复旦大学计算机科学技术学院 2011-2012学年第二学期《线性代数》期终考试试卷 B卷共9页 课程代码:cOMP120004.02 考试形式:口开卷國闭卷 2012年9月 (本试卷答卷时间为120分钟,答案必须写在试卷上,做在草稿纸上无效) 专业 学号 姓名 成绩 得分 十十2 、名词解释(10%) 1.矩阵的秩 ⌒装订线内不要答题 2.齐次线性方程组的基础解系 第1页
第 1 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 复旦大学计算机科学技术学院 2011-2012 学年第二学期《线性代数》期终考试试卷 B 卷 共 9 页 课程代码：COMP120004.02 考试形式：□开卷 □√闭卷 2012 年 9 月 （本试卷答卷时间为 120 分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效） 专业 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 一、名词解释（10%） 1. 矩阵的秩 2. 齐次线性方程组的基础解系
3线性空间的维数 4.分别写出非齐次方程组Ax=b的解存在与齐次方程组Ax=0的解存在的充分必要条件 5.二次型的标准形与规范形 第2页
第 2 页 3. 线性空间的维数 4. 分别写出非齐次方程组 Ax = b 的解存在与齐次方程组 Ax = 0 的解存在的充分必要条件 5. 二次型的标准形与规范形
、选择题(10%) 1在n阶行列式4中将第行第j列的元素乘以b(,j=1.2…m),其值变为 B.b”A4 2改变一个n阶行列式的每一个元素为原来的一半,其值将变为 D.G)4 3假设A,B都为n阶矩阵,k为正整数,下列正确的是_。 A.若A=0,则A=0 B.4=4 C.A+BSA+B D.|4|= 4.假设D= 线 0 B ,其中A为m阶矩阵,B为n阶矩阵,则r 内 不 A. mn(ra, rB) B. max(ra, rB) D. r,trB 要 答 5.n阶实反对称矩阵的全体按矩阵通常的加法与数乘构成实数域R上的线性空间V,此空间 题}的维数为_ n 、填空题(10%) 1在n阶行列式4中位于某k行,某l列交叉点的kl个元素全为0,且k+l>n,则 假设A是m×n矩阵,则齐次方程组Ax=0只有零解的充要条件是厂4:Ax=0有 非零解的充要条件是P 第3页
第 3 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 二、选择题（10%） 1. 在 n 阶行列式 A 中将第 i 行第 j 列的元素乘以 b (i, j 1,2, ,n) i j = − ，其值变为 。 A. A B. b A n C. b A n n 2 ( 1) ( ) − D. b A 2. 改变一个 n 阶行列式 A 的每一个元素为原来的一半，其值将变为 。 A. A 2 1 B. 2 A C. A n n 2 ( 1) ) 2 1 ( − D. A n ) 2 1 ( 3. 假设 A, B 都为 n 阶矩阵， k 为正整数，下列正确的是 。 A. 若 A = 0 ，则 A = 0 B. − A = A C. A+ B A + B D. k k A = A 4. 假设 = B A D 0 0 ，其中 A 为 m 阶矩阵， B 为 n 阶矩阵，则 rD = 。 A. min( , ) A B r r B. max( , ) A B r r C. AB r D. A B r + r 5. n 阶实反对称矩阵的全体按矩阵通常的加法与数乘构成实数域 R 上的线性空间 V ，此空间 的维数为 。 A. n B. 2 n C. n! D. 2 n(n −1) 三、填空题（10%） 1. 在 n 阶行列式 A 中位于某 k 行，某 l 列交叉点的 kl 个元素全为 0，且 k + l n ，则 A = 。 2. 假设 A 是 mn 矩阵，则齐次方程组 Ax = 0 只有零解的充要条件是 A r ； Ax = 0 有 非零解的充要条件是 A r
2300 3假设矩阵A8410/4是矩阵A的伴随矩阵,(4)= 192 4假设A是四阶矩阵,它的特征值分别是1,-1,2,2。则行列式A3-2 5假设向量组ax1,a2a,线性无关,其中S是奇数 且B1=a1+a2,B2=a2+a3…B,=a,+a1,生成子空间L(B,B2;…;B,)的维数 四、是非题(10% 1.假设A是m×n矩阵,对于非齐次线性方程组Ax=b,有r4=m,则此方程必相容。【】 2.假设A是m×n矩阵,其秩为r,则A中必定存在一个r+1阶子式不为零。【】 3.假设A是m×n矩阵,它的m个行向量线性相关,则它的n个列向量也线性相关。【】 4.假设R为实数域,C为复数域,则R是复数域C上的线性空间 5假设AB都是n阶对称矩阵,且1n一A=1n-B,则A与B相似 五、行列式计算(10%) 行列式110 第4页
第 4 页 3. 假设矩阵 = 1 9 2 5 8 4 1 0 2 3 0 0 1 0 0 0 A ， * A 是矩阵 A 的伴随矩阵， * 1 ( ) − A = 。 4. 假设 A 是四阶矩阵，它的特征值分别是 1，-1，2，-2。则行列式 A 2A 3 − = 。 5. 假设向量组 s , , , 1 2 线性无关，其中 s 是奇数。 且 1 1 2 2 2 3 1 = + , = + , , s = s + ， 生成 子 空间 ( , , , ) L 1 2 s 的维数 为 。 四、是非题（10%） 1. 假设 A 是 mn 矩阵，对于非齐次线性方程组 Ax = b ，有 rA = m ，则此方程必相容。【 】 2. 假设 A 是 mn 矩阵 ，其秩为 r ，则 A 中必定存在一个 r +1 阶子式不为零。 【 】 3. 假设 A 是 mn 矩阵，它的 m 个行向量线性相关，则它的 n 个列向量也线性相关。【 】 4. 假设 R 为实数域， C 为复数域，则 R 是复数域 C 上的线性空间。 【 】 5. 假设 A, B 都是 n 阶对称矩阵，且 I n − A = I n − B ，则 A 与 B 相似。 【 】 五、行列式计算（10%） 1. 行列式 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 An =
六、计算逆阵(10%) 231 ⌒装订线内不要答题 第
第 5 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 六、计算逆阵（10%） 1. − − − = 1 0 2 6 1 1 1 1 2 3 1 2 1 2 3 4 A
七、计算非齐次方程组的通解(10‰ 2 10 2x+4 第6页
第 6 页 七、计算非齐次方程组的通解(10%)： 1. + − = + + = − − − + = + + − = − 2 3 10 2 4 0 2 5 10 3 10 2 6 2 7 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x
八、计算题(10% 1.已知线性空间P[x]3的向量组 f=1+x+3x2+x3,f2=1+x+2x2,f3=1+x+x2-x3,f4=x2+x (1)计算子空间L(f,f2,/3,f4)的维数和一个基 (2)确定∫=∫1+2+3+f4在这个基下的坐标; (3)向量f6=1+x是否属于子空间L(f1,f2,f3,f4) ⌒装订线内不要答题 第7页
第 7 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 八、计算题（10%） 1. 已知线性空间 3 P[x] 的向量组： 2 3 f 1 =1+ x + 3x + x ， 2 f 2 =1+ x + 2x ， 2 3 f 3 = 1+ x + x − x ， 2 3 4 f = x + x （1）计算子空间 ( , , , ) 1 2 3 4 L f f f f 的维数和一个基； （2）确定 5 1 2 3 4 f = f + f + f + f 在这个基下的坐标； （3）向量 f = 1+ x 6 是否属于子空间 ( , , , ) 1 2 3 4 L f f f f
九、证明题(20%) 1.假设A是n阶矩阵,试证 (1)矩阵A可以分解成实对称矩阵B与实反对称矩阵C之和; (2)若A=B+C,其中B是实对称矩阵,C是实反对称矩阵,而且 BC=CB=0,A2=0,则A=0 第8页
第 8 页 九、证明题（20%） 1. 假设 A 是 n 阶矩阵，试证: (1) 矩阵 A 可以分解成实对称矩阵 B 与实反对称矩阵 C 之和； (2) 若 A = B+C ，其中 B 是实对称矩阵， C 是实反对称矩阵，而且 0, 0 2 BC = CB = A = ，则 A = 0
2.设V是数域P上的n维线性空间,σ,r是空间V上的线性变换,σ在数域P上有n个 不同的特征值,证明: (1)σ的特征向量都是r的特征向量的充要条件是or=ro (2)若Or=vo,则r是E、.a2…om1的线性表示,其中E表示V上的恒等变换。 ⌒装订线内不要答题 第9页
第 9 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 2. 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间， , 是空间 V 上的线性变换， 在数域 P 上有 n 个 不同的特征值，证明： （1） 的特征向量都是 的特征向量的充要条件是 = ； （2）若 = ，则 是 2 1 , , , , − n 的线性表示，其中 表示 V 上的恒等变换