线性代数 Linear Algebra 刘鹧 复旦大学通信科学与工程条 光华楼东主楼1109Te:65100226 liu@fudan.edu.cn
线 性 代 数 Linear Algebra 刘鹏 复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn
第四章线性空间与欧氏空间 加法和数乘运算在很多数学、物理和工程领域中 都广泛使用。而且,这两种运算通常都遵循统一 的代数法则: >例如加法的交换律、结合律,数乘的分配率等等 >这种运算和相关的定理可以归纳为一套数学系统,即 所谓线性空间或向量空间的理论 空间( space是现代数学最基本的概念之一。 (赋范线性空间、巴那赫空间、内积空间、希尔伯 特空间… 线性空间是最基础,也是应有最广泛的空间;同时, 也是线性代数最基本的概念之一
第四章 线性空间与欧氏空间 ➢ 例如加法的交换律、结合律，数乘的分配率等等. ➢ 加法和数乘运算在很多数学、物理和工程领域中 都广泛使用。而且，这两种运算通常都遵循统一 的代数法则： ➢ 这种运算和相关的定理可以归纳为一套数学系统，即 所谓线性空间或向量空间的理论. ➢ 线性空间是最基础，也是应有最广泛的空间；同时， 也是线性代数最基本的概念之一。 ➢ 空间(space) 是现代数学最基本的概念之一。 (赋范线性空间、巴那赫空间、内积空间、希尔伯 特空间…)
同学们熟悉的是我们生活的三维空间:点、距离、 运动… (对象)集合+变换(运动) 在一定意义下,线性代数就是研究线性空间和线 性变换的学科.(比如:矩阵×向量一向量的运动) >因此,线性空间是对事物特征的抽象一把实际问 题看(抽象作向量空间, >进而,通过研究向量空间来解决更广泛的 实际问题
➢ 在一定意义下， 线性代数就是研究线性空间和线 性变换的学科...(比如：矩阵╳ 向量 —向量的运动) ➢ 因此，线性空间是对事物特征的抽象 —把实际问 题看(抽象)作向量空间， ➢ 同学们熟悉的是我们生活的三维空间: 点、距离、 运动… —— (对象)集合+变换 (运动) ➢ 进而，通过研究向量空间来解决更广泛的 实际问题．
§4.1线性空间的概念 、线性空间的定义 我们已熟知向量的运算规律 设a、B、y是n元向量(例如n=2), k、I是数域P中任意的数 (1)a+B=B+a加法交换津 (2)(a+B)+y=a+(B+y)加法结合律 (3)a+0=a 粵向量 (4)a+(-a)=0负向量 (5)k(a+B)=ka+k数量乘法和加法
我们已熟知向量的运算规律 §4.1 线性空间的概念 设 、 、 是 n 元 向 量 ( 例 如 n=2) ， k、l 是数域 P 中任意的数 (1) + ＝ + 加法交换律 (2) ( + ) + ＝ + ( + ) 加法结合律 (3) + 0 ＝ 零向量 (4) + (－ ) ＝ 0 负向量 一、线性空间的定义 (5) k ( + ) ＝ k + k 数量乘法和加法
(6)(k+l)a=ka+lo数量乘法和加法 (7)(kb)a=k(la)数量乘法 (8)I·a=a 数量乘法 向量对数乘和加法两种基本运算是封闭的, 例如二维、三维几何空间中的向量 即n元向量运算之后的结果仍是n元向量 满足上述8条运算定律的数学对象还有很多, 例如:实数、复数、矩阵, 我们这类对象的共同属性抽象出来一线性空间 自然数与整数不满足
(6) ( k + l ) = k + l 数量乘法和加法 (7) ( k l ) = k ( l ) 数量乘法 (8) 1· = 数量乘法 ➢ 向量对数乘和加法两种基本运算是封闭的， 例如二维、三维几何空间中的向量. ➢ 满足上述8条运算定律的数学对象还有很多， 例如： 实数、复数、矩阵，... ➢ 我们这类对象的共同属性抽象出来 — 线性空间 ➢ 即n元向量运算之后的结果仍是 n 元向量. ➢ 自然数与整数不满足
定义4.1:设V是一个非空集合,P为一数域, 如果以下三个条件被满足,则称非空集合V是数 域P上的一个线性空间 (I)在V的元素间给出一个法则,称为加法, 使V中任意两个元素a与β,总有唯 确定的一个元素y与之对应, 称为a与β的和,记作y=a+B (II)在V的元素间给出一个法则,称为数量乘法, 使数域P中任意一数k与V中任意一个元素 a,在V中总有唯一确定的一个元素8与之对应, 称为k与a的数量乘积,记作8=ka
定义 4.1:设 V 是一个非空集合， P 为一数域， 如果以下三个条件被满足，则称非空集合V 是数 域 P 上的一个线性空间. (I)在 V 的元素间给出一个法则，称为加法， 使 V 中任意两个元素α与β，总有唯一 确定的一个元素 γ 与之对应， 称为 α与β的和，记作 γ= α+β. (II)在 V 的元素间给出一个法则，称为数量乘法， 使数域 P 中任意一数 k 与V 中任意一个元素 α，在V 中总有唯一确定的一个元素δ与之对应， 称为 k 与α的数量乘积，记作 δ = kα
(II)对于所给定的加法与数量乘法两种运算满足 以下8种运算规律(公理) (1)a+B=B+a(2)(+B)+y=a+(B+y) (3)a+0=a (4)a+(-a)=0 ()k(a+B)=ka+ kB (6(k+l)a=ka+la (7 (kl)a=k(la) (8)I·a >当P为实数域R时,则称此线性空间为实线性空间 >当P为复数域R时,则称此线性空间为复线性空间
(III) 对于所给定的加法与数量乘法两种运算满足 以下 8 种 运算规律(公理) (1) + ＝ + (2) ( + ) + ＝ + ( + ) (3) + 0 ＝ (4) + (－ ) ＝ 0 (5) k ( + ) ＝ k + k (6) ( k + l ) = k + l (7) ( k l ) = k ( l ) (8) 1· = ➢ 当 P 为实数域 R 时，则称此线性空间为实线性空间. ➢ 当 P 为复数域 R 时，则称此线性空间为复线性空间
说明 1.凡满足以上八条运算规律的加法及数乘运算, 称为线性运算 2.判别线性空间的方法:一个集合,它如果 对于定义的线性运算不封闭(不满足闭包性); 或者,不满足八条运算性质的任一条 则不能构成线性空间
2 ．判别线性空间的方法：一个集合，它如果 说明 1． 凡满足以上八条运算规律的加法及数乘运算， 称为线性运算． ➢ 对于定义的线性运算不封闭(不满足闭包性)； ➢ 或者，不满足八条运算性质的任一条； 则不能构成线性空间．
例:数域P上的全部n元向量所组成的集合,按n元 向量的加法和数乘运算构成数域P上的线性空间, 记作Pn,称为n元向量空间 P取实数域R,n=3,则R3就是大家熟悉的 三维几何空间 例:实数域上全体mXn阶矩阵的集合,对矩阵的加法 和数乘运算封闭,构成实数域上的线性空间,记作RmXn 4…+B ZA xn nxn mxn g nXn mens 另外,满足八条线性运算性质 Rm×是一个线性空间 ●
例： 实数域上全体 m×n 阶矩阵的集合，对矩阵的加法 和数乘运算封闭，构成实数域上的线性空间，记作 R m×n ． , Amn + Bmn = Cmn , Amn = Dmn 是一个线性空间. m n R 例：数域 P 上的全部 n元向量所组成的集合，按 n 元 向量的加法和数乘运算构成数域 P 上的线性空间， 记作 P n ，称为 n 元向量空间． ➢ P 取实数域 R ，n=3 ，则 R 3 就是大家熟悉的 三维几何空间． ➢ 另外，满足八条线性运算性质
例:数域P上一元多项式的全体(包括零多项式)所组成 的集合,按通常的多项式的加法和数与多项式的乘法 构成数域P中的线性空间,记作Px 多项式加法和数乘多项式运算满足线性运算规律 例如次数不大于n的一元多项式: (anx"+…+a1x+a0)+(bnx+…+b1x+b) =(an+bn)xn+…+(a1+b1)x+(a0+b0)∈Pxln 孔(anx"+…+a1x+a0) =(an)x"+…+(a1)x+(a0)∈Pxn 另外,满足八条线性运算性质, >所以,构成数域P中的线性空间
➢ 多项式加法和数乘多项式运算满足线性运算规律： ( ) ( ) a x a1 x a0 b x b1 x b0 n n n n ++ + + ++ + ( ) ( ) ( ) a b x a1 b1 x a0 b0 n = n + n ++ + + + P[x] n ( ) a x a1 x a0 n n ++ + ( ) ( ) ( ) a x a1 x a0 n = n ++ + P[x] n 例：数域 P 上一元多项式的全体(包括零多项式)所组成 的集合，按通常的多项式的加法和数与多项式的乘法， 构成数域 P 中的线性空间，记作 P [x] ． 例如次数不大于 n 的一元多项式： ➢ 另外，满足八条线性运算性质, ➢ 所以，构成数域 P 中的线性空间
