(後只人季 27矩阵的秩
2.7 矩阵的秩
(後只人季 定义2.17:在矩阵中,任取k行k列,由这些行和列交点上的 k2个元素按原有顺序构成的一个k阶行列式,称为矩阵的 个k阶子式 定义2.18:m×n矩阵A的不为零的子式的最大阶数称为矩阵 的秩,记为rA或者 rank a。 零矩阵的所有子式全为零所以规定零矩阵的秩为零
(後只人季 例1:计算矩阵的秩。 12 4 2-26 8 A 1-13 3420 4 000 0 解:因为 2 ≠0 2-2 而所有的三阶子式为0,因此rA=2
(後只人季 例2:计算矩阵的秩。 11 12 Ir 22 2r+1 000 0 0 000 解:左上角的子式 1 12 22 122 ≠0 所有的r+1阶子式为0,因此rA=r
11 12 1 1 1 1 22 2 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r n r r n m n rr rr rn a a a a a a a a a A a a a + + + = 11 12 1 22 2 11 22 0 0 0 0 r r rr rr a a a a a a a a a =
定理2.6:任意矩阵经过初等变换后秩不变。 (後只人季 证明: R (1)当A→B时,B的子式经过行重新排列后是A的子式,因此 秩不变 kR (2)当A→C时,C的子式或是A的子式,或是其k倍,因此秩 不变 (3)当AD时,设rA=r,设M是D中的一个r+1阶子式, 那么有三种可能: (a)M不包括D的第i行元素,这是M也是A的一个r+1阶子式, 所有M=0 (b)M包括D中的第i行元素,同时也包括第j行元素,此时 M=0
孩只大季 (c)M包括D的第行元素,但不包括第行,此时 +ke +ke +ka Jt2 Jtr+ +k r+1 记为>M1+M2 其中M1是A的r+1阶子式,M1=0;M2经过重新排列后 也是A的r+1阶子式,M2=0,于是M=0。因此rD≤TA。 Ri-kR 又因为D—A,所以rA≤TD。因此rA=TD
1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 r r r r it jt it jt it jt it it it jt jt jt M a ka a ka a ka a a a k a a a M kM + + + + = + + + = + ⎯⎯⎯→ + 记为
(後只人季 推论1任一矩阵A经初等变换可化成唯一的标准形: E.0 推论2设A是m×n矩阵,P,Q分别是m,m阶可逆矩阵,则 PAQ=TAQ=TPA=rI 例3:求秩 12-140 25253 A= 38566
0 0 0 A E r 1 2 1 4 0 2 5 2 5 3 0 1 5 4 3 3 8 5 6 6 A − = − −
旦 人」 学 例 3 2 RR 1000 45 336 000 2100 431 记为→B 9 0300 A B 3
2 1 4 1 3 2 4 2 2 3 2 1 2 1 4 0 0 1 4 3 3 0 1 5 4 3 0 2 8 6 6 1 2 1 4 0 0 1 4 3 3 0 0 9 1 0 0 0 0 0 0 R R R R R R R R A B − − − − − − ⎯⎯⎯→ − − − − − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − − 记为
()後大手 定义219:若矩阵A经过若干次的初等变换化为矩阵B,则称A 和B是等价矩阵,记为AB 等价关系性质: (1)反身性:AA (2)对称性:若A≈B,则BA (3)传递性:若A坐B,B坐C,则AC 定理27:同阶矩阵Anxn与Bmxn等价的三种充分必要条件 分别是: (1)Anxn与Bnxn的秩相同 (2)A mxn 与BmXn具有相同的标准形 (3)存在m阶可逆阵P与n阶可逆阵Q,使得PAQ=B