计算机科学技术学院 《线性代数》期末考试试卷 A卷共7页 课程代码:IN0120007。01考试形式:口开卷团闭卷 2009年1月 (本试卷答卷时间为120分钟,答案必须写在试卷上,做在草稿纸上无效) 专业 学号 姓名 成绩 十十 十|总分 得分 、名词解释(10%) 1.矩阵的乘法 ⌒装订线 内 2.矩阵的秩 不要答题 3.向量组的极大线性无关组 4.齐次线性方程组的基础解系 5.二次型的标准形与规范形 第1页
第 1 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 计算机科学技术学院 《线性代数》期末考试试卷 A 卷 共 7 页 课程代码：INFO120007。01 考试形式：□开卷 □√闭卷 2009 年 1 月 （本试卷答卷时间为 120 分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效） 专业 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 一、名词解释（10%） 1. 矩阵的乘法 2. 矩阵的秩 3. 向量组的极大线性无关组 4. 齐次线性方程组的基础解系 5. 二次型的标准形与规范形
二、选择题(15%) 1.改变一个n阶行列式4的每一个元素的正负号,其值将变为。 A (-1)2|A4D.(-1)4 2.在n阶行列式4中将第行第j列的元素乘以b(,j=12;…n),其值变为 B.b”|4 )24D.b4 3.假设A,B都为n阶矩阵,k为实常数,下列正确的是 A若A4=0,则A=0 B kA=kA C.A+B3A+B DAB=AB 假设「A0 其中A为m阶矩阵,B为n阶矩阵,则r 0 B A. mn(ra, rB) B. max(ra, rB) 5.n阶实对称矩阵的全体按矩阵通常的加法与数乘构成实数域R上的线性空间V,此空间的 维数为 D n(n+1) 、填空题(15%) 1.在n阶行列式4中位于某k行,某1列交叉点的k个元素全为0,且k+1>n,则A4 2.假设A是n阶矩阵A(n>1)伴随矩阵,则A 3.假设A,B分别是m,n阶可逆矩阵,C是m×n矩阵,分块矩阵为 D 则D B 0 假设A是m×n矩阵,则齐次方程组Ax=0只有零解的充要条件是r Ax=0有 非零解的充要条件是r4 第2页
第 2 页 二、选择题（15%） 1. 改变一个 n 阶行列式 A 的每一个元素的正负号，其值将变为 。 A. A B. − A C. A n n 2 ( 1) ( 1) − − D. A n (−1) 2. 在 n 阶行列式 A 中将第 i 行第 j 列的元素乘以 b (i, j 1,2, ,n) i j = − ，其值变为 。 A. A B. b A n C. b A n n 2 ( 1) ( ) − D. b A 3. 假设 A, B 都为 n 阶矩阵， k 为实常数，下列正确的是 。 A. 若 A = 0 ，则 A = 0 B. kA = k A C. A+ B A + B D. AB = A B 4. 假设 = B A D 0 0 ，其中 A 为 m 阶矩阵， B 为 n 阶矩阵，则 rD = 。 A. min( , ) A B r r B. max( , ) A B r r C. AB r D. A B r + r 5. n 阶实对称矩阵的全体按矩阵通常的加法与数乘构成实数域 R 上的线性空间 V ，此空间的 维数为 。 A. n B. 2 n C. n! D. 2 n(n +1) 三、填空题（15%） 1. 在 n 阶行列式 A 中位于某 k 行，某 l 列交叉点的 kl 个元素全为 0，且 k + l n ，则 A = 。 2. 假设 * A 是 n 阶矩阵 A (n 1) 伴随矩阵，则 = * A 。 3. 假设 A, B 分别是 m, n 阶可逆矩阵， C 是 mn 矩阵，分块矩阵为 = B 0 C A D ，则 −1 D = 。 4. 假设 A 是 mn 矩阵，则齐次方程组 Ax = 0 只有零解的充要条件是 A r ； Ax = 0 有 非零解的充要条件是 A r
5.假设A是n阶可逆矩阵,λ是A的特征值,则相应地,A-的特征值等于:f(4) 1的值一一中(D是P次式 四、是非题(10%) 假设A是m×n矩阵,其秩为r,则A中必定存在一个r-1阶子式不为零。【】 2.假设A是m×n矩阵,对于非齐次线性方程组Ax=b,有r4=m,则此方程必相容 3.假设A是m×n矩阵,它的m个行向量线性无关,则它的n个列向量也线性无关。【】 4.假设R为实数域,C为复数域,则R是复数域C上的线性空间 5.假设A,B都是n阶对称矩阵,且|n-A=|n-B,则A与B相似 ⌒装订线内不要答题 五、行列式计算(12%) 1.爪型行列式An 第3页
第 3 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 5. 假设 A 是 n 阶可逆矩阵， 是 A 的特征值，则相应地， −1 A 的特征值等于 ； f (A) 的特征值等于 ，其中 f (A) 是 p 次多项式。 四、是非题（10%） 1. 假设 A 是 mn 矩阵 ，其秩为 r ，则 A 中必定存在一个 r −1 阶子式不为零。 【 】 2. 假设 A 是 mn 矩阵，对于非齐次线性方程组 Ax = b ，有 rA = m ，则此方程必相容。 【 】 3. 假设 A 是 mn 矩阵，它的 m 个行向量线性无关，则它的 n 个列向量也线性无关。【 】 4. 假设 R 为实数域， C 为复数域，则 R 是复数域 C 上的线性空间。 【 】 5. 假设 A, B 都是 n 阶对称矩阵，且 I n − A = I n − B ，则 A 与 B 相似。 【 】 五、行列式计算（12%） 1. 爪型行列式 n n n n c a c a a b b A = 2 2 1 2
B =la a x 六、计算逆阵(8%) 1.A=110…1 l11 第4页
第 4 页 2. n n a a a x a a x a a x a a x a a a B = 3 2 1 六、计算逆阵（8%） 1. = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A
七、计算非齐次方程组的通解(10%) XI 2x,+6 2 3 +2 ⌒装订线内不要答题 第5页
第 5 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 七、计算非齐次方程组的通解(10%)： 1. + − = + + = − − − + = + + − = − 2 3 10 2 4 0 2 5 10 3 10 2 6 2 7 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x
八、计算题(10% 1.已知线性空间P[x]3的向量组 f1=1+x+3x2+x3,f2=1+x+2x2,f3=1+x+x2-x3,f4=x2+x (1)计算子空间L(f2,f2,/3,f4)的维数和一个基 (2)确定∫=f1+∫2+∫3+∫4在这个基下的坐标; (3)向量f6=1+x是否属于子空间L(/1,f2,f,f4) 第6页
第 6 页 八、计算题（10%） 1. 已知线性空间 3 P[x] 的向量组： 2 3 f 1 =1+ x + 3x + x ， 2 f 2 =1+ x + 2x ， 2 3 f 3 = 1+ x + x − x ， 2 3 4 f = x + x （1）计算子空间 ( , , , ) 1 2 3 4 L f f f f 的维数和一个基； （2）确定 5 1 2 3 4 f = f + f + f + f 在这个基下的坐标； （3）向量 f = 1+ x 6 是否属于子空间 ( , , , ) 1 2 3 4 L f f f f
九、证明题(10%) 1.假设A,B都是n阶矩阵,若A有n个不同的特征值,且AB=BA,则B也相似于对角阵。 ⌒装订线 2.假设f(x1,x2…;x)=∑(an1x1+a2x2+…+anx),4=(an)m,其中an∈R, 内 则∫的秩等于矩阵A的秩P4 不要答题 第7页
第 7 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 九、证明题（10%） 1. 假设 A, B 都是 n 阶矩阵，若 A 有 n 个不同的特征值，且 AB = BA ，则 B 也相似于对角阵。 2. 假设 2 2 2 1 1 2 1 1 ( , , , ) ( ) i i n n m i n i f x x x = a x + a x + + a x = ， ij m n A a = ( ) ，其中 aij R ， 则 f 的秩等于矩阵 A 的秩 A r