3行列式的性质 记D 22 D 12 行列式D称为行列式D的转置行列式( transpose) 若记D=det(an),D=det(b),则b=a1 性质1行列式与它的转置行列式相等,即D=D
3 行列式的性质 11 12 1 2 21 2 2 1 2 , n n n n nn a a a a a a a a D a = L L M L M O M 记 21 22 11 1 2 1 2 12 n n n n T n n a a a a a a D a a a = M L L L M O M 行列式 称为行列式 的转置行列式(transpose). T D D 若记 det( ), det( ) ，则 . T D a D b ij ij = = ij ji b a = 性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 . T D D=
性质1行列式与它的转置行列式相等 证明若记D= det(a),D=det(bn),则 根据行列式的定义,有 D=∑(-1)n)bnb P1P2…P ∑(-1ynp n1n22… P1P2…P D 行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立
1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n T t p p p p p np p p p D b b b = − ∑ L L L 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证明 根据行列式的定义，有 若记 D a D b = = det( ), det( ) ij ij T ，则 ij ji a = b 1 2 n p p p L 1 1 2 1 2 2 1 ( ) 2 ( 1) n n n p p t p p p p p p p n = − ∑ a a a L L L = D 行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 ,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立
性质2互换行列式的两行(列),行列式变号 备注:交换第i(列)和第行(列),记作厂(r(c1台)C1) 验证175 662=-196 358=196 358 175|175 于是662|=-358 358662 推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零 证明互换相同的两行,有D=-D,所以D=0
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 验证 1 7 5 6 6 2 3 5 8 1 7 5 3 5 8 6 6 2 = − 196 = 196 备注：交换第i行（列）和第j 行（列），记作 ( ) . i j i j r r c c ↔ ↔ 于是 1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 3 5 8 6 6 2 = − 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零 ，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 ， D D = − ，所以D = 0
性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个 倍数k,等于用数k乘以此行列式 备注:第i行(列)乘以k,记作rXk(c1×k) 验证我们以三阶行列式为例.记 11 13 11 12 13 D 22 23 D,=ka ka22 ke 23 31 32 a 32 根据三阶行列式的对角线法则,有
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个 中所有的元素都乘以同一个 倍数 ，等于用数 乘以此行列式. 验证 k k a a a 我们以三阶行列式为例 三阶行列式为例. 记 a a a 备注：第 行i（列）乘以 k，记作 ( ) . i i r k c k × × 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , a a a D a a a a a a = 根据三阶行列式的对角线法则，有 11 12 13 1 21 22 23 31 32 33 k k a a a D a a a a a a = k
D,=ka2ka2 ka23 a1(k2)a3+an12(ka23)a31+a13(ka21)3 a13(ka2) 12(Ma 21)a3-a1(ka23)a2 all a2+122l 12 Ta D 132231-1122143-m14234 推论行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提 到行列式符号的外面 备注:第行(列)提出公因子记作r÷k(c1÷k)
11 12 13 1 21 22 23 31 32 33 k k a a a D a a a a a a = k 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k a a a = + + − − − 13 22 31 12 21 33 11 23 32 − − − a a a a a a ( ) ( ) ( ) k k k a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a k a + + = − − − = kD 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提 中所有元素的公因子可以提 到行列式符号的外面． 备注：第 行i（列）提出公因子k，记作 ( ) . i i r k c k ÷ ÷
性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列 式为零 验证我们以4阶行列式为例 12 13 14 11 12 13 14 2 23 24 k 2142a23a =k0=0 32 33 34 31a 32 32 34 k13
11 12 13 14 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a 验证 我们以 4阶行列式为例. 性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列 式为零． 21 22 23 24 21 22 23 24 31 32 33 34 11 12 13 14 11 12 31 32 33 34 1 4 3 1 k k 0 0 ka k a a a a a a a a a a a a a a a a ka ka a a a a a = = ⋅ =
性质5若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 例如 2+b2a3 D +b2 a2,a2,+ 31 32 2 33 12 13 12 则D 2 32 33 32
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和 的元素都是两数之和, 例如： 12 12 22 22 11 13 21 23 31 3 32 32 3 a a D a a a b a b a a a b + + = + 31 3 32 32 3 则 11 13 11 13 21 23 21 23 31 33 12 12 22 22 32 3 31 3 2 3 a a a a D a a a a b a b a b a a a a a = +
验证我们以三阶行列式为例 12 +6 D a+b 2 23 32 +b ∑ t(PiP2P3 P1 (a212+b2n2) P2 P2 P3 P1p2P3 =∑(-1ynpa1n2n3n+∑ (P1P2P3) P12P23P3 Ppap Pip 12 1 2223 22 31a2 32 33 31 32
12 12 22 22 11 13 21 23 31 3 32 32 3 a a D a a a b a b a a a b + + = + 1 2 3 2 2 ( ) 1 3 ( 1) ( ) p p t p p p p p = − ∑ a a a b + 验证 我们以三阶行列式为例 三阶行列式为例. 1 3 2 2 1 2 3 1 3 2 2 ( 1) ( ) p p p p p p p = − ∑ a a a b + 1 2 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 2 2 1 2 3 ( ) ( ) 1 3 2 1 3 2 ( 1) ( 1) t p p p t p p p p p p p p p p p p p p p = − + − ∑ ∑ a a a a b a 11 13 11 13 21 23 21 23 31 33 31 3 12 12 22 22 3 32 2 3 a a a b a a b a a a a a a a a a b a = +
性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变 备注:以数k乘第行(列)加到第行(列)上,记作 ;+, (c; + kc: 验证我们以三阶行列式为例.记 12 13 a11 12+ka13 13 D=a2 a22 a23, D1=a21 22+ka23 23 312 a31 a32+ka 则D=D
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数 的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列(行)对应的元素上去 对应的元素上去，行列式不变． 验证 我们以三阶行列式为例 三阶行列式为例. 记 备注：以数k 乘第 行（列）加到第i行（列）上，记作 ( ). i j i j r kr c kc + + j 则 1 D D= . 12 22 11 13 21 23 31 3 32 3 , a a D a a a a a a = a 11 12 13 1 21 22 13 23 33 23 31 32 33 a a a D a a a ka ka a a a ka + + = +
二、应用举例 计算行列式常用方法:利用运算r+k把行列式化为 上三角形行列式,从而算得行列式的值 1-12-31×3 33-79 5 例1D=204-21 3-57-146 4-410-102
1 − 1 2 − 3 1 二、应用举例 计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为 上三角形行列式，从而算得行列式的值 ，从而算得行列式的值． i j r kr + × 3 例１ 4 4 10 10 2 3 5 7 14 6 2 0 4 2 1 3 3 7 9 5 1 1 2 3 1 − − − −− − − − − − D = × 3⊕