矩阵的秩
矩阵的秩 倪卫明 第三讲 矩阵的秩
目的:定义矩阵的秩 向量之间的关系:线性相关、线性无关? 矩阵的秩的两种定义的等价性 矩阵的秩有何性质 行列式的几何意义? 行列式的定义?
目的: 定义矩阵的秩. 向量之间的关系: 线性相关、线性无关? 矩阵的秩的两种定义的等价性. 矩阵的秩有何性质? 行列式的几何意义? 行列式的定义? 倪卫明 第三讲 矩阵的秩
特殊矩阵 对矩阵先从形式上进行分类 (1)对角阵与准对角阵 d1 b c21a22 (n-1)(n-2)a(n-1)(n-1)
特殊矩阵 对矩阵先从形式上进行分类: (1) 对角阵与准对角阵: d1 0 d2 . . . 0 dn , a1 0 b1 a2 . . . . . . 0 bn−1 dn , a11 a12 0 a21 a22 a23 . . . . . . . . . a(n−1)(n−2) a(n−1)(n−1) a(n−1)n 0 an(n−1) ann 倪卫明 第三讲 矩阵的秩
特殊矩阵 (2)三角矩阵 a11 (3)实(复)对称矩阵与反对称矩阵.设 AERith,B∈Cmn, AT=A,BH=B=B,(为复共轭 则分别称AB为实对称矩阵和复对称矩阵( Hermite矩阵)若 AE-A. B=-B 则分别称AB为实反对称矩阵和复反对称矩阵
特殊矩阵 (2) 三角矩阵 a11 ∗ ··· ∗ a22 . . . . . . . . . ∗ 0 ann , a11 0 ∗ a22 . . . . . . . . . ∗ ··· ∗ ann (3) 实(复)对称矩阵与反对称矩阵. 设 A ∈ R n×n ,B ∈ C n×n , A T = A, B H = B T = B, (•为复共轭) 则分别称A,B为实对称矩阵和复对称矩阵(Hermite矩阵). 若 A T = −A, B H = −B 则分别称A,B为实反对称矩阵和复反对称矩阵. 倪卫明 第三讲 矩阵的秩
特殊矩阵 (4)正交矩阵.n阶实方阵A,若满足 AA=I 则称A为正交矩阵 (5) Vandermonde(范德蒙)矩阵.设a1,a,…,an为n个非零数,且 各不相同,将下列矩阵称为 Vandermonde矩阵 a2 a o :吃
特殊矩阵 (4) 正交矩阵. n阶实方阵A, 若满足: A TA = I 则称 A 为正交矩阵. (5) Vandermonde(范德蒙)矩阵. 设a1,a2,...,an为n个非零数, 且 各不相同, 将下列矩阵称为Vandermonde矩阵: a 0 1 a 0 2 ··· a 0 n a1 a2 ··· an a 2 1 a 2 2 ··· a 2 n . . . . . . . . . . . . a n−1 1 a n−1 2 ··· a n−1 n 倪卫明 第三讲 矩阵的秩
特殊矩阵 (5)循环矩阵.设C1,C2,…,Cn为n个数 2cc Cn-2 Cn-I (6) Toplitz矩阵对方阵任一平行于主对角元的直线上元素相同, cn-2配n-3…a1c a2n-1 a2n-2
特殊矩阵 (5) 循环矩阵. 设 c1,c2,...,cn 为n个数, c1 c2 ··· cn−1 cn c2 c3 ··· cn c1 c3 c4 ··· c1 c2 ··· ··· ··· ··· cn c1 ··· cn−2 cn−1 (6) Toplitz矩阵. 对方阵任一平行于主对角元的直线上元素相同, 如: a1 a2 a3 ··· an an+1 a1 a2 ··· an−1 . . . . . . . . . . . . . . . a2n−2 a2n−3 ··· a1 a2 a2n−1 a2n−2 ··· an+1 a1 倪卫明 第三讲 矩阵的秩
特殊矩阵 (7) Hadamard(哈达玛)矩阵n阶方阵Hn,其中元素只 取+1或-1值,且它满足:HHn=n,则称为 Hadamard矩阵 H1=
特殊矩阵 (7) Hadamard(哈达玛)矩阵 n阶方阵Hn, 其中元素只 取+1或−1值, 且它满足: HT nHn = nI, 则称为Hadamard矩阵. 如: H1 = [1], H2 = · 1 1 1 −1 ¸ , H4 = 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 倪卫明 第三讲 矩阵的秩
再谈线性方程 线性方程组表示成向量方程的形式:设矩阵A∈RmxH(m≤n),b∈Rm x=b→叫++…列=bm其中a=[aa1 求一组数x1将bm表示成a(i=1,2,…,nm)的线性组合 例1:m=2时,非零向量a(i=1,2,…,n)都是平面R2中的向量 (1)所有向量在一直线,直线上任意点可 表示为某向量a的a倍数.当b不 在直线上,方程组无解.否则,有无穷 多解 初等行变换「d1…d (2)存在不在一直线上的一对向量a;a (i≠八,则R2中的任意一点均可表示 a2n 为:a+la2.方程组总有解,且 初等行变换 当n=m时有唯一解
再谈线性方程 线性方程组表示成向量方程的形式: 设矩阵A ∈ R m×n (m ≤ n),b ∈ R m, Ax = b ⇒ a1x1 +a2x2 +···anxn = bm, 其中ai = h a1i a2i ··· ami iT 求一组数 xi 将 bm 表示成 ai (i = 1, 2,...,n) 的线性组合. 例 1: m = 2时, 非零向量 ai (i = 1, 2,...,n) 都是平面 R 2 中的向量. (1) 所有向量在一直线, 直线上任意点可 表示为某向量 ai 的 a 倍数. 当 b 不 在直线上, 方程组无解. 否则, 有无穷 多解. (2) 存在不在一直线上的一对向量 ai ,aj (i 6= j), 则 R 2 中的任意一点均可表示 为: aai +ba2. 方程组总有解, 且 当n = m 时有唯一解. " a11 ··· a1n a21 ··· a2n # 初等行变换 −−−−−−−−−→ " a 0 11 ··· a 0 1n 0 ··· 0 # " a11 ··· a1n a21 ··· a2n # 初等行变换 −−−−−−−−−→ " a 0 11 ··· a 0 1n 0 a 0 2j ··· a 0 2n # 倪卫明 第三讲 矩阵的秩
再谈线性方程 m=3时,设n≥3 1)所有向量在一直线上,直线向任意向量(1)矩阵A只有一个主元列 均可表示为任意某个向量a1的倍数.当b 向量不在该直线上时,方程无解;当b在这 个直线上时,方程有无穷多解 (2)所有向量在一个平面上,该平面上一定(2)矩阵A有两个主元列 存在两个向量aa(i≠非共线,而且这 个平面上的任意点均可表示为它们的线性 组合.当b不在该平面上,则方程无解;否 则,方程有无穷多解 (3)存在3个向量构成空间的三个向量,设 矩阵A有三个主元列 a;a,ak(i≠j≠)为空间三个向量,则R3 中任意点(向量)均可表示它们的线性组合 这时方程组总有解,且当n=m时,有唯一 解
再谈线性方程 m = 3 时, 设 n ≥ 3. (1) 所有向量在一直线上, 直线向任意向量 均可表示为任意某个向量 ai 的倍数. 当 b 向量不在该直线上时, 方程无解; 当 b 在这 个直线上时, 方程有无穷多解. (2) 所有向量在一个平面上, 该平面上一定 存在两个向量 ai ,aj (i 6= j) 非共线, 而且这 个平面上的任意点均可表示为它们的线性 组合. 当 b 不在该平面上, 则方程无解; 否 则, 方程有无穷多解. (3) 存在 3 个向量构成空间的三个向量, 设 ai , aj , ak (i 6= j 6= k) 为空间三个向量, 则 R 3 中任意点(向量)均可表示它们的线性组合. 这时方程组总有解, 且当 n = m 时, 有唯一 解. (1) 矩阵 A 只有一个主元列. (2) 矩阵 A 有两个主元列. (3) 矩阵 A 有三个主元列. 倪卫明 第三讲 矩阵的秩
再谈线性方程 更一般的情况:m>3,n≥m. n个向量构成的矩阵A的主元列数量小于m,增广矩阵A中若向量b对应的 列不是主元列,则方程组有解,且有无穷多解.否则,若b是主元列则方程无解 若矩阵A的主元列数量等于m,则方程组必有解,且当m=n时,有唯一解 矩阵的重要特性:(1)主元列的数量.(2)主元列对应的矩阵中的向量满足什么 关系 引入向量之间关系的概念:设a1,a2,,an为一组m维向量,若存在一组不全 为零的实数a1ER(i=1,2,…)使得下列等式成立 aa1+a202+…+anan=0 则称这组向量线性相关.否则,若不存在这样一组不全为零的实数使上式成立 则称这组向量线性无关
再谈线性方程 更一般的情况: m > 3,n ≥ m. n 个向量构成的矩阵 A 的主元列数量小于 m, 增广矩阵 A 中若向量 b 对应的 列不是主元列, 则方程组有解, 且有无穷多解. 否则, 若 b 是主元列则方程无解. 若矩阵 A 的主元列数量等于 m, 则方程组必有解, 且当 m = n 时, 有唯一解. 矩阵的重要特性: (1) 主元列的数量. (2) 主元列对应的矩阵中的向量满足什么 关系. 引入向量之间关系的概念: 设 a1,a2,...,an 为一组 m 维向量, 若存在一组不全 为零的实数 αi ∈ R( i = 1, 2,...,n) 使得下列等式成立: a1α1 +a2α2 +··· +anαn = 0 则称这组向量线性相关. 否则, 若不存在这样一组不全为零的实数使上式成立, 则称这组向量线性无关. 倪卫明 第三讲 矩阵的秩