复旦大学：《数学分析》教案讲稿_闭区间上Riemann积分的应用理论.pdf_大学文库

教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论第 2 页共 9 页         1 1 2 2 , , , 1 1 inf sup , 1 2 2 ii ii R S R iN i real i i                         则有：     2 2 , 1 1 1 , , 2 2 N real i real i LR P S S U R P               按 Riemann 积分的相关理论，有：         1 2 , , 2 RR R R        ab ab ，由此：           2 2 22 0 0 1 1 11 , lim , lim , : 2 2 22 b a a b P P R R LR P UR P R d                             按夹逼性，则得平面曲边扇形面积计算的确定性结论：当 R R    a b , ，则有：   1 2 2 b a real S Rd        。同理，我们可以得平面曲边梯形面积计算的确定性结论：当 f   x R ab   , ，则有：   b real a S f x dx   。需指出，上述所谓的“确定性结论”的获得，实际基于共同的数学结构：真实值可由 Darboux 小和和 Darboux 大和控制。当 Riemann 可积时，Darboux 小和和大和具有相同的极限值，即为 Riemann 积分值；故按夹逼性，真实值必为 Riemann 积分值* 。 ② 数学实验未能确认实验结论为“真理”的事例——对此类结论必需经实践鉴别或者检验研究事例 1： 3  中曲线弧长的计算   i 1 r t   x z   i 1 t  i t y o 0t Nt t  i r t                    1 3 1 2 2 22 1 11 i i ii ii ii rt rt xt xt yt yt zt zt                t  t   i 1 t t   i t t  对此进行数学实验： 1. 数学建模： * 张筑生著《数学分析新讲》的第一册，对此有所叙述

教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论第 3 页共 9 页考虑到 3  中曲线的参数刻画             3 : , x t rt t rt yt z t                   为此，我们在参数域,  上进行分割 0 1 : P t tt t          ii N   ，由此获得在实际曲线上的分割，如上图所示。对于分割点所截取的曲线弧长，我们仍无实际的计算方法，故考虑利用直线段进行“近似：    3                1 2 2 22 1 1 11 : L rt rt xt xt yt yt zt zt i ii ii i i ii                   。进一步，考虑部分和：     222 1 1 N N i i i ii i i Lxyzt              ，上式获得，利用了 Lagrange 中值定理，故需要引入条件：                       , , , , , , , , , , , , xt C xt t yt C yt t zt C zt t                                 ，可记为         3 rt C rt t     , , , ,       以下考虑极限过程。按上述分析，在每一子区间上， iii i i ,, ,  t t 1 取值各不相同，这同原来的部分和选取有所不同。但我们仍可考虑极限：     222 0 0 1 1 lim lim N N i i i ii P P i i L xyzt                      ，   1 ,, , iii i i  t t    可按 Cauchy 叙述，Heine 叙述以及 Cauchy 收敛原理认识，因为原有的分析都适用现有情形。结合上述部分和的实际结构，我们要求存在极限      3 2 22 r t dt x t y t z t dt                 故需要进一步引入条件：rt C rt R      , , ,         ，亦即各分量在,  存在一阶导函数且 Riemann 可积。现我们猜测： Claim：下述极限存在        2 2 2 2 22 0 1 lim N i i ii P i x y z t x t y t z t dt                         分析：

教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论第 4 页共 9 页估计                     2 2 2 2 22 1 2 2 2 2 22 1 1 2 2 2 2 22 1 N i i ii i N N i i ii i i ii i i N i i ii i x y z t x t y t z t dt x yz txyzt x y z t x t y t z t dt                                                       此处   1 , i ii  t t    对于 RHS 的第 2 项，由于    2 22 x t y t z t dt           ，则有估计：对   0 ， 0     ，成立       2 2 2 2 22 1 , N i i ii i x y z t x t y t z t dt P                         对于 RHS 的第 1 项的估计，考虑引入如下结构。 Lemma： 222 2 22 A  B C E F G AE BF CG      分析：   222 2 22 222 2 22 222 2 22 222 2 22 ABC EFG ABC EFG ABC EFG A E A E ABC EFG A E                 故对于 RHS 的第 1 项的有估计：                                     2 2 2 2 22 1 1 2 2 2 2 22 1 1 11 1 , , N N i i ii i i ii i i N i i i i i ii i N i i i i i ii i NN N i ii i ii i ii ii i x yz txyzt xyz xyz t xx y y z z t x x ty y tz z t xt P yt P                                                                           zt P  

教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论第 6 页共 9 页局部圆台侧面积近似的几何关系如上图所示，可得：                2 2 2 2 1 11 2 2 1 11 11 1 2 22 2 i i i i ii ii i i i i i i i i i ii ii S R r Rr Rr y y xx y y y y xx yy                        利用 Lagrange 中值定理，     1 1 ii i i ii i i x xx t yy y t             ；                1 11 , , , , i i ii i i ii i i i i i i ii yy y t t y y yt t                      此处   1, i ii  t t    。                      2 2 1 11 22 22 1 2 2 2 i i i ii ii i i i i i i i ii i i i i ii i S y y xx yy y x y t y x y tt y x y tt                                          籍此，我们易得估计：                               2 2 1 1 22 22 1 1 1 , ,, 2 2 sup sup sup N N i i i ii i i N N i i i ii i i i i ii i i i S yxy t y x y tt y x y tt yt xt yt P                                                              对于上述分析，我们要求：rt C rt R    , , ,          。进一步，考虑估计：                     2 2 22 1 22 2 2 1 1 2 2 22 1 2 2 2 2 2 2 N i i ii i N N i i ii i i ii i i N i i ii i y x y t y t x t y t dt yxy t yx y t y x y t y t x t y t dt                                                                 对于 RHS 的第 2 项，由于    2 2 2 y t x t y t dt            ，则有估计：对   0 ， 0     ，成立

教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论第 7 页共 9 页       2 2 22 1 2 2 , N i i ii i y x y t y t x t y t dt P                          对于 RHS 的第 1 项，考虑上述 Lemma，有：                                 22 2 2 1 1 22 2 2 1 2 2 1 , 22 2 2 2 sup , , N N i i ii i i ii i i N i i i i ii i N i i i i ii i y xy t yx y t y xy xy t y xx y y t yt xt P yt P                                                                          综上，我们基于圆台侧面积近似的数学实验的结论为：当有 rt C rt R      , , ,         ，则有：    2 2 0 1 lim 2 N i i P i S t y t x t y t dt                 方案 2：“旋成体局部侧面积用圆柱侧面积进行近似” x o y   1 1 : i i y yt    :   i i y yt   i y  基于局部圆柱侧面积近似，有： S y x y xx y x t i i i i ii i i i            22 2         1     考虑如下估计：           1 11 1 2 2 2 22 N i i NN N i ii i ii i ii ii i S y t x t dt y x t y x t y x t y t x t dt                                       对于 RHS 的第 2 项，由于 2 y t x t dt            ，则有估计：