复旦大学信息科学与工程学院 《线性代数》期终考试试卷 (B卷)共8页 课程代码:INF120000 考试形式:闭卷 2007年1月 (本试卷答卷时间为120分钟,答案必须写在试卷上,做在草稿纸上无效) 专业 学号 姓名 成绩 题号 四五六 总分 得分 ⌒装订线 、n阶行列式计算:(共20分,每小题10分) aa 内 ax-a a aaa 不要答题 (1)An ax-a 第1页
第 1 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 复 旦 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院 《线性代数》期终考试试卷 （B 卷）共 8 页 课程代码：INFO120007.0_ 考试形式：闭卷 2007 年 1 月 （本试卷答卷时间为 120 分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效） 专业 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 一、 ｎ阶行列式计算： （共 20 分，每小题 10 分） （1） a a a x a a a x a a a x a a a x a a a a An − − − − =
VI x,-y2 -y x2-y2 x2-V3 x2-Vn (2)Bn=x-y x -y2 xa-y3..x-ym n-y Bn-y2 xn-y3 第2页
第 2 页 （2） n n n n n n n n n x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y B − − − − − − − − − − − − − − − − = 1 2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1
假设A为n阶方阵,D=dg{,l2,l2…n}是n阶对角阵,其中λ1,2,不…,Ln两 两不相等,且AD=DA,证明A必为对角阵。(10分) ⌒装订线内不要答题 假设n阶方阵A满足:(A+anXA+bn)=0,其中a≠b,n是n阶单位阵,证明 (1)r(A+al )+r(A+bl)=n (2)方阵A必相似于一对角阵。 (共10分) 第3页
第 3 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 二、假设 A 为 n 阶方阵， D = diag1 ,2 ,3 , ,n 是 n 阶对角阵，其中 n , , , 1 2 3 两 两不相等，且 AD = DA ，证明:A 必为对角阵。 (10 分) 三、假设 n 阶方阵 A 满足： (A+ aI n )(A+ bI n ) = 0 ，其中 n a b,I 是 n 阶单位阵，证明： （1） r(A+ aI n ) + r(A+ bI n ) = n ； （2）方阵 A 必相似于一对角阵。 （共 10 分）
四、讨论参数a,B的值,解下列方程组。何时无解?何时有唯一的解?并请写出解;何时有无 穷多的解?并请写出解的一般形式 x1+众x2+x3=3 (12分) x1+2B2+x3=4 第4页
第 4 页 四、讨论参数 , 的值，解下列方程组。何时无解？何时有唯一的解？并请写出解；何时有无 穷多的解？并请写出解的一般形式。 + + = + + = + + = 2 4 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x （12 分）
五、设向量a1=(1101),a2=(1001,a3=(1-11.B1=(1201),B2=(010)请分别求 L(a1,a2,a3)+L(B1,B2)和L(a1,a2a3)∩L(B,月2)的维数及一个基。(12分) ⌒装订线内不要答题 第5页
第 5 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 五、设向量 (1,1,0,1), (1,0,0,1), (1,1, 1,1), (1,2,0,1), (0,1,1,0), 1 = 2 = 3 = − 1 = 2 = 请分别求 ( , , ) ( , ) L 1 2 3 + L 1 2 和 ( , , ) ( , ) L 1 2 3 L 1 2 的维数及一个基。 （12 分）
六、设向量a1=(a1,a12amn)i=1,2…m,B=(b,b2…bn),而且齐次方程组: a21x1 t a22x 的解都是bx+b2x2+…+bxn=0的解,证明:向量B可以由a12a2;…;∝n线性表示。(12分) 第6页
第 6 页 六、设向量 ( , , , ), 1,2, , ; ( , , , ) i i1 i2 i n m b1 b2 bn = a a a i = = ，而且齐次方程组： + + = + + = + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 的解都是 b1 x1 + b2 x2 + + bn xn = 0 的解，证明：向量 可以由 m , , , 1 2 线性表示。(12 分)
七、设A、B均为n阶方阵。若AB=BA,则A、B有共同的特征向量。(12分) ⌒装订线内不要答题 第7页
第 7 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 七、设 A、B 均为 n 阶方阵。若 AB=BA，则 A、B 有共同的特征向量。 （12 分）
八、设P[x]是实数域R上的次数不超过4多项式的全体, f f2=x2-x+,3=4x-x2+5x3+5x+,f4=2+x3-x2,f5=x-3x2+3x1。求 f,2,f,4,的极大线性无关组 分) 第8页
第 8 页 八、设 4P x[ ] 是实数域 R 上的次数不超过 4 多项式的全体， 3 2 4 2 3 4 3 4 2 4 1 2 3 4 5 f x x f x x f x x x x f x x f x x x = + − = − = − + + = + − = − + 1 2 , , 4 5 5 , 2 , 3 3 。 求 1 2 3 4 5 f f f f f , , , , 的极大线性无关组。 （12 分）