教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 课程:《数学分析(I)》(一年制,面对力学类等) 1.知识点(教学内容及其目标概述) 本知识点:闭区间上 Riemann积分的应用理论。主要内容分为:①数学实验可确认实验 结论为“真理”的事例及其理论依据。②数学实验未能确认实验结论为“真理”的事例,对 此类结论必须经实践鉴别或者检验。③相关分析中的共同“数学结构”,称为数学通识。 2.知识要素(教学内容细致目录) 本知识点,包括如下知识要素 ①数学实验可确认实验结论为“真理”的事例及其理论依据 研究事例1:平面曲边扇形以及曲边梯形的面积计算 R() 6 面对平面曲边扇形的面积计算,我们开展数学实验,包括:数学建模→数学分析→指导 实践这三个基本过程 1.数学建模:按“分割→选取→求和→求极限”的过程,我们得到曲面扇形面积的一个计算 方案 S=∫,R2()d=加maR2(),P,|=加m∑,R2(),△ 此处,求极限过程已涉及 Rieman积分的最为初步的分析理论 2.数学分析:致力于基于数学逻辑,研究上述面积计算方案的合理性。考虑到:对应分割P, 每子块的真实面积Sa,具有如下估计 第1页共9页
教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 1 页 共 9 页 教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 课程：《数学分析（Ⅰ）》（一年制，面对力学类等） 1. 知识点（教学内容及其目标概述） 本知识点：闭区间上 Riemann 积分的应用理论。主要内容分为：①数学实验可确认实验 结论为“真理”的事例及其理论依据。②数学实验未能确认实验结论为“真理”的事例，对 此类结论必须经实践鉴别或者检验。③相关分析中的共同“数学结构”，称为数学通识。 2. 知识要素（教学内容细致目录） 本知识点，包括如下知识要素： ① 数学实验可确认实验结论为“真理”的事例及其理论依据 研究事例 1：平面曲边扇形以及曲边梯形的面积计算 o a b x y o x y a b R f x 面对平面曲边扇形的面积计算，我们开展数学实验，包括：数学建模→数学分析→指导 实践这三个基本过程。 1. 数学建模：按“分割→选取→求和→求极限”的过程，我们得到曲面扇形面积的一个计算 方案： 22 2 0 0 1 11 1 : lim , , lim 22 2 b a N i i P P i S Rd R P R 此处，求极限过程已涉及 Riemann 积分的最为初步的分析理论 2. 数学分析：致力于基于数学逻辑，研究上述面积计算方案的合理性。考虑到：对应分割 P ， 每子块的真实面积 real i, S 具有如下估计：
教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 infR2(e)·△b Ip (0)·△O,v1≤i 则有:LR2(O),Ps∑Sm=SmsU1|R2(a),P 按 Riemann积分的相关理论,有:R(0)∈R[2,]→R(0)∈R[O2,】],由此 2(841=24(p)m(2e(-门(m 按夹逼性,则得平面曲边扇形面积计算的确定性结论 当R()∈R2,4],则有:Sm-「2R2(O)db 同理,我们可以得平面曲边梯形面积计算的确定性结论 当f(x)∈R[a小,则有:Sm=∫f(x)dx 需指出,上述所谓的“确定性结论”的获得,实际基于共同的数学结构:真实值可由 Darboux 小和和 Darboux大和控制。当 Riemann可积时, Darboux小和和大和具有相同的极限值,即 为 Riemann积分值;故按夹逼性,真实值必为 Riemann积分值。 ②数学实验未能确认实验结论为“真理”的事例一一对此类结论必需经实践鉴别或者检验 研究事例1:R3中曲线弧长的计算 F()-产() )-x)+(0)yc)+(=-)y t) y lo 对此进行数学实验 1.数学建模 张筑生著《数学分析新讲》的第一册,对此有所叙述 第2页共9页
教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 2 页 共 9 页 1 1 2 2 , , , 1 1 inf sup , 1 2 2 ii ii R S R iN i real i i 则有： 2 2 , 1 1 1 , , 2 2 N real i real i LR P S S U R P 按 Riemann 积分的相关理论，有： 1 2 , , 2 RR R R ab ab ，由此： 2 2 22 0 0 1 1 11 , lim , lim , : 2 2 22 b a a b P P R R LR P UR P R d 按夹逼性，则得平面曲边扇形面积计算的确定性结论： 当 R R a b , ，则有： 1 2 2 b a real S Rd 。 同理，我们可以得平面曲边梯形面积计算的确定性结论： 当 f x R ab , ，则有： b real a S f x dx 。 需指出，上述所谓的“确定性结论”的获得，实际基于共同的数学结构：真实值可由 Darboux 小和和 Darboux 大和控制。当 Riemann 可积时，Darboux 小和和大和具有相同的极限值，即 为 Riemann 积分值；故按夹逼性，真实值必为 Riemann 积分值* 。 ② 数学实验未能确认实验结论为“真理”的事例——对此类结论必需经实践鉴别或者检验 研究事例 1： 3 中曲线弧长的计算 i 1 r t x z i 1 t i t y o 0t Nt t i r t 1 3 1 2 2 22 1 11 i i ii ii ii rt rt xt xt yt yt zt zt t t i 1 t t i t t 对此进行数学实验： 1. 数学建模： * 张筑生著《数学分析新讲》的第一册，对此有所叙述
教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 考虑到R3中曲线的参数刻 F()[a,1bF(t)=y()∈R3 () 为此,我们在参数域[a,月上进行分割P:a=b0<…<1<1<…<Ix=B,由此获得在实 际曲线上的分割,如上图所示 对于分割点所截取的曲线弧长,我们仍无实际的计算方法,故考虑利用直线段进行“近 似:A=2F()=F()=(x()=x()2+(y()-y(2)2+()-=(-) 进一步,考虑部分和: ∑△L1=∑√(5)+y(m)+2()△ 上式获得,利用了 Lagrange中值定理,故需要引入条件: x()∈C[a,月],3()∈R,vt∈(a,B y()∈C[a,月],习(1)∈R,vt∈(,B),可记为F()∈C[a,月,产(t)∈R3,t∈(a,B (t)∈C[a,月,3()∈R,Mt∈(a,B) 以下考虑极限过程。按上述分析,在每一子区间上,5,1,5;∈(t1,1)取值各不相同, 这同原来的部分和选取有所不同。但我们仍可考虑极限 m∑△L==1∑√()+y(n)+:()△,5,,5:eL14 可按 Cauchy叙述, Heine叙述以及 Cauchy收敛原理认识,因为原有的分析都适用现有情形 结合上述部分和的实际结构,我们要求存在极限 的()=子(+0)+:0)aeR 故需要进一步引入条件:F()∈C[a,],()∈R[a,月],亦即各分量在[,月]存在一阶导 函数且 Riemann可积。现我们猜测: Claim:下述极限存在 ∑())+(-100+0m 分析 第3页共9页
教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 3 页 共 9 页 考虑到 3 中曲线的参数刻画 3 : , x t rt t rt yt z t 为此，我们在参数域, 上进行分割 0 1 : P t tt t ii N ，由此获得在实 际曲线上的分割，如上图所示。 对于分割点所截取的曲线弧长，我们仍无实际的计算方法，故考虑利用直线段进行“近 似： 3 1 2 2 22 1 1 11 : L rt rt xt xt yt yt zt zt i ii ii i i ii 。 进一步，考虑部分和： 222 1 1 N N i i i ii i i Lxyzt ， 上式获得，利用了 Lagrange 中值定理，故需要引入条件： , , , , , , , , , , , , xt C xt t yt C yt t zt C zt t ，可记为 3 rt C rt t , , , , 以下考虑极限过程。按上述分析，在每一子区间上， iii i i ,, , t t 1 取值各不相同， 这同原来的部分和选取有所不同。但我们仍可考虑极限： 222 0 0 1 1 lim lim N N i i i ii P P i i L xyzt ， 1 ,, , iii i i t t 可按 Cauchy 叙述，Heine 叙述以及 Cauchy 收敛原理认识，因为原有的分析都适用现有情形。 结合上述部分和的实际结构，我们要求存在极限 3 2 22 r t dt x t y t z t dt 故需要进一步引入条件：rt C rt R , , , ，亦即各分量在, 存在一阶导 函数且 Riemann 可积。现我们猜测： Claim：下述极限存在 2 2 2 2 22 0 1 lim N i i ii P i x y z t x t y t z t dt 分析：
教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 估计 E()(),:(M-,0,可 s√x()+y(n)+=()41-∑√()+p(r)+=(x)41 √2(r)+j2(x)+=()41-∫√x(o)+()+=()d 此处,∈[v1,1] 对于R的第2项,由于F0)+y()+=(0如∈R,则有信计 对VE>0,彐δ>0,成立 ∑√F(x)+y()+=()-(0+f(0)+=(0)d<P< 对于RHS的第1项的估计,考虑引入如下结构 NA+B+C -VE+F+G=14-E+(B-Fl+c-C 分析 /+B2+C2-√E2+F2+G2|= +B+C-(E2+F2+G √A+B2+c2+√E2+F /A2+B2 E+F2+g ≤A-E+ 故对于RHS的第1项的有估计 E()+(0)+#(M(-()+()=() N()+y(n)+()-V()+y(c)+()A s∑[x(,)-x(r)+|y(n)-y(x)+1()-=(x)△ =(4)-x()△+Sp(m)=y()△+()-:() ≤a(x(t),P)+a(y(),P)+a(=(t),P) 第4页共9页
教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 4 页 共 9 页 估计 2 2 2 2 22 1 2 2 2 2 22 1 1 2 2 2 2 22 1 N i i ii i N N i i ii i i ii i i N i i ii i x y z t x t y t z t dt x yz txyzt x y z t x t y t z t dt 此处 1 , i ii t t 对于 RHS 的第 2 项，由于 2 22 x t y t z t dt ，则有估计： 对 0 ， 0 ，成立 2 2 2 2 22 1 , N i i ii i x y z t x t y t z t dt P 对于 RHS 的第 1 项的估计，考虑引入如下结构。 Lemma： 222 2 22 A B C E F G AE BF CG 分析： 222 2 22 222 2 22 222 2 22 222 2 22 ABC EFG ABC EFG ABC EFG A E A E ABC EFG A E 故对于 RHS 的第 1 项的有估计： 2 2 2 2 22 1 1 2 2 2 2 22 1 1 11 1 , , N N i i ii i i ii i i N i i i i i ii i N i i i i i ii i NN N i ii i ii i ii ii i x yz txyzt xyz xyz t xx y y z z t x x ty y tz z t xt P yt P zt P
教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 上述o(x(),P)表示x()振幅和。按 Riemann积分有关分析理论, ()∈R[a,]s1mo(x(),P) 至此获证。 综上所述,我们数学实验的结论为 当有F()∈C[a,月],()∈R[a,],则有 3m∑√(5)+y(n)+()41=√2(0)+y(0)+=()eR 亦即通过“折线逼近”的方式给出曲线弧长的上述计算方案。需指出,由于没有真实弧长被 相关 Darboux小和和大和控制的估计,故上述数学实验的结论不能直接确定结论为“真理 对此结论必须经实践检验。然而,经实践,上述对曲线弧长的计算方案正确。 研究事例2:旋成体侧面积的计算 y V=y 如上图所示,将曲线绕x轴旋转一圈可形成旋成体,现需给出其侧面积计算方案。对此, 我们开展数学实验。针对旋成体局部侧面积的近似方法不同,我们可有如下两种方案 方案1:“旋成体局部侧面积用圆合侧面积进行近似” x-x)2+(y-y=) R1 2Ty-, or 2zy 第5页共9页
教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 5 页 共 9 页 上述 x t P, 表示 x t 振幅和。按 Riemann 积分有关分析理论， 0 , lim , 0 P xt R xt P 至此获证。 综上所述，我们数学实验的结论为： 当有 rt C rt R , , , ，则有： 2 2 2 2 22 0 1 lim N i i ii P i x y z t x t y t z t dt 亦即通过“折线逼近”的方式给出曲线弧长的上述计算方案。需指出，由于没有真实弧长被 相关 Darboux 小和和大和控制的估计，故上述数学实验的结论不能直接确定结论为“真理”， 对此结论必须经实践检验。然而，经实践，上述对曲线弧长的计算方案正确。 研究事例 2：旋成体侧面积的计算 x i 1 t i t o 0t Nt t y i 1 t t i t t 1 1 : i i y yt : i i y yt 2 2 ii ii 1 1 xx yy 如上图所示，将曲线绕 x 轴旋转一圈可形成旋成体，现需给出其侧面积计算方案。对此， 我们开展数学实验。针对旋成体局部侧面积的近似方法不同，我们可有如下两种方案。 方案 1：“旋成体局部侧面积用圆台侧面积进行近似” Ri 2 2 Rr xx y y ii i i i i 1 1 1 2 2 i i y or y 1 2 2 i i y or y ir i
教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 局部圆台侧面积近似的几何关系如上图所示,可得: S=2(-)2=2(风+)(-)=2x(x+)xx)+(x-) x(x2+x)√(x-x)+(x-y) 利用 Lagrange中值定理, x1-x-1=x(5)△1y1=y(51)+y(a1)(1-1-5),a1∈(1-1,5) y-y-1=j(,)△t’y=y(5)+j(B)(1-5,),B∈(5,,) 此处v;∈(t-1,1) S=x(y2+x)√(x-x-)+(x-y-) =2xy()2(5)+(m)△+x(a)√(5)+y(n)△1(t1-5) +x,1()√()+j(n)△1(-5) 籍此,我们易得估计: -2ry()√F(5)+p(m)△ s∑ry(a)√()+y(m)M1(1-5)+E()√()+y()(一 ≤2rsup(O)sup()+supy(0(B-a)|P 对于上述分析,我们要求:f()∈C[a,],(t)∈R[a, 进一步,考虑估计 2zy()√Vx2()+j2(n,)△1-J2xy(),√x2(t)+j2()dt s∑2xy()Vx()+y(n),4t-∑2xy()x(=,)+j2( +E2x)(5)√(4)+y()A4-j2xy(0)√F()+()d 对于R的第2项,由于2xy()√F(0)+p(0)∈R,则有估计: 对VE>0,彐δ>0,成立 第6页共9页
教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 6 页 共 9 页 局部圆台侧面积近似的几何关系如上图所示，可得： 2 2 2 2 1 11 2 2 1 11 11 1 2 22 2 i i i i ii ii i i i i i i i i i ii ii S R r Rr Rr y y xx y y y y xx yy 利用 Lagrange 中值定理， 1 1 ii i i ii i i x xx t yy y t ； 1 11 , , , , i i ii i i ii i i i i i i ii yy y t t y y yt t 此处 1, i ii t t 。 2 2 1 11 22 22 1 2 2 2 i i i ii ii i i i i i i i ii i i i i ii i S y y xx yy y x y t y x y tt y x y tt 籍此，我们易得估计： 2 2 1 1 22 22 1 1 1 , ,, 2 2 sup sup sup N N i i i ii i i N N i i i ii i i i i ii i i i S yxy t y x y tt y x y tt yt xt yt P 对于上述分析，我们要求：rt C rt R , , , 。 进一步，考虑估计： 2 2 22 1 22 2 2 1 1 2 2 22 1 2 2 2 2 2 2 N i i ii i N N i i ii i i ii i i N i i ii i y x y t y t x t y t dt yxy t yx y t y x y t y t x t y t dt 对于 RHS 的第 2 项，由于 2 2 2 y t x t y t dt ，则有估计： 对 0 ， 0 ，成立
教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 2xy()F2()+y(4),-j2xy(0)、F(0)+y(d<,v< 对于RHS的第1项,考虑上述 Lemma,有 22xy()y2()+(n),4-∑2xy()√2()+p(,) ∑pxy()NF()+y(m)-2()+(),△ ∑|2x:y(=,)[×(5)-x(4)+1p2(m)-f2()△ ≤2xsup!y(o)[o(x(,)+o(i()P) 综上,我们基于圆合侧面积近似的数学实验的结论为: 当有f()eC[a,月,()∈R[a,],则有 3m∑SA△=j2xy()√=()+y2()d∈R 方案2:“旋成体局部侧面积用圆柱侧面积进行近似” y(5) y4=y(t1)y=y() 基于局部圆柱侧面积近似,有 S=2xy()Ax|=2xy(5)x-x|=2xy(5)( 考虑如下估计 ∑s-j2xy()(n 对于RBS的第2项,由于于2xy(0)()d∈R,则有估计: 第7页共9页
教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 7 页 共 9 页 2 2 22 1 2 2 , N i i ii i y x y t y t x t y t dt P 对于 RHS 的第 1 项，考虑上述 Lemma，有： 22 2 2 1 1 22 2 2 1 2 2 1 , 22 2 2 2 sup , , N N i i ii i i ii i i N i i i i ii i N i i i i ii i y xy t yx y t y xy xy t y xx y y t yt xt P yt P 综上，我们基于圆台侧面积近似的数学实验的结论为： 当有 rt C rt R , , , ，则有： 2 2 0 1 lim 2 N i i P i S t y t x t y t dt 方案 2：“旋成体局部侧面积用圆柱侧面积进行近似” x o y 1 1 : i i y yt : i i y yt i y 基于局部圆柱侧面积近似，有： S y x y xx y x t i i i i ii i i i 22 2 1 考虑如下估计： 1 11 1 2 2 2 22 N i i NN N i ii i ii i ii ii i S y t x t dt y x t y x t y x t y t x t dt 对于 RHS 的第 2 项，由于 2 y t x t dt ，则有估计：
教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 对VE>0,彐δ>0,成立 ∑2xy()(5)-j2xy()()d<6,p<6 对于RHS的第1项,考虑上述 Lemma,有 2y(5)(m)△1-∑2xy()(5)△ ≤2 sup y()|2|(n)()2xsp(O)∑()=() ≤2 suply()o(x(),P) 综上,我们基于圆柱侧面积近似的数学实验的结论为: 当有f()eC[a,月,()∈R[a,],则有 3加m∑S△=J2xy()|()d∈R 至此,我们关于旋成体侧面积的计算提供了两种方案 1.按圆台侧面积近似,有:∫2zy()√()+j(0)d 2.按圆柱侧面积近似,有:∫2xy(0)1()dt 从数学实验角度而言,上述二者方案的数学建模、数学分析过程均符合逻辑过程。然而,经 实践鉴别,按圆合侧面积近似所得的数学实验结论是正确的。仅需考虑圆锥侧面积就可鉴别 应用事例 1.“救生圈”的表面积计算 y (x(),y(0) (0)[02x30→f()=(0) a+R sine O 第8页共9页
教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 8 页 共 9 页 对 0 ， 0 ，成立 1 2 2 , N i ii i y x t y t x t dt P 对于 RHS 的第 1 项，考虑上述 Lemma，有： 1 1 , , 1 1 , 2 2 2 sup 2 sup 2 sup , N N i ii i ii i i N N i i i i ii i i yx t yx t yt x x t yt x x t yt xt P 综上，我们基于圆柱侧面积近似的数学实验的结论为： 当有 rt C rt R , , , ，则有： 0 1 lim 2 N i i P i S t y t x t dt 至此，我们关于旋成体侧面积的计算提供了两种方案： 1. 按圆台侧面积近似，有： 2 2 2 y t x t y t dt 2. 按圆柱侧面积近似，有： 2 y t x t dt 从数学实验角度而言，上述二者方案的数学建模、数学分析过程均符合逻辑过程。然而，经 实践鉴别，按圆台侧面积近似所得的数学实验结论是正确的。仅需考虑圆锥侧面积就可鉴别。 应用事例： 1. “救生圈”的表面积计算： x y o R a 0 2 x y , cos : 0,2 sin x R r r y aR
教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 将R3中曲线弧长的计算公式推广到Rm情形 3.考虑具有线密度的曲线质量的计算: 当有F()eC[a,,3()∈R[a,],线密度分布p()∈Ra,月,则有: 3Hm∑p()v√F(5)+y(n,)+()△1 p(t)√x2()+j2(1)+2()dt∈R 本结论易于向高维推广 3.课时安排 本知识点,共计安排2课时: 第1课时:①数学实验可确认实验结论为“真理”的事例及其理论依据。主要细致进行平面 曲边扇形的面积计算。②数学实验未能确认实验结论为“真理”的事例。主要细 致进行R3中曲线弧长的计算。 第2课时:②数学实验未能确认实验结论为“真理”的事例。主要细致进行旋成体侧面积的 计算,按圆台侧面积近似以及圆柱侧面积近似两种方案。 4.讲述特点及追求效果 ◇基于 Riemann积分理论,研究平面上曲边扇形,曲边梯形,有限 Euclid空间中曲线弧长 旋成体侧面积等的计算,切实体会数学实验的基本过程“数学建模→数学分析→指导实 ◇基于实际事例,体会数学实验的结论,有时可直接确定实验结论为“真理”,而有时实验 结论必须经实践鉴别或者检验 ◆体会数学通识的意义及具体反映形式。 ◇相关处理中,我们追求一般形式,如旋成体的侧面积计算,我们基于曲线的一般参数表 达形式;以此尽量追求一般化的结论。 5.教学方式 全程脱稿板书。 第9页共9页
教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 9 页 共 9 页 2. 将 3 中曲线弧长的计算公式推广到 m 情形。 3. 考虑具有线密度的曲线质量的计算： 当有 rt C rt R , , , ，线密度分布 t R , ，则有： 222 0 1 2 22 lim N i i i ii P i x yzt t x t y t z t dt 本结论易于向高维推广。 3. 课时安排 本知识点，共计安排 2 课时： 第 1 课时：①数学实验可确认实验结论为“真理”的事例及其理论依据。主要细致进行平面 曲边扇形的面积计算。②数学实验未能确认实验结论为“真理”的事例。主要细 致进行 3 中曲线弧长的计算。 第 2 课时：②数学实验未能确认实验结论为“真理”的事例。主要细致进行旋成体侧面积的 计算，按圆台侧面积近似以及圆柱侧面积近似两种方案。 4. 讲述特点及追求效果 基于 Riemann 积分理论，研究平面上曲边扇形，曲边梯形，有限 Euclid 空间中曲线弧长， 旋成体侧面积等的计算，切实体会数学实验的基本过程“数学建模→数学分析→指导实 际”。 基于实际事例，体会数学实验的结论，有时可直接确定实验结论为“真理”，而有时实验 结论必须经实践鉴别或者检验。 体会数学通识的意义及具体反映形式。 相关处理中，我们追求一般形式，如旋成体的侧面积计算，我们基于曲线的一般参数表 达形式；以此尽量追求一般化的结论。 5. 教学方式 全程脱稿板书
