计算机科学技术学院 《线性代数》期末考试试卷 B卷共7页 课程代码:IN0120007。01考试形式:口开卷团闭卷 2009年2月 (本试卷答卷时间为120分钟,答案必须写在试卷上,做在草稿纸上无效) 专业 学号 姓名 成绩 十十 十|总分 得分 、名词解释(10%) (a)矩阵的标准型 ⌒装订线 内 (b)矩阵的三种初等变换 不要答题 (c)向量组的极大线性无关 (d)线性空间的维数 (e)二次型的一般形式 第1页
第 1 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 计算机科学技术学院 《线性代数》期末考试试卷 B 卷 共 7 页 课程代码：INFO120007。01 考试形式：□开卷 □√闭卷 2009 年 2 月 （本试卷答卷时间为 120 分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效） 专业 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 一、名词解释（10%） (a) 矩阵的标准型 (b) 矩阵的三种初等变换 (c) 向量组的极大线性无关 (d) 线性空间的维数 (e) 二次型的一般形式
二、选择题(10% (a)改变一个n阶行列式4的每一个元素为原来的一半,其值将变为 B.24 C.G)24D.(=)”A (b)在n阶行列式4中将第i行第j列的元素乘以(-1)(,j=12,n),其值变为 B.(-1)A4 C.(-1) (c)假设A,B都为n阶矩阵,k为正整数,下列正确的是 A若|4=0,则A=0 B.4=|4 C.|4+Bs4+|f (d)假设D=/C 其中A为m阶可逆矩阵,B为n阶矩阵,C为m×n矩阵,则 0 B A. mn(ra, rB) B. max(ra, rB) C.r AB D. ra+rB (e)n阶实反对称矩阵的全体按矩阵通常的加法与数乘构成实数域R上的线性空间V,此空间 的维数为 B 、填空题(10%) 234x 523 32x000 (a)已知f(x)= x000 则x的系数为 x00000 00000 第2页
第 2 页 二、选择题（10%） (a) 改变一个 n 阶行列式 A 的每一个元素为原来的一半，其值将变为 。 A. A 2 1 B. 2 A C. A n n 2 ( 1) ) 2 1 ( − D. A n ) 2 1 ( (b) 在 n 阶行列式 A 中将第 i 行第 j 列的元素乘以 ( 1) (i, j 1,2, ,n) i j − = − ，其值变为 。 A. A B. A n (−1) C. A n 2 (−1) D. − A (c) 假设 A, B 都为 n 阶矩阵， k 为正整数，下列正确的是 。 A. 若 A = 0 ，则 A = 0 B. − A = A C. A+ B A + B D. k k A = A (d) 假设 = B A C D 0 ，其中 A 为 m 阶可逆矩阵， B 为 n 阶矩阵， C 为 mn 矩阵，则 rD = 。 A. min( , ) A B r r B. max( , ) A B r r C. AB r D. A B r + r (e) n 阶实反对称矩阵的全体按矩阵通常的加法与数乘构成实数域 R 上的线性空间 V ，此空间 的维数为 。 A. n B. 2 n C. n! D. 2 n(n −1) 三、填空题（10%） (a) 已知 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 2 0 0 0 5 2 3 0 0 1 2 3 4 0 ( ) x x x x x f x − − = ，则 5 x 的系数为
2300 (b)假设矩阵A= A是矩阵A的伴随矩阵,(A')-= 8410 ()假设A是四阶矩阵,它的特征值分别是1,-1,2,2则行列式A-24 (d)假设a1,a2,∝3是非齐次方程组Ax=b的解,a=a1+aa2-3ax3,则a是Ax=b的解的 充要条件是a= a是齐次方程组Ax=0的解的充要条件是a= (e)假设向量组a1,a2…;a,线性无关,且B1=a1+a2,B2=a2+a3,B,=a,+a1,生成 子空间L(B13B2…B,)的维数为 ⌒装订线 四、是非题(10% (a)假设A是m×n矩阵,其秩为r,则A中必定存在一个r+1阶子式不为零。【】 内 (b)假设A是m×n矩阵,对于线性方程组Ax=b,有P4=n,则此方程必有解。【】 不要答题 (c)假设A是m×n矩阵,它的m个行向量线性相关,则它的n个列向量也线性相关。【 (d)假设R为实数域,C为复数域,则复数域C是R上的线性空间 (e)假设A,B都是n阶矩阵,且n-A=|1n-B,则A与B相似。 五、行列式计算(10%) 1(a)行列式A 11+x 第3页
第 3 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） (b) 假设矩阵 = 1 9 2 5 8 4 1 0 2 3 0 0 1 0 0 0 A ， * A 是矩阵 A 的伴随矩阵， * 1 ( ) − A = 。 (c) 假设 A 是四阶矩阵，它的特征值分别是 1，-1，2，-2。则行列式 A 2A 3 − = 。 (d) 假设 1 2 3 , , 是非齐次方程组 Ax = b 的解， = 1 + a 2 − 33 ，则 是 Ax = b 的解的 充要条件是 a = ； 是齐次方程组 Ax = 0 的解的充要条件是 a = 。 (e) 假设向量组 s , , , 1 2 线性无关，且 1 1 2 2 2 3 1 = + , = + , , s = s + ，生成 子空间 ( , , , ) L 1 2 s 的维数为 。 四、是非题（10%） (a) 假设 A 是 mn 矩阵 ，其秩为 r ，则 A 中必定存在一个 r +1 阶子式不为零。 【 】 (b) 假设 A 是 mn 矩阵，对于线性方程组 Ax = b ，有 rA = n ，则此方程必有解。 【 】 (c) 假设 A 是 mn 矩阵，它的 m 个行向量线性相关，则它的 n 个列向量也线性相关。【 】 (d) 假设 R 为实数域， C 为复数域，则复数域 C 是 R 上的线性空间。 【 】 (e) 假设 A, B 都是 n 阶矩阵，且 I n − A = I n − B ，则 A 与 B 相似。 【 】 五、行列式计算（10%） (a) 行列式 x x x An + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
n+x (n-1)+x (b) B ,其中x≠0.(=1,2…,m) 六、计算逆阵(10%) 00 10 (a)F=01 其中a≠0 第4页
第 4 页 (b) x n n x n x n n n x B n n n 1 2 1 1 2 1 2 ( 1) 1 2 1 1 2 1 + − + − + − + = − ，其中 x 0,(i 1,2, ,n) i = 。 六、计算逆阵（10%） (a) − − − − = − − 1 2 1 0 0 ... 1 ... ... ... ... ... 0 1 ... 0 1 0 ... 0 0 0 ... 0 a a a a F n n n ，其中 0 n a
(b)设u是n元列向量,且ulu=1,求ln-2的逆阵 七、计算非齐次方程组的通解(10%) +2x2+6 2 10x3+3 2 4. ⌒装订线内不要答题 X3 第5页
第 5 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） (b) 设 u 是 n 元列向量，且 u u = 1 T ，求 T I n − 2uu 的逆阵。 七、计算非齐次方程组的通解(10%)： (a) + − = − + + = − − − + = + + − = − 2 3 10 2 4 0 2 5 10 3 10 2 6 2 7 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x
八、计算题(10% (a)a1=(1,7,17,3)a2=(4.8,187),a3=(10,1840,17),a4=(0,4,10,1)a=(2,-6,-16,1) 求它们的极大线性无关组。 九、证明题(20% 设R为实数域,设A为R上m×n阶矩阵,B为n×s阶矩阵,C为m阶方阵。用rmk(A)或 r表示矩阵A的秩。试证明 (1)rank 0B=h+a:(6分) (2)若A为n阶可逆矩阵,则rmnk =r4+r;(6分) (3)FAB≥r+rB-n.(8分) 第6页
第 6 页 八、计算题（10%） (a) 1 2 3 4 5 = = = = = − − (1,7,17,3), (4,8,18,7), (10,18,40,17), (0,4,10,1), (2, 6, 16,1) 。 求它们的极大线性无关组。 九、证明题（20%） 1. 设 R 为实数域，设 A 为 R 上 m n 阶矩阵， B 为 n s 阶矩阵， C 为 m 阶方阵。用 rank A( ) 或 A r 表示矩阵 A 的秩。试证明： (1) 0 A B A C rank r r B + ； （6 分） (2) 若 A 为 n 阶可逆矩阵，则 0 A B A C rank r r B = + ; （6 分） (3) AB A B r r r n + − . （8 分）
⌒装订线内不要答题 第 7
第 7 页 （装订线内不要答题）