微分流形上积分学—流形上积分的定义 复旦力学谢锡麟 2016年4月21日 1知识要素 11流形上的第一类积分 定义11(流形上的第一类积分).设∫(X)为Rn空间中r维曲面∑上的标量场,定义 f(X)/f(X(ea)vg(e)d: o(n)C 此处√()=dt(o)(a).曲面上相对于局部坐标{=1的Rm度量 考虑到坐标转换关系 dx1∧……∧dxr= a(r 0(y1,…,y) y)dy2A…∧dy 以及 0()-=2C(2(xy,、)=an,y)(a(y 即有 √9(x)dx2A…∧dx=√y)dy2A…∧dy 故上述第一类积分的定义不依赖于坐标的选取. 12流形上的第二类积分 定义1.2(流形上的第二类积分).设(X)为Rm中r维曲面∑上的r-形式,定义 全 ∑ 式中 =6( a1 adX1∧…∧dXar <ar≤m 1≤a1<…,<ar
微分流形上积分学 微分流形上积分学——流形上积分的定义 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 流形上的第一类积分 定义 1.1 (流形上的第一类积分). 设 f(X) 为 R m 空间中 r 维曲面 Σ 上的标量场, 定义 ∫ ϕ(I)⊂Σ f(X) , ∫ Ir f(X(x))√ g(x)dx 1 ∧ · · · ∧ dx r , 此处 √g(x) = det ( gij) (x) 为曲面上相对于局部坐标 {x i} r i=1 的 Riemann 度量. 考虑到坐标转换关系 dx 1 ∧ · · · ∧ dx r = ∂(x 1 , · · · , xr ) ∂(y 1, · · · , yr) (y)dy 1 ∧ · · · ∧ dy r , 以及 gij (x) = ∂yα ∂xi (x) ∂yβ ∂xj (x)gαβ(y), √ g(x) = ∂(y 1 , · · · , yr ) ∂(x 1, · · · , xr) (x) √ g(y), 即有 √ g(x)dx 1 ∧ · · · ∧ dx r = √ g(y)dy 1 ∧ · · · ∧ dy r . 故上述第一类积分的定义不依赖于坐标的选取. 1.2 流形上的第二类积分 定义 1.2 (流形上的第二类积分). 设 ω(X) 为 R m 中 r 维曲面 Σ 上的 r-形式, 定义 ∫ ϕ(I)⊂Σ ω , ∫ Ir ϕ ∗ω, 式中 ϕ ∗ω = ϕ ∗ ( ∑ 16α1<···<αr6m ωα1···αr dXα1 ∧ · · · ∧ dXαr ) = ∑ 16α1<···<αr6m ωα1···αr (X(x))∂(Xα1 , · · · , Xαr ) ∂(x 1, · · · , xr) (x)dx 1 ∧ · · · ∧ dx r . 1
微分流形上积分学—流形上积分的定义 谢锡麟 由于 a( Xa1 a(rl (c)dx2A…∧dr Xar)a(y ay, . ar(y)aml.zr)()dxA..Adz' (ydy2A…∧dy, 因此,上述第二类积分的定义不依赖于坐标的选取. 当∑为Rm中的m-1维曲面,即有向量值映照 ∑(x):Rm1D23= +∑(x) (c)∈R m-1 Xn 其 Jacobi矩阵确定了切平面的协变基,即 DE(x)/0∑ 计算 米 sane(m. 9(1)…9(m-1) (-1)mn gna(a1am-11…im-) 9(1) n aX (m-1)1-am-1 ara( a∈P 考虑相对于典则基向量诞的分量 Ea1…am- acr,,xm(a) XB(1) pB(1)…(8)…B(m) O(x1, (-1)m (X1 (m-1)! a
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上积分的定义 谢锡麟 由于 ∂(Xα1 , · · · , Xαr ) ∂(x 1, · · · , xr) (x)dx 1 ∧ · · · ∧ dx r = ∂(Xα1 , · · · , Xαr ) ∂(y 1, · · · , yr) (y) ∂(y 1 , · · · , yr ) ∂(x 1, · · · , xr) (x)dx 1 ∧ · · · ∧ dx r = ∂(Xα1 , · · · , Xαr ) ∂(y 1, · · · , yr) (y)dy 1 ∧ · · · ∧ dy r , 因此, 上述第二类积分的定义不依赖于坐标的选取. 当 Σ 为 R m 中的 m − 1 维曲面, 即有向量值映照 Σ(x) : R m−1 ⊃ Dx ∋ x = x 1 . . . x m−1 7→ Σ(x) = X1 . . . Xm (x) ∈ R m, 其 Jacobi 矩阵确定了切平面的协变基, 即 DΣ(x) = ( ∂Σ ∂x1 · · · ∂Σ ∂xm−1 ) (x) = ( g1 · · · gm−1 ) (x). 计算 ∗(g1 ∧ · · · gm−1 ) = (−1)m−1 (m − 1)! ∑ σ∈Pm−1 sgn σε ( m − 1 · ) gσ(1) ⊗ · · · ⊗ gσ(m−1) = (−1)m−1 (m − 1)! ∑ σ∈Pm−1 sgn σ ( εµα1···αm−1 i α1 ⊗ · · · ⊗ i αm−1 ) ( m − 1 · ) gσ(1) ⊗ · · · ⊗ gσ(m−1) = (−1)m−1 (m − 1)! ∑ σ∈Pm−1 sgn σεµα1···αm−1 g α1 σ(1) · · · g αm−1 σ(m−1)i µ = (−1)m−1 (m − 1)! εµα1···αm−1 ∑ σ∈Pm−1 sgn σ ∂Xα1 ∂xσ(1) (x)· · · ∂Xαm−1 ∂xσ(m−1) (x) i µ = (−1)m−1 (m − 1)! εµα1···αm−1 ∂(Xα1 , · · · , Xαm−1 ) ∂(x 1, · · · , xm−1) (x)i µ , 考虑相对于典则基向量 i µ 的分量 (−1)m−1 (m − 1)! εµα1···αm−1 ∂(Xα1 , · · · , Xαm−1 ) ∂(x 1, · · · , xm−1) (x) = (−1)m−1 (m − 1)! ∑ β∈Pm−1 ε µβ(1)···β( ◦ µ)···β(m) ∂(Xβ(1) , · · · , Xβ( ◦ µ) , · · · , Xβ(m) ) ∂(x 1, · · · , xm−1) (x) = (−1)m−1 (m − 1)! ∑ β∈Pm−1 (sgn β) 2 ε µ1··· ◦ µ···m ∂(X1 , · · · , X ◦ µ , · · · , Xm) ∂(x 1, · · · , xm−1) (x) = (−1)m−1 ε µ1··· ◦ µ···m ∂(X1 , · · · , X ◦ µ , · · · , Xm) ∂(x 1, · · · , xm−1) (x) 2
微分流形上积分学—流形上积分的定义 谢锡麟 a(X (-1)m+n(x 即有 (个…m-)=(-1y+0(x a(x,…,m-)()∈R 在现情形,有 a(X)dX∧… AdX M…AdXm, a=1 a(X a(l (x)dx1∧…∧dar a=1 则有 a,*(g1∧ ∧9m-1 ∧…∧dxm-=1 故积分 心可理解为向量场∑(-1)m+a∈Rm相对于曲面∑的流量.可归结为如 下定理CE 定理1.1(中m-1维曲面上第二类积分的流量解释) ∑(-1)m+ wait (D)c∑ P(ncs a=1 Rm确定Q=1aa(XdX1A…AdxA…AdXm,单位法向量n的指向由*g1A…A9m-1)∈ 式中u=∑m 特别地,当m=3时,有 W=W1dX2AdX+w1dX'Adx+w3dX'Adx2 ∑-1rP=i1-02+2 1A9 d(rl. 2(=)i1+( a( X a,2)()2+(-1)a(,2)()1 a(X, X X3,x1) (=)i1 +a (a)i 当r=1时,此时Rm中的一维曲面即为Rn中的曲线,设其有向量值映照表示为 r(A:RDA3A+r(入)= (入)∈R
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上积分的定义 谢锡麟 = (−1)m−1 (−1)µ−1 ε1···µ···m ∂(X1 , · · · , X ◦ µ , · · · , Xm) ∂(x 1, · · · , xm−1) (x) = (−1)m+µ ∂(X1 , · · · , X ◦ µ , · · · , Xm) ∂(x 1, · · · , xm−1) (x), 即有 ∗(g1 ∧ · · · ∧ gm−1 ) = (−1)m+µ ∂(X1 , · · · , X ◦ µ , · · · , Xm) ∂(x 1, · · · , xm−1) (x)iµ ∈ R m. 在现情形, 有 ω = ∑m α=1 ωα(X)dX1 ∧ · · · ∧ d ◦ Xα ∧ · · · ∧ dXm, ϕ ∗ω = ∑m α=1 ω(X(x))∂(X1 , · · · , ◦ Xα, · · · , Xm) ∂(x 1, · · · , xm−1) (x)dx 1 ∧ · · · ∧ dx m−1 , 则有 ϕ ∗ω = (∑m α=1 (−1)m+αωαi α , ∗(g1 ∧ · · · ∧ gm−1 ) ) Rm dx 1 ∧ · · · ∧ dx m−1 . 故积分 ∫ ϕ(I)⊂Σ ω 可理解为向量场 ∑m α=1 (−1)m+αωαiα ∈ R m 相对于曲面 Σ 的流量. 可归结为如 下定理. 定理 1.1 (R m 中 m − 1 维曲面上第二类积分的流量解释). ∫ ϕ(I)⊂Σ ω = ∫ ϕ(I)⊂Σ ( n, ∑m α=1 (−1)m+αωαiα ) Rm , 式中 ω = ∑m α=1 ωα(X)dX1∧· · ·∧d ◦ Xα ∧· · ·∧dXm, 单位法向量 n 的指向由 ∗(g1∧· · ·∧gm−1 ) ∈ R m 确定. 特别地, 当 m = 3 时, 有 ω = ω1dX2 ∧ dX3 + ω1dX1 ∧ dX3 + ω3dX1 ∧ dX2 , ∑ 3 α=1 (−1)3+αωαi α = ω1i1 − ω2i2 + ω3i3, ∗ (g1 ∧ g2 ) = (−1)3 [ (−1)1 ∂(X2 , X3 ) ∂(x 1, x2) (x)i1 + (−1)2 ∂(X1 , X3 ) ∂(x 1, x2) (x)i2 + (−1)3 ∂(X1 , X2 ) ∂(x 1, x2) (x)i3 ] = ∂(X2 , X3 ) ∂(x 1, x2) (x)i1 + ∂(X3 , X1 ) ∂(x 1, x2) (x)i2 + ∂(X1 , X2 ) ∂(x 1, x2) (x)i3. 当 r = 1 时, 此时 R m 中的一维曲面即为 R m 中的曲线, 设其有向量值映照表示为 Γ(λ) : R ⊃ Dλ ∋ λ 7→ Γ(λ) = X1 . . . Xm (λ) ∈ R m. 3
微分流形上积分学—流形上积分的定义 谢锡麟 在此情形下,有 d入 故 )对应向量场∑必沿曲线r()的第二类曲线积分,亦即做功形式的积分 2应用事例 事例1(相空间中的 Hamilton相流).考虑 Hamilton相流,即 OH ②∈Rm, q(to)= q 式中q=:|,P 且满足 H(q,p,t)为 Hamilton函数.且有 p(to)=p (λ,t) (t):Ex3)→x(x,)=p(x)∈R2m+ 相空间中的 Hamilton相流,如图1所示 P T(A) (入) 图1: Liouville定理示意
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上积分的定义 谢锡麟 在此情形下, 有 ω = ∑m α=1 ωαdXα , ϕ∗ω = ∑m α=1 ωα(X(x))dXα dλ (λ)dλ, 故 ∫ ϕ(I)⊂Γ ω 对应向量场 ∑m α=1 ωαi α 沿曲线 Γ(λ) 的第二类曲线积分, 亦即做功形式的积分. 2 应用事例 事例 1 (相空间中的 Hamilton 相流). 考虑 Hamilton 相流, 即 q˙ = ∂H ∂p ∈ R m, p˙ = − ∂H ∂q ∈ R m, 式中 q = q 1 . . . q m , p = p1 . . . pm 且满足 q(t0) = ◦ q p(t0) = ◦ p , H(q, p, t) 为 Hamilton 函数. 且有 Σ(λ, t) : Eλt ∋ ( λ t ) 7→ Σ(λ, t) = q(λ, t) p(λ, t) t ∈ R 2m+1 . 相空间中的 Hamilton 相流, 如图1所示. O t ◦ q ◦p T q p ◦ Γ(λ) = (◦ q ◦p ) (λ) T S T Γ Σ( ( λ t ) ) λ t O a b T Eλt ( λ t ) Σ 图 1: Liouville 定理示意 4
微分流形上积分学—一流形上积分的定义 谢锡麟 计算 dp∧dq-dH∧dt o(dp∧dq-dH∧dt), 式中的第一项 o(dp A dg)=g(dpi A dg)=a(t)(A, t)da A dt 0入Ot (A,t)d入Adt aq' aq 0入Ot 此处￠:=(,),p:=(,t).再计算第二项 o"(dh A dt)=o*//aH OH OH n+74+m出)qA出 =o*(adpi A dt-p:dqA dt) O(,t):O(q2,t) 0(A,t) (A,t)dλ∧dt 0(A,t) qm-i)(A,1)d入Ad 综上,有 o( dp a dq-dH∧dt)=0 故 dp∧dq-dH∧d ( dp a dq-dH∧dt)=0. 结合 Stokes公式,有 pdq- Hdt=/dp -dH Adt=0, 故有 pdq-Hdt=1pq-Hdt=常数 再由 Stokes公式,可有 pdq- Hdt p∧dq=常数 此结论即为 Hamilton力学中的 Liouville定理. 3建立路径
微分流形上积分学 微分流形上积分学—— 流形上积分的定义 谢锡麟 计算 ∫ Σ dp ∧ dq − dH ∧ dt = ∫ Eλt ϕ ∗ (dp ∧ dq − dH ∧ dt), 式中的第一项 ϕ ∗ (dp ∧ dq) = ϕ ∗ (dpi ∧ dq i ) = ∂(pi , qi ) ∂(λ, t) (λ, t)dλ ∧ dt = ∂pi ∂λ ∂pi ∂t ∂qi ∂λ ∂qi ∂t (λ, t)dλ ∧ dt = ( q˙ i ∂pi ∂λ − p˙i ∂qi ∂λ ) dλ ∧ dt, 此处 q˙ i := ∂qi ∂t (λ, t), p˙ i := ∂pi ∂t (λ, t). 再计算第二项 ϕ ∗ (dH ∧ dt) = ϕ ∗ [(∂H ∂pi dpi + ∂H ∂qi dq i + ∂H ∂t dt ) (p, q, t) ∧ dt ] = ϕ ∗ ( q˙ idpi ∧ dt − p˙idq i ∧ dt ) = [ q˙ i ∂(pi , t) ∂(λ, t) − p˙i ∂(q i , t) ∂(λ, t) ] (λ, t)dλ ∧ dt = ( q˙ i ∂pi ∂λ − p˙i ∂qi ∂λ ) (λ, t)dλ ∧ dt. 综上, 有 ϕ ∗ (dp ∧ dq − dH ∧ dt) = 0, 故 ∫ Σ dp ∧ dq − dH ∧ dt = ∫ Eλt ϕ ∗ (dp ∧ dq − dH ∧ dt) = 0. 结合 Stokes 公式, 有 ∫ ∂Σ pdq − Hdt = ∫ Σ dp ∧ dq − dH ∧ dt = 0, 故有 ∫ ◦ Γ pdq − Hdt = ∫ T Γ pdq − Hdt = 常数. 再由 Stokes 公式, 可有 ∫ T Γ pdq − Hdt = ∫ T S dp ∧ dq = 常数. 此结论即为 Hamilton 力学中的 Liouville 定理. 3 建立路径 5