高维微分学——有限增量公式 复旦力学谢锡麟 2016年3月15日 1知识要素 11基于单参数直线化的多维函数的有限增量公式 我们已有一维函数的有限增量公式 定理1.1(一维函数有限增量公式).如果f(x)∈6a,b,f(x)∈Pa,b),且在(a,b)上存 在p+1阶导数,则有 f(b)=f(a)+ kl drk (a)(b-a)2+ (p+1)a(a+(b-a)(b-p+1.0∈(0,1) 按单参数直线化的思想,可有 定理1.2(多维函数有限增量公式).如果f()∈R在直线段[ab上连续,在a,b)上存 在p阶沿b-a的方向导数且连续,在(a,b)上存在p+1阶沿b-a的方向导数,则有 后ek(a)1-M+1+f 6=/(a)+∑a (p+1)! deP+rla +0(b-a)).1b-alptr 此处θ∈(0,1)。 进一步引入条件,f(x)∈+1(9;R),a,bc%x,则有 f(b)=f(a)+ af “1Or…O(a)b (P+1)! a+6(b-a)·|b-al…b-a p+1…,il=1 此处θ∈(0,1)。 1.2基于单参数曲线化的多维函数的有限增量估计 定理1.3(多元函数有限增量估计).设γcRm为f(x)∈R之定义域Dx中连接A和B 二点的光滑曲线,f(x)在上可微,则有估计 If(B)-f(A)I sup Df(a)IRm hl 此处,川代表曲线的弧长
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——有限增量公式 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 基于单参数直线化的多维函数的有限增量公式 我们已有一维函数的有限增量公式 定理 1.1 (一维函数有限增量公式). 如果 f(x) ∈ C [a, b]，f(x) ∈ C p [a, b)，且在 (a, b) 上存 在 p + 1 阶导数，则有 f(b) = f(a) +∑ p k=1 1 k! d kf dxk (a)(b − a) k + 1 (p + 1)! d p+1f dx (a + θ(b − a))(b − a) p+1, θ ∈ (0, 1) 按单参数直线化的思想，可有 定理 1.2 (多维函数有限增量公式). 如果 f(x) ∈ R 在直线段 [a, b] 上连续，在 [a, b) 上存 在 p 阶沿 b − a 的方向导数且连续，在 (a, b) 上存在 p + 1 阶沿 b − a 的方向导数，则有 f(b) = f(a) +∑ p k=1 1 k! ∂ kf ∂e k (a) · |b − a| k RM + 1 (p + 1)! ∂ p+1f ∂e p+1 (a + θ(b − a)) · |b − a| p+1 RM 此处 θ ∈ (0, 1)。 进一步引入条件，f(x) ∈ C p+1(Dx; R)，[a, b] ⊂ Dx，则有 f(b) = f(a) +∑ p k=1 1 k! ∑ M i1,··· ,ik=1 ∂ kf ∂xik · · · ∂xi1 (a) · |b − a| ik RM · · · |b − a| i1 RM + 1 (p + 1)! ∑ M ip+1,··· ,i1=1 ∂ p+1f ∂xip+1 · · · ∂xi1 (a + θ(b − a)) · |b − a| ip+1 RM · · · |b − a| i1 RM 此处 θ ∈ (0, 1)。 1.2 基于单参数曲线化的多维函数的有限增量估计 定理 1.3 (多元函数有限增量估计). 设 γ ⊂ R m 为 f(x) ∈ R 之定义域 Dx 中连接 A 和 B 二点的光滑曲线，f(x) 在 γ 上可微，则有估计 |f(B) − f(A)| 6 sup γ |Df(x)|Rm |γ| 此处，|γ| 代表曲线的弧长。 1
高维微分学—有限增量公式 谢锡麟 分析:考虑连接曲线 (t):[a,b3t+y(t)≡c(t)∈Rm,y(a)=A,(b)=B 对[ab引入分割P:a=to<…<t1-1<t<…<tN=b,以及 ot):[t1-1,tlt→o(t)全fo(t)∈R 对其应用 Lagrange中值定理,有 fo(t1)-f(t-1)=[Df((p)()△t:,p∈(t2-1,t) 可有估计 f。n(t1)-f。(t-1)=|Df((1)(H)t1≤|Df((p)km(H)lgm△t ≤sup|Df(x)lgm(4)km△t,i=1,…,N 由此可有 HB)-f(4)=∑Uo(t)-f(t1-川≤sp|Df(x)g∑i(A)lm△t i=1 取极限|P|→0,即有 If(B)-f(A)I< suplDf(a)/lr(t)IRm da 1.3基于单参数曲线化的向量值映照的有限增量估计 定理1.4(向量值映照有限增量估计).定理:设γcRη为∫(x)∈Rη之定义域D-中连 接A和B二点的光滑曲线,∫(x)在γ上可微,则有估计, f(B)-∫(A)lRn≤sup|Df(c) Rnxmhy 此处,代表曲线的弧长 分析:考虑上述一致的连接曲线及分割。考虑如下的函数 o(t):t-1,t13t口()∑fo(t)r。(t)-f。y(t-1) 对其利用 Lagrange中值定理有 0(t)-0(t-1)会∑fo(t)-f°o7(t-1)2=|f。(4)-f。(t-1) Q后lb2((1)()[。?(t)-f。7(t-1)△t ()-f-1(-1)7Df()7(小 ≤|fo(t)-fo(t1-1)knDf((p) IRnxm r(p)km△t
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 有限增量公式 谢锡麟 分析：考虑连接曲线 γ(t) : [a, b] ∋ t 7→ γ(t) ≡ x(t) ∈ R m, γ(a) = A, γ(b) = B 对 [a, b] 引入分割 P : a = t0 < · · · < ti−1 < ti < · · · < tN = b，以及 ϕ(t) : [ti−1, ti ] ∋ t 7→ ϕ(t) , f ◦ γ(t) ∈ R 对其应用 Lagrange 中值定理，有 f ◦ γ(ti) − f ◦ γ(ti−1) = [Df(γ(µi))γ˙(µi)] ∆ti , µi ∈ (ti−1, ti) 可有估计 |f ◦ γ(ti) − f ◦ γ(ti−1)| = |Df(γ(µi))γ˙(µi)| ∆ti 6 |Df(γ(µi))|Rm |γ˙(µi)|Rm ∆ti 6 sup γ |Df(x)|Rm |γ˙(µi)|Rm ∆ti , i = 1, · · · , N 由此可有 |f(B) − f(A)| = ∑ N i=1 [f ◦ γ(ti) − f ◦ γ(ti−1)] 6 sup γ |Df(x)|Rm ∑ N i=1 |γ˙(µi)|Rm ∆ti 取极限 |P| → 0，即有 |f(B) − f(A)| 6 sup γ |Df(x)|Rm ∫ b a |γ˙(t)|Rm dt 1.3 基于单参数曲线化的向量值映照的有限增量估计 定理 1.4 (向量值映照有限增量估计). 定理：设 γ ⊂ R m 为 f(x) ∈ R n 之定义域 Dx 中连 接 A 和 B 二点的光滑曲线，f(x) 在 γ 上可微，则有估计， |f(B) − f(A)|Rn 6 sup γ |Df(x)|Rn×m|γ| 此处，|γ| 代表曲线的弧长。 分析：考虑上述一致的连接曲线及分割。考虑如下的函数 ϕ(t) : [ti−1, ti ] ∋ t 7→ ϕ(t) , ∑n α=1 f α ◦ γ(t) [f α ◦ γ(ti) − f α ◦ γ(ti−1)] 对其利用 Lagrange 中值定理有 ϕ(ti) − ϕ(ti−1) , ∑n α=1 [f α ◦ γ(ti) − f α ◦ γ(ti−1)]2 = |f ◦ γ(ti) − f ◦ γ(ti−1)| 2 Rn = ∑n α=1 ∑m β=1 [ ∂fα ∂xβ (γ(µi)) ˙x β (µi) ] [ f α ◦ γ(ti) − f α ◦ γ(ti−1) ] ∆ti = [ (f ◦ γ(ti) − f ◦ γ(ti−1))T Df(γ(µi))γ˙(µi) ] ∆ti 6 |f ◦ γ(ti) − f ◦ γ(ti−1)|Rn |Df(γ(µi))|Rn×m |γ˙(µi)|Rm ∆ti 2
高维微分学—有限增量公式 谢锡麟 亦即有估计 for(t1)-f。(t-1)lkn≤|Df((4)nxm1()lm sup Df(a)RnxmiuilRm 由此可有 f(B)-f(4l=∑on(t)-fo(t-)≤∑Jo(1)-f°t=) i=1 Rn i=l ≤|Df(y(1)Rmx 取极限|P|→0,即有 f(B)-f(A)lRn< supIDf(a)lRnxm/li(t)lRm dt 2应用事例 建立路径 区别于一般基于单参数直线化的处理,我们成功实现基于单参数曲线化的处理,获得了一般 多维函数与一般向量值映照的有限增量估计,当连接曲线为直线时则为一般教程中的结果 形式。分析上,首先将连接曲线分成若干段,每段上获得有限增量估计,然后基于 Riemann 积分有关理论获得最终结果。 基于相关分析,让学生感悟基于已有的分析方法获得新结果的一种过程。引导学生真正理 解和掌握数学分析中基本的思想及方法(可称为“微积分或数学分析原理”,相比于具体结 论更为本质和更有意义),综合应用这些具有基础意义的思想及方法可能获得新的结论
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 有限增量公式 谢锡麟 亦即有估计 |f ◦ γ(ti) − f ◦ γ(ti−1)|Rn 6 |Df(γ(µi))|Rn×m |γ˙(µi)|Rm ∆ti 6 sup γ |Df(x)|Rn×m|γ˙(µi)|Rm∆ti 由此可有 |f(B) − f(A)|Rn = ∑ N i=1 [ f ◦ γ(ti) − f ◦ γ(ti−1) ] Rn 6 ∑ N i=1 |f ◦ γ(ti) − f ◦ γ(ti−1)|Rn 6 |Df(γ(µi))|Rn×m ∑ N i=1 |γ˙(µi)|Rm ∆ti 取极限 |P| → 0，即有 |f(B) − f(A)|Rn 6 sup γ |Df(x)|Rn×m ∫ b a |γ˙(t)|Rm dt 2 应用事例 3 建立路径 • 区别于一般基于单参数直线化的处理，我们成功实现基于单参数曲线化的处理，获得了一般 多维函数与一般向量值映照的有限增量估计，当连接曲线为直线时则为一般教程中的结果 形式。分析上，首先将连接曲线分成若干段，每段上获得有限增量估计，然后基于 Riemann 积分有关理论获得最终结果。 • 基于相关分析，让学生感悟基于已有的分析方法获得新结果的一种过程。引导学生真正理 解和掌握数学分析中基本的思想及方法（可称为“微积分或数学分析原理”，相比于具体结 论更为本质和更有意义），综合应用这些具有基础意义的思想及方法可能获得新的结论。 3