计算行列式D 的值 解:将第一行乘以-1分别加到其余各行,得 a-r 2-a 0 0 0 再将各列都加到第一列上,得 z +(n-1)a a 0 0 0={x+(n-1)l]( 2 证明 00 0 00 1 证明:用数学归纳法证明 当n=2时,D2= x2+a1x+a2,命题成立 a2 +a 假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即 +…+an-2x+an-1
1 Oé1™Dn = x a · · · a a x · · · a · · · · · · · · · · · · a a · · · x ä. ): Ú1ò1¶±-1©O\Ÿ{à1, Dn = x a a · · · a a − x x − a 0 · · · 0 a − x 0 x − a · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · a − x 0 0 · · · x − a , 2Úà—\1ò˛, Dn = x + (n − 1)a a a · · · a 0 x − a x · · · 0 0 0 x − a · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · x − a = [x + (n − 1)a](x − a) n−1 . 2 y² Dn = x −1 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · x −1 an an−1 an−2 · · · a2 x + a1 = x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. y²: ^ÍÆ8B{y². n = 2û, D2 = x −1 a2 x + a1 = x 2 + a1x + a2, ·K§·. bÈu(n − 1) 1™·K§·, = Dn−1 = x n−1 + a1x n−2 + · · · + an−2x + an−1, 1
则Dn按第一列展开,有 00 00 +an-iI+a 因此,对于n阶行列式命题成立 计算行列式D2n= 的值 2
KDnU1ò–m, k Dn = xDn−1 + an(−1)n+1 −1 0 · · · 0 0 x −1 · · · 0 0 · · · · · · · · · · · · · · · 1 1 · · · x −1 = xDn−1 + an = x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. œd, Èun 1™·K§·. 3 Oé1™D2n = an bn . . . . . . a1 b1 c1 d1 . . . . . . cn dn ä. 2
2n= (按第一行展开) a b1 an-I bn b1 再按最后一行展开得递推公式 (andn-bncn)D2r 于是 (aidi-biciD2 Do d1-b1cy Cl
): D2n = an bn . . . . . . a1 b1 c1 d1 . . . . . . cn dn (U1ò1–m) = an an−1 bn−1 0 . . . . . . a1 b1 c1 d1 . . . . . . cn−1 dn−1 0 0 0 dn + (−1)2n+1bn 0 an−1 bn−1 . . . . . . a1 b1 c1 d1 . . . . . . cn−1 dn−1 cn 0 . 2UÅò1–m4Ì˙™ D2n = andnD2n−2 − bncnD2n−2, = D2n = (andn − bncn)D2n−2. u¥ D2n = Yn i=2 (aidi − bici)D2. D2 = a1 b1 c1 d1 = a1d1 − b1c1, 3
所以 D2n=l(a;d;-b:ci) i=1 4 计算行列式D=det(a)的值,其中a=|- 解:a1=|-j det(aii) 1 2101 3210 n 1234 n 1111 111 2n-3m-4 0 0 0000 n-12n-32n-42n-5 1)2
§± D2n = Yn i=1 (aidi − bici). 4 Oé1™D = det(aij )ä, Ÿ•aij = |i − j|. ): aij = |i − j|, Dn = det(aij ) = 0 1 2 3 · · · n − 1 1 0 1 2 · · · n − 2 2 1 0 1 · · · n − 3 3 2 1 0 · · · n − 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · n − 1 n − 2 n − 3 n − 4 · · · 0 = −1 1 1 1 · · · 1 −1 −1 1 1 · · · 1 −1 −1 −1 1 · · · 1 −1 −1 −1 −1 · · · 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · n − 1 n − 2 n − 3 n − 4 · · · 0 = −1 0 0 0 · · · 0 −1 −2 0 0 · · · 0 −1 −2 −2 0 · · · 0 −1 −2 −2 −2 · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · n − 1 2n − 3 2n − 4 2n − 5 · · · n − 1 = (−1)n−1 (n − 1)2n−2 . 4
ab 计算行列式bd-cdde的值 bf cf -ef ab adf - e 11 dfbce 1-1 1 4abcdef 5
5 Oé1™ −ab ac ae bd −cd de bf cf −ef ä. ): −ab ac ae bd −cd de bf cf −ef = adf −b c e b −c e b c −e = adf bce −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 = 4abcdef. 5