2014年《线性代数》期中试题 考试时间:90分钟2014年11月 学号 姓名 成绩 题 (12) 四(8) 五(12) (8) 分 得分 判断下列命题是否正确(每小题2分,总计20分) (1)[]A为n阶实反对称矩阵,则det(A)=0 0 A (2)[]设A∈Rm×m,B∈Rn×n,C∈Rmxn,则矩阵 的行列式为 det(a)det (B) (3)[]矩阵A,B为n阶方阵,det(AB)=0当且仅当det(A)=0或det(B)=0. (4)[]设n阶方阵A的行列式不为零,A·为A的伴随矩阵,则dt(A))=det(A)0-1). (5)[]设A,B为n阶实对称阵,则A+B和AB也是实对称阵 (6)[]设n阶矩阵A可逆,其逆阵记为A-1,若交换矩阵A的第i和j(i≠列后矩阵记为An, 则A;的逆阵等于将A-1交换第i和j行 (7)[]A,B.C均为n阶方阵,若AB=AC,且A≠0,则B=C (8)[]设A={a1a,……,an}和B={bb,…,br}分别是m×1和n×1的两组向量,而且向 量组A和B各自线性相关,则(m+m)×1的向量组C b1 线性相关 (9)[]设A为m×n矩阵,与非齐次线性方程组Ax=b相应的齐次线性方程组为Ax=0,若 Ax=b不相容,则Ax=0只有零解 (0[设A为任意mxn矩阵,且mk(A)=r,则mak(AA)= 二.选择题(每小题4分,总计40分) (1)设行列式a1a12 a13a11 y则行列式12+0 13 a21a22+a23 A.x+yB.-(x+y)C.y-xD.x-yE.A-D均不正确 12 (2)设矩阵A=10-1,A是A的伴随矩阵,则A*中的第1行第2列元素是 a a (3)设矩阵A 1 a a 若rank(A)=1,则a为 aaa l A.2B.1C.4
2014年《线性代数》期中试题 考试时间: 90 分钟 2014年11月 学号: 姓名: 成绩: 题号 一(20) 二(40) 三(12) 四(8) 五(12) 六(8) 总分 得分 一. 判断下列命题是否正确(每小题2分,总计20分) (1) [ ]A 为 n 阶实反对称矩阵, 则 det (A) = 0. (2) [ ]设 A ∈ R m×m, B ∈ R n×n , C ∈ R m×n , 则 矩 阵 " 0 A B BC # 的 行 列 式 为 (−1)mn det (A) det (B). (3) [ ]矩阵 A, B 为 n 阶方阵, det (AB) = 0 当且仅当 det (A) = 0 或 det (B) = 0. (4) [ ]设 n 阶方阵 A 的行列式不为零, A∗ 为 A 的伴随矩阵, 则 det ((A∗ ) ∗ ) = det (A) (n−1)2 . (5) [ ]设 A, B 为 n 阶实对称阵, 则 A + B 和 AB 也是实对称阵. (6) [ ]设 n 阶矩阵 A 可逆, 其逆阵记为 A−1 , 若交换矩阵 A 的第 i 和 j(i 6= j) 列后矩阵记为 Aij , 则 Aij 的逆阵等于将 A−1 交换第 i 和 j 行. (7) [ ]A, B, C 均为 n 阶方阵, 若 AB = AC, 且 A 6= 0, 则 B = C. (8) [ ]设 A = {a1, a2, . . . , ar} 和 B = {b1, b2, . . . , br} 分别是 m × 1 和 n × 1 的两组向量, 而且向 量组 A 和 B 各自线性相关, 则 (m + n) × 1 的向量组 C = (" a1 b1 # , " a2 b2 # , . . . , " ar br #) 必 线性相关. (9) [ ]设 A 为 m × n 矩阵, 与非齐次线性方程组 Ax = b 相应的齐次线性方程组为 Ax = 0, 若 Ax = b 不相容, 则 Ax = 0 只有零解. (10) [ ]设 A 为任意 m × n 矩阵, 且rank (A) = r, 则 rank AT A = r. 二. 选择题(每小题4分,总计40分) (1) 设行列式 a11 a12 a21 a22 = x, a13 a11 a23 a21 = y, 则行列式 a11 a12 + a13 a21 a22 + a23 为 . A. x + y B. −(x + y) C. y − x D. x − y E. A—D均不正确 (2) 设矩阵A = 3 −1 2 1 0 −1 −2 1 4 , A∗ 是 A 的伴随矩阵, 则 A∗ 中的第 1 行第2 列元素是 . A. 6 B. −2 C. −6 D. 2 (3) 设矩阵A = 1 a a a a 1 a a a a 1 a a a a 1 , 若 rank (A) = 1, 则 a 为 . A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
(4)已知a1,a2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,B1,B2是对应齐次线性方程组 的Ax=0的基础解系,k1,k2为任意常数,下列选项中哪个是方程组Ax=b的(一般)解形 式 1 A.a1+h(a1-a2)+k2(1-B2)B.(a1+a2)+h(a1-a2)+h2(+B2) C.2(1-2)+k2B+k3(+B2)D.2(1+Q2)+kB+2(一B) (5)设有三张不同平面的方程an1x+a2y+a3z=b(=1,2,3),它们所组成的线性方程组的系数 矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为下列中的哪个 A.三个平面只有一个公共点B.三个平面中仅有两个平面平行 C.三个平面交于一直线 D.三个平面两两交于一直线 (6)设A,B为n阶矩阵,A,B*分别为A,B对应的伴随矩阵,分块矩阵C a0 0B|,则C的 伴随矩阵C*为 det(A)A* B det(B)B det(b) det (a)A det(A)B det(B)A·D det(B)A 0 det (a)b* (7)设矩阵A=bab,若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有 A.a≠b且a+2b=0B.a=b或a+2b≠0 C.a=b或a+2b=0D.a≠b且a+2b≠0 (8)设方阵A=(a3×3满足A的伴随矩阵A=A,若a1,a12,a13为三个相等的正数,则a1 为 A. 3 B (9)设a1,a2,,an为n×1的列向量组,A为m×n矩阵,则下列那个选项是正确的 A.若a1,Q2,,an线性无关,则Aa1,Aa2,,Aan线性相关 线性无关,则Aa1,Aa2,,Aan线性无关 C.若a1,a2,,an线性相关,则Aa1,Aa2,,Aan线性相关 D.若a1,a2,,On线性相关,则Aa1,Aa2,,Aan线性无关 (10)设n阶方阵A,B,C满足ABC=I(I为单位阵),则必有 A. ACB=I B. CBA=I C. BAC=I D. BCA=I
(4) 已知 α1, α2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个不同的解, β1, β2 是对应齐次线性方程组 的 Ax = 0 的基础解系, k1, k2 为任意常数, 下列选项中哪个是方程组 Ax = b 的(一般)解形 式 . A. α1 + k1(α1 − α2) + k2(β1 − β2) B. 1 2 (α1 + α2) + k1(α1 − α2) + k2(β1 + β2) C. 1 2 (α1 − α2) + k2β1 + k3(β1 + β2) D. 1 2 (α1 + α2) + k1β1 + k2(β1 − β2) (5) 设有三张不同平面的方程ai1x + ai2y + ai3z = bi(i = 1, 2, 3), 它们所组成的线性方程组的系数 矩阵与增广矩阵的秩都为 2, 则这三张平面可能的位置关系为下列中的哪个 . A. 三个平面只有一个公共点 B. 三个平面中仅有两个平面平行 C. 三个平面交于一直线 D. 三个平面两两交于一直线 (6) 设 A,B 为 n 阶矩阵, A∗ , B∗ 分别为 A, B 对应的伴随矩阵, 分块矩阵 C = " A 0 0 B # , 则 C 的 伴随矩阵 C∗ 为 . A. " det (A) A∗ 0 0 det (B) B∗ # B. " det (B) B∗ 0 0 det (A) A∗ # C. " det (A) B∗ 0 0 det (B) A∗ # D. " det (B) A∗ 0 0 det (A) B∗ # (7) 设矩阵 A = a b b b a b b b a , 若 A 的伴随矩阵的秩等于 1, 则必有 . A. a 6= b 且 a + 2b = 0 B. a = b 或 a + 2b 6= 0 C. a = b 或 a + 2b = 0 D. a 6= b 且 a + 2b 6= 0 (8) 设方阵 A = [aij ] 3×3 满足 A 的伴随矩阵 A∗ = AT , 若 a11, a12, a13 为三个相等的正数, 则 a11 为 . A. 3 B. √ 3 3 C. 1 3 D. 3 (9) 设 α1, α2, . . . , αn 为 n × 1 的列向量组, A 为 m × n 矩阵, 则下列那个选项是正确的 . A. 若α1, α2, . . . , αn 线性无关, 则 Aα1, Aα2, . . . , Aαn 线性相关. B. 若α1, α2, . . . , αn 线性无关, 则 Aα1, Aα2, . . . , Aαn 线性无关. C. 若α1, α2, . . . , αn 线性相关, 则 Aα1, Aα2, . . . , Aαn 线性相关. D. 若α1, α2, . . . , αn 线性相关, 则 Aα1, Aα2, . . . , Aαn 线性无关. (10) 设 n 阶方阵 A, B, C 满足 ABC = I(I 为单位阵), 则必有 . A. ACB = I B. CBA = I C. BAC = I D. BCA = I
(12分)设n阶方阵A 0 1 (a)求det(A (b)若方程组Ax=b有唯一解a应该如何取值其中b=[10…0 (c)求方程组的解 四.(8分)设A为n阶可逆方阵,x,y为n×1向量,证明:若yA-1x≠1,则矩阵A+xy可逆, A 1+yTA-lx
三. (12分) 设 n 阶方阵 A = 2a 1 0 · · · 0 a 2 2a 1 . . . . . . 0 a 2 2a . . . 0 . . . . . . . . . . . . 1 0 · · · 0 a 2 2a . (a) 求 det (A). (b) 若方程组 Ax = b 有唯一解, a 应该如何取值, 其中 b = h 1 0 · · · 0 iT . (c) 求方程组的解. 四. (8分) 设 A 为 n 阶可逆方阵, x, y 为 n × 1 向量, 证明: 若 y T A−1x 6= 1, 则矩阵 A + xyT 可逆, 且 A + xyT −1 = A−1 − A−1xyT A−1 1 + yT A−1x
五.(12分)方程组 2 2 有三个不同的解向量:a1,a2,a3 (a)确定参数t的值 (b)证明:a1-a2,a1-a3线性相关 六.(8分)解矩阵方程
五. (12分) 方程组 x1 − 3x2 + x3 = 2 2x1 + x2 + tx3 = −1 7x1 − 2x3 = −1 有三个不同的解向量: α1, α2, α3. (a) 确定参数 t 的值. (b) 证明: α1 − α2, α1 − α3 线性相关. 六. (8分) 解矩阵方程: " 2 1 −2 3 # X " −2 −1 1 1 # = " −2 3 −6 1 #