复旦大学：《高等代数》精品课程教学资源（课件讲稿）11 内积空间（第九章）

高等代数(上海市精品课程,制作人:朱胜 +,mazhusl@fudan.edu.cn

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第九章 内积空间 光华东楼1708 办公电话 55664896 我的信息 办公时间 周二下午1:30一3:30 朱胜林 个人主页 homepage. fudan. edu. cn/zhusi 本课程主贡 fudan.edu. cn/s/100/

1ÊÙ SÈm ·&E Á‘ ú¿µ 1uÀ¢ 1708 ú>{µ 55664896 úžmµ ±eÌ 1µ30 — 3µ30 >fe‡µ mazhusl@fudan.edu.cn ‡<̐µ homepage.fudan.edu.cn/˜zhusl ‘§Ìµ jpkc.fudan.edu.cn/s/100/

内积空间的概念 定义(实内积空间 设V是实数域卫上一个线性空间(-,-)是V上的一个二元实值函数,如 果(-,-)满足以下规则: 对称性:(a,B)=(B,a),va,B∈V Q左侧线性:(ka+1B,)=k(a,)+1(B,0),ax,B?∈V,l∈R 正定性:(a,a)≥0,wa∈V。(a,a)=0当且仅当a=0。 则称(-,-)是V上的一个内积,(V,(-,-))称为一个内积空间。 当dimV<∞时,内积空间V又称为 Euclid空间(欧氏空间)。 例 在Rn上中,对a=(a1,a2,…,an)’,B=(b1,b2,…,bn),定义 (a, B)=1b1+a202+..+anbn=P'a, 则(Rn,(-,-))是一个n维 Euclid空间,称为标准内积空间。 如果定义(a,B)=a1b1+22b2+…+ na. b,也会得到一个内积空间

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÊÙSÈm SÈmVg SÈmVg ½Â (¢SÈm)  V ´¢ê R þ‡‚5m (−, −) ´ V þ‡¢Š¼ê§X J (−, −) ÷v±e5Kµ 1 é¡5µ(α, β) = (β, α)§∀α, β ∈ V¶ 2 †ý‚5µ(kα + lβ, γ) = k(α, γ) + l(β, γ)§∀α, β, γ ∈ V§∀k, l ∈ R¶ 3 ½5µ(α, α) ≥ 0§∀α ∈ V"(α, α) = 0 …= α = 0" K¡ (−, −) ´ V þ‡Sȧ(V,(−, −)) ¡‡SÈm"  dim V < ∞ ž§SÈm V q¡Euclid m£î¼m¤" ~ 3 Rn þ¥§é α = (a1 , a2, · · · , an) ′ , β = (b1 , b2, · · · , bn) ′ , ½Â (α, β) = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn = β ′ α§ K (Rn,(−, −)) ´‡ n ‘ Euclid m§¡IOSÈm" XJ½Â (α, β) = a1b1 + 2a2b2 + · · · + nanbn§¬‡SÈm"

例 取区间[,b上的连续函数全体构成的线性空间C回,b,定义 ((x), 8(x))=/f(x)8(x)dx, 则(Cb,(-,-)构成一个无限维内积空间。 定义 设V是实数域C上一个线性空间(-,-)是V上的一个二元复值函 数,如果(-,-)满足以下规则 0共轭对称性:(a,B)=(B,a),Va,B∈V 左侧线 性:(k+1)=k(a,)+1(B),va,B,T∈V,∈C: 正定性:(a,a)≥0,Va∈V。(a,a)=0当且仅当a=0 则称(-,-)是V上的一个内积,(V(-,-)称为一个内积空间。 当dimV<∞时,内积空间V又称为U-空间(酉空间)

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÊÙSÈm SÈmVg ~ «m [a, b] þëY¼êN¤‚5m C [a, b]§½Â (f (x), g (x)) = Z b a f (x) g (x) dx§ K (C [a, b] ,(−, −)) ¤‡Ã‘SÈm" ½Â  V ´¢ê C þ‡‚5m (−, −) ´ V þ‡EŠ¼ ê§XJ (−, −) ÷v±e5Kµ 1
Ýé¡5µ(α, β) = (β, α)§∀α, β ∈ V¶ 2 †ý‚ 5µ(kα + lβ, γ) = k(α, γ) + l(β, γ)§∀α, β, γ ∈ V§∀k, l ∈ C¶ 3 ½5µ(α, α) ≥ 0§∀α ∈ V"(α, α) = 0 …= α = 0" K¡ (−, −) ´ V þ‡Sȧ(V,(−, −)) ¡‡SÈm"  dim V < ∞ ž§SÈm V q¡U-m£jm¤"

在Cn上中,对a=(a1,a2,……,an),B=(b1,b2,…,bhn),定义 (a,B)=a1+a2b2+…+an园=Ha, 则(C",(一,-)是一个n维U空间。 由定义,实内积空间上的内积右侧也是线性的 即(a,-):β→(a,B)为V→R的线性变换(画数);复内积空间上 的内积右侧是共轭线性的, 即(,kB+1)=k(a,B)+l(a,0),Va,B,∈V,∈C

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÊÙSÈm SÈmVg ~ 3 C n þ¥§é α = (a1, a2, · · · , an), β = (b1, b2, · · · , bn), ½Â (α, β) = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn = β Hα§ K (C n ,(−, −)) ´‡ n ‘ U-m" d½Â§¢SÈmþSÈmý´‚5§ = (α, −) : β 7→ (α, β)  V → R ‚5C†£¼ê¤¶ESÈmþ SÈmý´
݂5§ = (α, kβ + lγ) = k (α, β) + l(α, γ)§∀α, β, γ ∈ V§∀k, l ∈ C"

定义 设(V(-,-)为一个内积空间,且a∈V,非负实数√a,a)称为a的长度 (范数),记为 Jall =v(a, a). 若β∈V,则定义a、β之间的距离 d(a,B)=‖B-al‖ 当V为实内积空间时,定义a、β之间的夹角(a,B)由下式得出 当(a,B)=0时,称a、β正交(垂直)。 这里有个约定,当a或β中有一个为零时,(,β)可以是任意值

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÊÙSÈm SÈmVg ½Â  (V,(−, −)) ‡SÈm§… α ∈ V§šK¢ê p (α, α) ¡ α Ý £‰ê¤§P kak = q (α, α)" e β ∈ V§K½Â α!β ƒmål d (α, β) = kβ − αk ¶  V ¢SÈmž§½Â α!β ƒmY([α, β) deªÑ cos ([α, β) = (α, β) kαk · kβk ¶  (α, β) = 0 ž§¡ α!β £R†¤" ùpk‡½§ α ½ β ¥k‡"ž§([α, β) Œ±´?¿Š"

向量的长度有以下性质: 定理 设(V(一,-)为内积空间,a,B∈V,k是定义数域中的数,则 Q齐次性:‖ka‖=|k‖ll e Cauchy-Schwartz不等式:‖(a,)川≤‖l‖‖f 0三角不等式:‖a+聞≤‖al‖+‖F 当a、β正交 时,‖a+|2=(a,a)+(B,B)+(a,B)+(B,a)=|l2+|F{2,这个 结论称为勾股定理

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÊÙSÈm SÈmVg •þÝk±e5Ÿµ ½n  (V,(−, −)) SÈm§α, β ∈ V§k ´½Âꍥê§K 1 àg5µkkαk = |k| kαk¶ 2 Cauchy-Schwartz تµk(α, β)k ≤ kαk kβk¶ 3 nتµkα + βk ≤ kαk + kβk"  α!β  ž§kα + βk 2 = (α, α) + (β, β) + (α, β) + (β, α) = kαk 2 + kβk 2§ù‡ (Ø¡½n"

Cauchy-Schwartz不等式‖(a,B川‖≤‖l‖f在不同空间中的体现 ③对于R”,标准内积下 nb2+ah+…+ahl≤V+吗+…+V++…+ eCab下 1 /a)()2()2

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÊÙSÈm SÈmVg ~ Cauchy-Schwartz ت k(α, β)k ≤ kαk kβk 3ØÓm¥Nyµ 1 éu Rn§IOSÈe |a1b1 + a2b2 + · · · + anbn| ≤ q a 2 1 + a 2 2 + · · · + a 2 n q b 2 1 + b 2 2 + · · · + b 2 n¶ 2 C [a, b] e     Z b a f(x)g(x)dx     ≤ Z b a f 2 (x)dx 1 2 Z b a g 2 (x)dx 1 2 "

设V是一个n维内积空间,在V中取一组基1,四2,…,n,对于V中任意 两个向量 a=a1a1+a22+…+anmB=b1a1+b22+…+bncn 由内积的性质得 (a,B)=(a101+a2+…+anm,b101+b22+…+bhnn =∑∑(,) (v1,1)(1,v2 (v1,n))/b1 (v,1)(,2 (2,vn)b2 =(a1,a2,…,an) (On, u1)(Un, u2)..(Un, Un)/\b, 01, Un (v,1)(v2,02) 称G(v1,2,…,n) 为内积空 (on, D1)(On, 02) 间(V(-,-)的基向量的Gram矩阵

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÊÙSÈm SÈL«ÚÄ  V ´‡ n ‘SÈm§3 V ¥|Ä v1 , v2, . . . , vn§éu V ¥?¿ ü‡•þ α = a1v1 + a2v2 + · · · + anvn, β = b1v1 + b2v2 + · · · + bnvn, dSÈ5Ÿ (α, β) = ha1v1 + a2v2 + · · · + anvn, b1v1 + b2v2 + · · · + bnvni = n ∑ i=1 n ∑ j=1 (vi , vj )aibj = (a1 , a2, . . . , an)   (v1 , v1) (v1 , v2) · · · (v1 , vn) (v2, v1) (v2, v2) · · · (v2, vn) . . . . . . . . . . . . (vn, v1) (vn, v2) · · · (vn, vn)     b1 b2 . . . bn   ¡ G (v1 , v2, . . . , vn) =   (v1 , v1) (v1 , v2) · · · (v1 , vn) (v2, v1) (v2, v2) · · · (v2, vn) . . . . . . . . . . . . (vn, v1) (vn, v2) · · · (vn, vn)   SÈ m (V,(−, −)) ĕþGram Ý "

当V是实内积空间时,对任意的非零(x1,x2,……,xn)∈R,如果 取a=x101+x202+……+xnUn,则由内积的正定性、对称性知道 (x1,x2,xn)G(1,02…,n)(x1,x2…,xn)>0 且G(U1,,…,n)为一个实对称阵。这样的矩阵称为正定矩阵。这 是二次型一章中重点讨论的矩阵 如果u1,l2, 是空间V的另一组基,且 从1,02……,1到u1,l2…,ln的过渡矩阵为P,形式上 (u1,2,…,ln)=( 则由内积的左侧线性(右侧共轭线性),可知 G(u1,l2,…,n)=PG(1,02,……,n)b, 这样的复矩阵的关系,在后面的章节中称为合同关系。对实方阵而 言,两个同阶对称阵A、B,如果存在一个可逆同阶方阵P,使 得PAP=B,则称A与B合同。关于合同关系,我们将以后面的章 节中详细讨论

pê£þ°½°¬‘§§›Š 0 … G (v1, v2, . . . , vn) ‡¢é¡ "ùÝ ¡½Ý "ù ´g.Ù¥­:?ØÝ " XJ u1, u2, · · · , un ´m V ,|ħ… l v1, v2, · · · , vn  u1, u2, · · · , un LÞÝ  P§/ªþ (u1 , u2, · · · , un) = (v1 , v2, · · · , vn)P KdSȆý‚5£mý
݂5¤§Œµ G (u1 , u2, . . . , un) = P ′G (v1 , v2, . . . , vn) P§ ùEÝ 'X§3￾¡Ù!¥¡ÜÓ'X"颐 ó§ü‡Óé¡ A!B§XJ3‡Œ_Ӑ P§¦  P ′AP = B§K¡ A † BÜÓ"'uÜÓ'X§·‚ò±￾¡Ù !¥[?Ø"