复旦大学数学科学学院 2008~2009学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称: 高等代数 课程序号:MATH120011 开课院系:数学科学学院考试形式:闭卷 姓名: 学号: 专业: ⌒装订线内不要答题 题号12345678总 得分 分 一、选择题(每题2.5分,共20分) 1.设一个n(n>1)阶方阵中每一项的值均为1或-1,则该矩阵的行列式 为(D) A.1 B.0 C.奇数 D.偶数 a11a12a13 3a21-6a223a23 2.若行列式a21a22a23=d,则2a31-4a322a33=(C) a31a32a33 -a112a12-a13 A.3d B.6d C.12d D.18d 3.设A、B为同阶方阵,且A-1、B-1、(A+B)-1均存在。则(-1+b-1)-1= (A) A.(A+B)-1B B.(A+B)-1C. (A+B)-B D.A+B 4.当t=(c)时,向量组(1,1,1),(t,12),(1,t2,1)线性无关? A.1 B.-1 C.-2 D.2 第1页(共8页)
( K Ø S ¾ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EÆêÆÆÆ 2008*2009Æc1ÆÏÏ"ÁÁò A ò §¶¡µ p êI §SÒµ MATH120011 mXµ êÆÆÆ Á/ªµ 4ò 6 ¶µ Æ Òµ ; µ K Ò 1 2 3 4 5 6 7 8 o © © !ÀJK(zK2.5©§20©) 1. n (n > 1) ¥zþ 1 ½ −1§KTÝ 1ª ( D ) A. 1 B. 0 C. Ûê D. óê 2. e1ª a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = d§K 3a21 −6a22 3a23 2a31 −4a32 2a33 −a11 2a12 −a13 = ( C ) A. 3d B. 6d C. 12d D. 18d 3. A ! B Ó § A−1 ! B−1 ! (A + B) −1 þ3"K (A−1 + B−1 ) −1 = ( A ) A. A (A + B) −1 B B. A (A + B) −1 C. (A + B) −1 B D. A + B 4. t = ( C ) §þ| (1, 1, 1)§(t, 1, 2)§(1, t2 , 1) 5Ã'º A. 1 B. −1 C. −2 D. 2 11 ( 8)
5.设V为数域K上的n(n>1)维线性空间。下列结论(C)对V上所 有的线性变换y都成立。 AV=Im y e Ker yB. dim V= dim Im +dim Ker C. V=Im o+Ker yD Imy∩Kery={0} 6.设p(x)是数域K上的不可约多项式,f(x)=pm(x)(m>1),g(x),h(x)∈ K]。则下列结论(A)正确 A.f(x)g(x)h(x)→f(x)|g(x)或f(x)|h(x) B.f(x)|g(x)h(x)→f(x)|g(x)或存在正整数k,f(x)|h(x) C.(f(x),f(x)≠1 D.f(x)在C上有重根 7.当a,b分别为(D)时,(x-1)2整除a4+bx2+1。 D.1 8.设A,B都是数域K上的n(n>1)阶矩阵。则下列结论成立的是(D A.若Ax=0的解都是Bx=0的解,则A的列向量都是B的列向量的线 性组合; B.若Ax=0的解都是Bx=0的解,则B的列向量都是A的列向量的线 性组合; C.若Ax=0的解都是Bx=0的解,则A的行向量都是B的行向量的线 性组合; D.若Ax=0的解都是Bx=0的解,则B的行向量都是A的行向量的线 性组合; 二、填空题(每题25分,共20分) 两个多项式f(x)=x4-2x3-3x2+9x-6和g(x)=x3-6x2+12x-8的 最大公因式(f(x),g(x)=x-2 第2页(共8页)
5. V ê K þ n (n > 1) 5m"e(Ø ( C ) é V þ¤ k5C ϕ Ѥá" A. V = Im ϕ ⊕ Ker ϕB. dim V = dim Im ϕ + dim Ker ϕC. V = Im ϕ + Ker ϕD. Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0} 6. p (x) ´ê K þØõª§f (x) = p m (x) (m > 1)§g (x)§h (x) ∈ K [x]"Ke(Ø ( A ) (" A. f (x) | g (x) h (x) ⇒ f (x) | g (x) ½ f (x) | h (x) B. f (x) | g (x) h (x) ⇒ f (x) | g (x) ½3ê k§f (x) | h k (x) C. (f (x), f0 (x)) 6= 1 D. f (x) 3 C þk" 7. a, b ©O ( D ) §(x − 1)2 Ø ax4 + bx2 + 1" A. −1§2 B. −1§−2 C. 1§2 D. 1§−2 8. A§B Ñ´ê K þ n (n > 1) Ý "Ke(ؤᴠ( D ) A. e Ax = 0 )Ñ´ Bx = 0 )§K A þÑ´ B þ 5|ܶ B. e Ax = 0 )Ñ´ Bx = 0 )§K B þÑ´ A þ 5|ܶ C. e Ax = 0 )Ñ´ Bx = 0 )§K A 1þÑ´ B 1þ 5|ܶ D. e Ax = 0 )Ñ´ Bx = 0 )§K B 1þÑ´ A 1þ 5|ܶ !WK(zK2.5©§20©) 1. üõª f(x) = x 4 − 2x 3 − 3x 2 + 9x − 6 Ú g(x) = x 3 − 6x 2 + 12x − 8 úϪ (f(x), g(x)) = x − 2 . 12 ( 8)
2.已知矩阵X满足下列方程: 121 131 201 54 则X 1111 3211 3.某线性空间V上的线性变换φ在某组基下的表示矩阵为A 4533 则φ的核空间的维数为 dim Ker()=_1 装订线内不要答 4.设A为n阶方阵,A表示A的伴随矩阵,已知|A“|=2n-1,则|A-(4+) 2(u-2n-2)n其中um-1=1 5.如果Km{表示数域K上次数不超过m的一元多项式组成的线性空 间,设U=Ka{,V=K4{,现有一个线性映射T:U→V满足 T(f)=J1f(t)d,vf(x)∈U.分别取定U,V的基{1,x+1,x2,x3}和 {1,x,x2,(x+1)3,x4},则按课本上的定义方式,T在这两组基下对应的矩 阵应为 1000 3-211-2 0 0001-4 00 6.多项式x+mx+1(p为奇素数)在有理数域上(是/否)否可约。 第3页(共8页)
2. ®Ý X ÷ve§µ X 1 2 3 −1 4 3 2 0 1 = 1 2 1 −1 3 1 , K X = − 5 3 4 3 2 − 3 2 3 2 1 . 3. ,5m V þ5C ϕ 3,|ÄeL«Ý A = 1 1 1 1 3 2 1 1 0 1 2 2 4 5 3 3 § K ϕ Ømê dim Ker(ϕ) = 1 . 4. A n §A∗ L« A Ý §® |A∗ | = 2n−1 , K |A−(A∗ ) ∗ | = 2(ω − 2 n−2 ) n Ù¥ ω n−1 = 1 . ( K Ø S ¾ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. XJ Km[x] L«ê K þgêØL m õª|¤5 m§ U = K3[x], V = K4[x]§yk5N T : U 7→ V ÷v T (f) = R x 1 f(t)dt, ∀f(x) ∈ U. ©O½ U, V Ä {1, x + 1, x2 , x3} Ú {1, x, x2 ,(x + 1)3 , x4}§ KU þ½Âª§T 3ùü|Äe éAÝ A A = −1 − 3 2 − 2 3 − 1 4 1 1 −1 0 0 1 2 −1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 4 . 6. õª x p + px + 1 £p Ûê¤3knêþ£´/Ĥ Ä " 13 ( 8)
设方阵M 其中A,C均为可逆方阵,则 O c A- BC O 8.已知V是一个3维复线性空间,e1,e2,e3是一组基,V上线性变换y在这 组基下的矩阵为A=12a0且V恰有3个互不相同的1维y不变 00 子空间,则a的取值范围为a≠0和a≠1 三、(本题10分)设V是列向量空间R,e1,e2,e3是V基本向量组,设φ是 V上的线性变换且y在基本向量组下的矩阵为A=120.现有向量 组a1=(-1,-1,2)2,a2=(3,2,0),as3=(-1,-1,1)2∈V.问 (1)a1,a2,a是否为v的基? (2)如果a1,a2,a3是v的基,求φ在这组基下的矩阵 13-1 12-1 13-1 1.因为-12-1=-1≠0,所以-12-1是可逆矩 201 阵,故而a1,a2,a3是V的基; 第4页(共8页)
7. M = A B O C , Ù¥ A, C þ_ §K M−1 = A−1 −A−1BC−1 O C−1 . 8. ® V ´ 3 E5m§e1, e2, e3 ´|ħV þ5C ϕ 3ù |ÄeÝ A = 0 −a 0 1 2a 0 0 0 1 V Tk 3 pØÓ 1- ϕ-ØC fm§ K a a 6= 0Úa 6= 1 . n!( K10©) V ´þm R 3 , e1, e2, e3 ´ V Ä þ|§ ϕ ´ V þ5C ϕ 3Ä þ|eÝ A = 2 −1 3 1 2 0 −2 2 1 . ykþ | α1 = (−1, −1, 2)t§α2 = (3, 2, 0)t , α3 = (−1, −1, 1)t ∈ V . ¯ (1) α1, α2, α3 ´Ä V Ä? (2) XJ α1, α2, α3 ´ V ħ¦ ϕ 3ù|ÄeÝ " (α1, α2, α3) = (e1, e2, e3) −1 3 −1 −1 2 −1 2 0 1 1. Ï −1 3 −1 −1 2 −1 2 0 1 = −1 6= 0§¤± −1 3 −1 −1 2 −1 2 0 1 ´_Ý § α1, α2, α3 ´ V Ķ 14 ( 8)
2.记P 则(a )P,p(a1,a2,a3) 201 y(e1;e2,e3)P=(e1,e2e3)AP=(a1,a2,a3)P-1AP,故φ在这 1711-12 组基下的矩阵为P-1AP=8-35 四、(本题10分)已知a1=(2,1,4,-2),a2=(5,-1,3,3)和a3=(1,0,1,0)2 2x1-9 +bx4=1 是方程组 r1-11x2+ax3+b4=1 的三个解, 5x1-29x2-2x3-15r4=3 3 (1)证明:方程组系数矩阵的秩为2 (2)求出参数a,b,c的值,并求解方程组。 1.容易看出,方程组第3、4个方程的未知数系数不成比例, 所以系数矩阵的秩应大于或等于2;同时由于a3-a1 (-1,-1,-3,2)2,a (3,-2,-1,5)是相应齐次方程组 的解,且也不成比例,所以齐次方程组的基础解系中至少有两 个线性无关的解,于是系数矩阵的秩小于或等于4-2=2,故 只能是 b 2-9 1-11 b 2.由系数矩阵的秩为2,所以r 5-29-2-15 5-29 4-31-1-15 4-31 第5页(共8页)
2. PP = −1 3 −1 −1 2 −1 2 0 1 §K(α1, α2, α3) = (e1, e2, e3) P§ϕ (α1, α2, α3) = ϕ (e1, e2, e3) P = (e1, e2, e3) AP = (α1, α2, α3) P −1AP§ϕ3ù |ÄeÝ P −1AP = −17 11 −12 8 −3 5 36 −24 25 " o!( K10©) ® α1 = (2, 1, 4, −2)t§α2 = (5, −1, 3, 3)t Ú α3 = (1, 0, 1, 0)t ´§| 2x1 − 9x2 − cx3 + bx4 = 1 x1 − 11x2 + ax3 + bx4 = 1 5x1 − 29x2 − 2x3 − 15x4 = 3 4x1 − 31x2 − x3 − 15x4 = 3 n)§ (1) y²µ§|XêÝ 2; (2) ¦Ñëê a§b§c §¿¦)§|" 1. N´wѧ§|13!4§êXêؤ'~§ ¤ ± X ê Ý A u ½ u2¶ Ó d uα3 − α1 = (−1, −1, −3, 2)t§α2 − α1 = (3, −2, −1, 5)t´Aàg§| )§ ؤ'~§¤±àg§|Ä:)X¥kü 5Ã')§u´XêÝ u½ u4 − 2 = 2§ U´2¶ 2. dXêÝ 2§¤±r 2 −9 −c b 1 −11 a b 5 −29 −2 −15 4 −31 −1 −15 = 2§ 2 −9 −c b 1 −11 a b 5 −29 −2 −15 4 −31 −1 −15 ⇒ 15 ( 8)
1-11 013-2a-c 013 026-5a-2-5b-15 002c-a-2-3b-15 013-4a-1-4b-15 00c-2a-1-3b-15 2c-a-2=0 所以 得到a=0,c=1,则-3b-15=0得b 2a-1=0 11102 2-9-1-51 10 1-110-51 5,此时增广矩阵 131313 5-29-2-153 00 4-31-1-153 00000 故方程组的解为13+2313+a413 1 0 0 装订线内不要答题 第6页(共8页)
1 −11 a b 0 13 −2a − c −b 0 26 −5a − 2 −5b − 15 0 13 −4a − 1 −4b − 15 ⇒ 1 −11 a b 0 13 −2a − c −b 0 0 2c − a − 2 −3b − 15 0 0 c − 2a − 1 −3b − 15 §¤± 2c − a − 2 = 0 c − 2a − 1 = 0 , a = 0, c = 1§K −3b−15 = 0b = −5§dO2Ý 2 −9 −1 −5 1 1 −11 0 −5 1 5 −29 −2 −15 3 4 −31 −1 −15 3 ⇒ 1 0 − 11 13 − 10 13 2 13 0 1 − 1 13 5 13 − 1 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 § §|) 2 13 − 1 13 0 0 + x3 11 131 13 1 0 + x4 10 13 − 5 13 0 1 ( K Ø S ¾ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 8)
五、(本题10分)已知A是mxn阶矩阵,记A=(a1a2…an)其 中a1,…,an是A的列向量组,设T是任意m阶非奇异方阵并记TA BB2…风n)。设{4,…,}<{,…,n}是任意指标集,证明a1 a线性相关当且仅当1…,线性相关。 六、(本题10分)如果∫()=anxn+…+a1x+a0∈K,且A为K上n阶 方阵,则记f(4)=anA+…+a1A+a0ln,其中L为单位阵。现设多项式f(x) 和g(x)为K上的两个互素的多项式。证明:齐次线性方程组f(A)9(4)X=0 的解空间v是齐次线性方程组f(4)X=0的解空间V1与g(4)X=0的解空间 V2的直和,即证V=VeV2。 第7页(共8页)
Ê!( K10©) ® A ´ m × n Ý §P A = α1 α2 · · · αn , Ù ¥ α1, · · · , αn ´ A þ|§ T ´?¿ m ÛÉ ¿P T A = β1 β2 · · · βn " {i1, · · · , ik} ⊂ {1, · · · , n} ´?¿I8§y² αi1 ,· · · , αik 5' = βi1 ,· · · , βik 5'" 8!( K10©) XJ f (x) = anx n + · · · + a1x + a0 ∈ K [x]§ A K þ n §KP f (A) = anAn +· · ·+a1A+a0In§Ù¥ In ü "yõª f (x) Ú g (x) K þ üpõª"y²µàg5§|f (A) g (A) X = 0 )m V ´àg5§|f (A) X = 0 )m V1 g (A) X = 0 )m V2 Ú, =y V = V1 ⊕ V2" 17 ( 8)
七、(本题10分)如果A是m×n阶矩阵,B1,B2是两个给定的列向量。 证明方程组AX=1与AX=B同时有解当且仅当秩R(A)=R(A),其中 A=(A1A2)是m×(n+2)阶分块矩阵 装订线内不要答题 第8页(共8页)
Ô!( K10©) XJ A ´ m × n Ý §β1, β2 ´ü½þ" y²§| AX = β1 AX = β2 Ók) = R(A) = R(Ae), Ù¥ Ae = (A β1 β2) ´ m × (n + 2) ©¬Ý " ( K Ø S ¾ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 8)
八、(本题10分)对一个方阵A,如果A2=A,则称A为一个幂等矩阵。证 明:任一方阵均可表示为一个非奇异矩阵与一个幂等矩阵的乘积。 第9页(共8页)
l!( K10©) é A§XJ A2 = A§ K¡ A Ý "y ²µ? þL«ÛÉÝ Ý ¦È" 19 ( 8)