线性代数 第四章线性空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-4-25
线性代数 第四章 线性空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-4-25
第二节维数、基、坐标
第二节 维数、基、坐标
一、线性空间的基与维数 已知:在R中,线性无关的向量组最多由n个向量组成,而 任意n+1个向量都是线性相关的. 问题:线性空间的一个重要特征——在线性空间V,最多能有多少 线性无关的向量? 定义1在线性空间V,如果存在n个元素 满足: ,双n线性无关 (2)V中任意元素a总可以由双1,2,…,双n线性表示 那么,双1,双 ,a,称为空间L的一个基( basis,而n 称为空间V的维数( dimension)
一、线性空间的基与维数 已知：在 中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而 任意 个向量都是线性相关的． R n n n + 1 问题：线性空间的一个重要特征——在线性空间 V中，最多能有多少 线性无关的向量 ？ 定义１ 在线性空间 V中，如果存在 n个元素 α , α , , α 满足： (1) 线性无关 (2) V中任意元素 α总可以由 线性表示 那么， 称为空间 V的一个基(basis),而 n 称为空间 V的维数(dimension) 。 α α α n , , , 1 2 L α α α n , , , 1 2 L α α α n , , , 1 2 L α α α n , , , 1 2 L
维数为m的线性空间称为n维线性空间,记作mn 当一个线性空间V存在任意多个线性无关的向量时,就称V 是无限维的. 若 ,an为Vm的一个基,则n可表示为 n={=xa+x2a2+…+x,an|x,x2,…,x∈R
维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn. 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向量时，就称 V 是无限维的． 若 为 α 1 , α 2 , L , α n Vn的一个基，则Vn可表示为： Vn = {α = x1α1 + x2α2 +L+ xnαn x1, x2 ,L, xn ∈ R}
、元素在给定基下的坐标 定义2 设双1,双2,…,双n是线性空间n的一个基,对于任意元素 总有且仅有一组有序数组x1,2x2…,xn,使 c=x10n1+x2C2+…+xnCn 有序组x,x2…,x称为元素u在a1,a2,…,an这个基下的坐 标
, α = x1α1 + x2α 2 +L+ xnα n 定义２ 设 是线性空间Vn的一个基，对于任意元素 总有 且仅有一组有序数组 ，使 有序组 称为元素α在 这个基下的坐 二、元素在给定基下的坐标 α α α n , , , 1 2 L n x , x , , x 1 2 L n x , x , , x 1 2 L α α α n , , , 1 2 L 标. 1 2 n α α α n , , , 1 2 L
例在线性空间Px中,p=1p2=p2=xp,=x,p,=x是它的一个 基。任意不超过4次的多项式 P=ax tax tax tarxtao 可表示为: P=dop, ta,p,,.ps 于是,p在这个基下的坐标为 (ao, ai, a2, a3, a4)
p a x a x a x a1 x a0 2 2 3 3 4 4 = + + + + p a p a p a p a p a p5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 = + + + + 例 在线性空间P[x]4中 ， 是它的一个 基。任意不超过4次的多项式 可表示为： p p x p x p x p x 4 5 3 4 2 1 2 3 = ,1 = , = , = , = (a0 , a1 , a2 , a3 , a4)T 于是，p在这个基下的坐标为
若取另一个基q1=1q2=1+xq2=2xq2=xq3=x,则 P=(ao-a1)1+a12+,a2q3+a3q4+a4qs 因此p在这个基下的坐标为 a041,a152C34 注意:线性空间Ⅴ的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同, 个元素在一个基下对应的坐标是唯一的
若取另一个基 则 因此p在这个基下的坐标为 ,1 1 , 2 , , , 4 5 3 4 2 q1 = q2 = + x q3 = x q = x q = x p a a q a q a q a q a q 0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 2 1 = ( − ) + + + + 1 T 注意：线性空间V 的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同， 一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的． , , ) 21 ( , ,1 2 3 4 a0 a1 a a a a T −
例2所有二阶实矩阵组成的集合V,对于矩阵的加法和数量乘 法,构成实数域R上的一个线性空间.对于V中的矩阵 01 E E12 00 00 E3 E 有 k1E1+k2E1+k3E21+k4E22 3
= = = = 0 0 , 0 0 , 0 0 0 1 , 0 0 1 0 11 12 E E E E 例２ 所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵的加法和数量乘 法，构成实数域 R上的一个线性空间．对于V 中的矩阵 = = 0 1 0 0 , 1 0 0 0 E21 E22 , 3 4 1 2 1 11 2 12 3 21 4 22 + + + = k k k k k E k E k E k E 有
k1E1+k2E12+k3E21+k4E2=O≈(00 00 k1=k2=k3=k3=0, 即E1,E1,E21,E2线性无关. 因此E1,E12,E21,E2为的一组基
, 0 0 0 0 1 11 2 12 3 21 4 22 k E + k E + k E + k E = O = 0, ⇔ k1 = k2 = k3 = k3 = , , , . 即E11 E12 E21 E22线性无关 因此 E , E , E , E 为V的一组基. 因此 E11 E12 E21 E22为V的一组基
前面两个例子中,1x,xx,x 234 E11 E12 和 E21 E22 分别是Px4和V2x2的标准基( standard basis)。 在标准基下,使用自然,坐标易得。 但实际应用中,标准基不一定最适用,比如多项式在任意点a处的 Taylor展开式:
• 前面两个例子中， 和 x x x x 2 3 4 ,1 , , , = = = = 0 1 0 0 , 1 0 0 0 , 0 0 0 1 , 0 0 1 0 21 22 11 12 E E E E 分别是P[x]4和V2X2的标准基（standard basis）。 在标准基下，使用自然，坐标易得。 但实际应用中，标准基不一定最适用，比如多项式在任意点a处的 Taylor展开式： 10