复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（习题解答与试题）第三章补充题目

第三章补充题目 1.设100A010=456,求A 001(001丿(789 010 解100是初等矩阵E(,2,其逆矩阵就是其本身 001 0 010是初等矩阵E(1,21),其逆矩阵是 01 E(1,2(-1)=010 001 01012310-1 A=100456010 001人789001 45610-1)(452 123010=122 789人001)(782 2.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆矩阵:

第三章补充题目 1 设                          987 654 321 100 010 101 100 001 010 A  求 A 解         100 001 010 是初等矩阵 E(1 2) 其逆矩阵就是其本身         100 010 101 是初等矩阵 E(1 2(1)) 其逆矩阵是 E(1 2(1))           100 010 101                            100 010 101 987 654 321 100 001 010 A                            287 221 254 100 010 101 987 321 654  2 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵

(1)315 321100(321100 解315010~0-14-110 323001(002-101 203/20-1/2)(300722-9/2 0-1011-2~0-101 (002-101)(001-l/201/2 00762/3-3/2 010-1-12 001-1/201/2 723 故逆矩阵为 611202 02 1-2-3-2 0121

(1)         323 513 123  解         100 010 001 323 513 123 ~           101 011 001 200 410 123 ~            101200 211010 2/102/3023 ~            2/102/1100 211010 2/922/7003 ~            2/102/1100 211010 2/33/26/7001 故逆矩阵为                2 1 0 2 1 211 2 3 3 2 6 7  (2)              1210 2321 1220 1023 

解 3010 222 0232 2 1000 0 000 0 2 000 2142 00 292 151 000 0 030 0100 000 2100 3212 0010 000 030 0142 1000 2100 210 0012 1036 1000 00 000 2036 01402160 000 012 2036 4160

解             1000 0100 0010 0001 1210 2321 1220 1023 ~             0010 0301 1000 0100 1220 5940 1210 2321 ~               2010 4301 1000 0100 1200 1100 1210 2321 ~              10612 4301 1000 0100 1000 1100 1210 2321 ~               10612 6311 10`10 2211 1000 0100 0010 0021 ~               10612 6311 1010 4211 1000 0100 0010 0001

11-2-4 故逆矩阵为_019 6 21-6-10 3(1设A=22 B=2 求X使AX=B 解因为 (4,B)=22122-010-15-3, 001124 102 所以X=AB=-15-3 124 02 (2)设A=2-13|,B 求X使XA=B 解考虑AX=B.因为 02-312),(1002-4 (4,B)=2-132-3|~010-17 13-431)(001-14 所以X7=(4)B=-17

故逆矩阵为                10612 6311 1010 4211  3 (1)设            113 122 214 A             13 22 31 B  求 X 使 AXB 解 因为              13 22 31 113 122 214 BA ) ,(          412 315 210 100 010 001 ~ r  所以           412 315 210 1 BAX  (2)设           433 312 120 A          132 321 B  求 X 使 XAB 解 考虑 AT XT BT  因为             13431 32312 21320 ) ,( TT BA            41100 71010 42001 ~ r  所以              41 71 42 )( 1 TTT BAX 

从而x=B=_2-1 4.设A=01-1,AX=2X4+A,求X 解原方程化为(A-2EX=A.因为 (A4-2E,A)=0-1-101-1 10-1-101 10001 010-101 0011-10 所以x=(4-2E)A-101 5.从矩阵A中划去一行得到矩阵B,问A,B的秩的关系怎 样? 解r(A)≥r(B)

从而            474 1 112 BAX  4 设             101 110 011 A  AX 2XA 求 X 解 原方程化为(A2E)X A 因为               101101 110110 011011 AEA ) ,2(            011100 101010 110001 ~  所以              011 101 110 )2( 1AEAX  5 从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B 问 A B 的秩的关系怎 样? 解 r(A)r(B)

这是因为B的非零子式必是A的非零子式,故A的秩不会 小于B的秩 6.求解下列齐次线性方程组: x+x2+2x3-x4=0 (1)2x+x2+x-x2=0 2x1+2x,+x2+2x1=0 解:对系数矩阵A进行初等行变换,有 112-1)(10-10 A=211-1~013 2212)(001-4/3 于是x=3 X=X 故方程组的解为

这是因为 B 的非零子式必是 A 的非零子式 故 A 的秩不会 小于 B 的秩 6 求解下列齐次线性方程组: (1)           0222 02 02 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx  解:对系数矩阵 A 进行初等行变换 有 A           2122 1112 1211 ~            3/4100 1310 0101  于是            44 43 42 41 3 4 3 3 4 xx xx xx xx  故方程组的解为

4(k为任意常数 x x+2x2+x3-x=0 (2)3x+6x2-x3-3x=0 5x1+10x2+x3 解对系数矩阵A进行初等行变换,有 120 A-36-1-3|0010 0000 x=-2x2+x 于是x2=x2 X,=X 故方程组的解为 x3 0+k0(k,k为任意常数) x 0)(1

                          1 3 4 3 3 4 4 3 2 1 k x x x x (k 为任意常数) (2)           05105 0363 02 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx  解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 有 A            51105 3163 1121 ~          0000 0100 1021  于是           44 3 22 421 0 2 xx x xx xxx  故方程组的解为                                 1 0 0 1 0 0 1 2 21 4 3 2 1 kk x x x x (k1 k2为任意常数)

x1+3x2-x2+5x=0 (3) 3x1+x2+2x2-7x1=0 4x1+x2-3x3+6x4=0 x-2x2+4x3-7x4=0 解对系数矩阵A进行初等行变换,有 3-15(1000 2-70100 41-360010 1-24-7)(0001 x=0 于是 故方程组的解为 0 x2=0 x2=0 3x1+4x-5x2+7x1=0 2x-3x+3x3-2x1=0 4x1+11x2-13x3+16x4=0 7x1-2x2+x2+3x4=0 解对系数矩阵A进行初等行变换,有

(3)             0742 0634 0723 0532 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx  解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 有 A               7421 6314 7213 5132 ~           1000 0100 0010 0001  于是          0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x  故方程组的解为          0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x  (4)             0327 01613114 02332 07543 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx  解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 有

313 0 4-57 717 411-1316/011920 2-33-2 7-213)0000 0000 于是 9.20 故方程组的解为 13 17 (k1,k2为任意常数) x 7.求解下列非齐次线性方程组: 4x1+2x2-x (1)3x-1x2+2x3=10; 11x+3x,=8 解对增广矩阵B进行初等行变换,有

A               3127 1613114 2332 7543 ~                 0000 0000 17 20 17 19 10 17 13 17 3 01  于是            44 33 432 431 17 20 17 19 17 13 17 3 xx xx xxx xxx  故方程组的解为                                           1 0 17 20 17 13 0 1 17 19 17 3 21 4 3 2 1 kk x x x x (k1 k2为任意常数) 7 求解下列非齐次线性方程组: (1)          8311 10213 224 21 321 321 xx xxx xxx  解 对增广矩阵 B 进行初等行变换 有

42-12 3-3-8 B=3-1210~0-101134 11308)(000-6 于是R(A)=2,而R(B)=3,故方程组无解 2x+3y+z=4 (2) x-2y+4z=-5 3x+8-2z=13 4x-y+9z=-6 解对增广矩阵B进行初等行变换,有 2314(102-1 B 8-2130000 4-19-6)(0000 x=-2z-1 于是 二=2 i|2|(k为任意常数) 2x+y-z+w=1 (3)4x+2y-22+=2; 解对增广矩阵B进行初等行变换,有

B           80311 10213 2124 ~           6000 3411100 8331  于是 R(A)2 而 R(B)3 故方程组无解 (2)            694 13283 542 432 zyx zyx zyx zyx  解 对增广矩阵 B 进行初等行变换 有 B              6914 13283 5421 4132 ~             0000 0000 2110 1201  于是        zz zy zx 2 12  即                           0 2 1 1 1 2 k z y x (k 为任意常数) (3)        12 2224 12 wzyx wzyx wzyx  解 对增广矩阵 B 进行初等行变换 有