整数
证:将方程组改写成如下形式 a211+(a222 a2n In an11+ an2+…+(am-2)n 11 f(A)= (-1)n+b1n2-1+b2-2+…+bn 其中,系数b(i=1,2,,n)均为整数则∫()就是方程组系数矩阵的行列式,即 1 )a+b1 假设方程组有非零解,则f(5)=0将等式两边乘以2,得 2b2 上式中第二部分∑2b是偶数而(1不管n是奇数还是偶数,等式的左墙总是奇数它不 可能是零.假设方程组系数矩阵的行列式为零不成立,即系数矩阵行列式不等于零,因此,方程 组只有零解 423,c=-885,证明:存在数x使2a+xb=c 解:xb=c-2b=-1269,解得x=3
证: 将方程组改写成如下形式: a11 − 1 2 x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 a21x1 + a22 − 1 2 x2 + · · · + a2nxn = 0 · · · · · · · · · · · · · · · an1x1 + an2x2 + · · · + ann − 1 2 xn = 0 令 f (λ) = a11 − λ a12 · · · a1n a21 a22 − λ · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann − λ = (−1)n λ n + b1λ n−1 + b2λ n−2 + · · · + bn 其中, 系数 bi(i = 1, 2, . . . , n)均为整数. 则 f 1 2 就是方程组系数矩阵的行列式, 即 f 1 2 = (−1)n 1 2 n + b1 1 2 n−1 + · · · + bn 假设方程组有非零解, 则 f 1 2 = 0, 将等式两边乘以2 n , 得: (−1)n + Xn i=1 2 i bi = 0 上式中第二部分 Xn i=1 2 i bi 是偶数, 而 (−1)n 不管 n 是奇数还是偶数, 等式的左端总是奇数, 它不 可能是零. 假设方程组系数矩阵的行列式为零不成立, 即系数矩阵行列式不等于零, 因此, 方程 组只有零解. (20) 设 a = h 2 1 −2 i , b = h −4 2 3 i , c = h −8 8 5 i , 证明: 存在数x 使 2a + xb = c. 解: xb = c − 2b = h −12 6 9 i , 解得 x = 3
