复旦大学：《高等代数》精品课程教学资源（课件讲稿）08 特征值（第六章）

高等代数(上海市精品课程,制作人:朱胜 +,mazhusl@fudan.edu.cn

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第六章 特征值 办公空 ξ华东楼1708 办公电话 55664896 我的信息 办公时间 周二下午1:30一3:30 mazhusl@fudan.edu.cn 朱胜林 个人主页 homepage. fudan. edu. cn/zhusi 本课程主 fudan. edu. cn /s/100

18Ù AŠ ·&E Á‘ ú¿µ 1uÀ¢ 1708 ú>{µ 55664896 úžmµ ±eÌ 1µ30 — 3µ30 >fe‡µ mazhusl@fudan.edu.cn ‡<̐µ homepage.fudan.edu.cn/˜zhusl ‘§Ìµ jpkc.fudan.edu.cn/s/100/

设K是一个数域,q∈C(V)是一个线性变换,q的不变子空间往往 在q的作用中起着很重要的作用。尤其是它的1维的不变子空间。 定义(特征值和特征向量) 设φ∈C(V),若A∈K,0≠x∈V,使得q(x)=λx,则 称A为q的一个特征值,x为q的对应于特征值A的一个特征向 量 EA={x|q(x)=Ax}是V的一个子空间,称为q的对应于特征 值λ的特征子空间。 设A是一个n×n-矩阵,若λ∈C,0≠x∈Cn,成立Ax=Ax,则 称λ为A的一个特征值,x为A的对应于特征值λ的一个特征向 量 此时EA={x|Ax=Ax}也是Kn的一个子空间,称为A的对应于特 征值λ的特征子空间。 矩阵的特征值可以是一个复数,而数域K上线性变换q的特征向量 定是K中的数

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 18ÙAŠ AŠÚA•þ  K ´‡ê§ϕ ∈ L (V) ´‡‚5C†§ϕ ØCfm 3 ϕ Š^¥åX魇Š^"cÙ´§ 1 ‘ØCfm" ½Â (AŠÚA•þ)  ϕ ∈ L (V)§e λ ∈ K§0 6= x ∈ V§¦ ϕ(x) = λx§K ¡ λ  ϕ ‡AŠ§x  ϕ éAuAŠ λ ‡A• þ" Eλ = {x | ϕ(x) = λx} ´ V ‡fm§¡ ϕ éAuA Š λ Afm"  A ´‡ n × n-Ý §e λ ∈ C§0 6= x ∈ Cn§¤á Ax = λx§K ¡ λ  A ‡AŠ§x  A éAuAŠ λ ‡A• þ" dž Eλ = {x | Ax = λx} ´ Kn ‡fm§¡ A éAuA Š λ Afm" 5 Ý AŠŒ±´‡Eê§ ê K þ‚5C† ϕ A•þ ½´ K ¥ê"

如果线性变换q:V→V在V的一组基1,…,Cn下的矩阵 为A,∈V,且=(1,……,Cn) 则 有q(x)=(1…,Cn)A 于是有q(x)=Ax当且仅 当A A 所以,线性变换的特征值问题可化为相应矩 阵的特征值问题 现设A是一个n阶方阵,λ是A的一个特征值,则存在一个特征向 量0≠x∈Kn,使得 Ax= ax 于是有MLn-A)x=0,由于x≠0是所给出齐次方程组的非零解 故而有det(An-A)=0;反过来,若det(An-A)=0, 则ALn-A)x=0有非零解x,根据定义,知λ是A的一个特征值

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 18ÙAŠ AŠÚA•þ XJ‚5C† ϕ : V → V 3 V |Ä v1 , . . . , vn eÝ  A§v ∈ V§… v = (v1 , . . . , vn)   k1 . . . kn  §K k ϕ(x) = (v1, . . . , vn)A   k1 . . . kn  §u´k ϕ(x) = λx …=  A   k1 . . . kn   = λ   k1 . . . kn  §¤±§‚5C†AŠ¯KŒzƒAÝ AŠ¯K" y A ´‡ n  §λ ´ A ‡AŠ§K3‡A• þ 0 6= x ∈ Kn§¦ Ax = λx, u´k λIn − A)x = 0§du x 6= 0 ´¤‰Ñàg§|š")§  k det(λIn − A) = 0¶‡L5§e det(λIn − A) = 0§ K λIn − A)x = 0 kš") x§Šâ½Â§ λ ´ A ‡AŠ"

关于矩阵的特征值,我们有下列的性质。 定理 设A为一个n阶方阵。则 0A∈K是A的特征值的充分必要条件为det(AIn-A)=0: ②上(下)三角矩阵的特征值为其对角元全体; ③相似的矩阵有相同的特征值; 0K上A的多项式det(An2-A An-(a1+a2+…+am)1-1+…+(-1)"detA为n次多项 式,其中x前的系数 为A的所有n一k阶主子式的和×(-1)-k ③A的特征值(重数计算在内)恰有n个,如果记为A1,,An 则有 Ak=trace(A), [Ak=det A ⑥不同特征值的特征向量线性无关,所有不同的特征子空间的和为 直和

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 18ÙAŠ AŠÚA•þ 'uÝ AŠ§·‚ke5Ÿ" ½n  A ‡ n  "K 1 λ ∈ K ´ A AŠ¿©7‡^‡ det(λIn − A) = 0¶ 2 þ£e¤nÝ AŠÙéN¶ 3 ƒqÝ kƒÓAŠ¶ 4 K þ λ õ‘ª det(λIn − A) = λ n − (a11 + a22 + · · · + ann)λ n−1 + · · · + (−1) n det A  n gõ‘ ª§Ù¥ x k cXê A ¤k n − k-ÌfªÚ× (−1) n−k ¶ 5 A AŠ£­êOŽ3S¤Tk n ‡§XJP λ1 , . . . , λn§ Kk n ∑ k=1 λk = trace(A)§ n ∏ k=1 λk = det A¶ 6 ØÓAŠA•þ‚5Ã'§¤kØÓAfmڏ †Ú"

任一个n阶方阵在复数域C上必相似于一个上三角阵。 证明:归纳法,当n=1时,自然成立。 设A是一个n阶方阵(n>1)。则A在C上必有特征值A1和相应的特征 向量1。扩充{1}为Cm的一组基{1,四2,…,Cn},则有 An1=A11,An2=∑b2v…,Amn=∑b 以矩阵记之 b 得A(12…四)=(a12…zn) 0 b. 记B=(b-1j-1 由归纳假设,存在可逆矩阵Q,使 (n-1)×(n-1) 得Q-1BQ为上三角阵,于是有 (2Q)(n…)A(n…)(g)=(b 为上三角阵

pê£þ°½°¬‘§§›Š 1 ¤"K A 3 C þ7kAŠ λ1 ڃAA •þ v1"*¿ {v1}  Cn |Ä {v1 , v2, . . . , vn}§Kk Av1 = λ1v1 , Av2 = n ∑ j=1 bj2vj , . . . , Avn = n ∑ j=1 bjnvj¶ ±Ý Pƒ  A ￾ v1 v2 · · · vn
= ￾ v1 v2 · · · vn
  λ1 b12 · · · b1n 0 b22 · · · b2n . . . . . . . . . . . . 0 bn2 · · · bnn   § P B =  bi−1 j−1  (n−1)×(n−1) "d8Bb§3Œ_Ý Q§¦  Q−1BQ þn §u´k  1 Q −1 ￾ v1 v2 · · · vn
−1 A ￾ v1 v2 · · · vn
 1 Q  =  λ1 ∗ 0 Q−1BQ þn "

设P和A是同阶方阵且P可逆 则(P-1AP)=P-1APP-AP…P-1AP=P-1AP,所以 f(P1AP)=P1f(A)P,对任一个多项式f(x)成立。 Q设A是A的特征值 0f(x)是多项式,则f(A)必是f(A)的特征值 e当A可逆时,Am必是Am的特征值,Ⅶm∈Z vp∈K,p是uA的特征值

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 18ÙAŠ AŠÚA•þ ~ 1  P Ú A ´Ó … P Œ_" K ￾ P −1AP
k = P −1APP−1AP · · · P −1AP = P −1A kP§¤± f  P −1AP = P −1 f (A) P§é?‡õ‘ªf (x) ¤á" 2  λ ´ A AŠ 1 f (x) ´õ‘ª§K f (λ) 7´ f (A) AŠ¶ 2  A Œ_ž§λ m 7´ A m AŠ§∀m ∈ Z¶ 3 ∀µ ∈ K§µλ ´ µA AŠ"

o设V为K上的有限维线性空间,q、ψ为乘法可换的线性变换, 则q的任一特征子空间必为的不变子空间; Q与对角元互异的对角阵互换的矩阵必也为对角阵 设A、B为n阶方阵,且AB=BA,证明A、B在复数域上必有 相同的特征向量 0设V为C上的有限维线性空间,{q1|i∈}为V上两两乘法互 换的线性变换集(I可以是无限集),则{q1|i∈Ⅰ}必存在公共 的特征向量

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 18ÙAŠ AŠÚA•þ ~ 1  V  K þk‘‚5m§ϕ!ψ ¦{Œ†‚5C†§ K ϕ ?Afm7 ψ ØCfm¶ 2 †épÉé p†Ý 7é ¶ 3  A!B  n  §… AB = BA§y² A!B 3Eêþ7k ƒÓA•þ¶ 4  V  C þk‘‚5m§{ϕι | i ∈ I}  V þüü¦{p †‚5C†8£ I Œ±´Ã8¤§K {ϕι | i ∈ I} 73ú
A•þ"

前面知道,数域K一个方阵的不同特征值的特征向量是线性无关的 换句话说,方阵的特征子空间的和是直和。当特征子空间的和构成整 个Kn时,这个矩阵与对角阵相似 定义 设A是数域K上的一个n阶方阵,若存在K上一个可逆矩阵P,使 得P-1AP为对角阵,则称A在数域K上可对角化 如上定义,当P-1AP=diag(A1,……,An)时,若 记P=( Cn),则有 A )=(A1A2 Diag(41…,An)=(A101A202…An2n) 邻以,有A1=Aa(1≤i≤n),所以得到A有n个线性无关的特征 量 定理 数域K上方阵A在K上可对角化的充要条件为A在K上存在n个 线性无关的特征向量

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 18ÙAŠ ŒézÝ c¡§ê K ‡ ØÓAŠA•þ´‚5Ã'§ †é{`§ AfmÚ´†Ú"AfmÚ¤ ‡ Kn ž§ù‡Ý †é ƒq" ½Â  A ´ê K þ‡ n  §e3 K þ‡Œ_Ý P§¦  P −1AP é §K¡ A 3ê K þŒéz" Xþ½Â§ P −1AP = diag (λ1 , . . . , λn) ž§e P P = ￾ v1 v2 · · · vn
§Kk A ￾ v1 v2 · · · vn
= ￾ Av1 Av2 · · · Avn
P diag (λ1, . . . , λn) = ￾ λ1v1 λ2v2 · · · λnvn
¤±§k Avi = λivi (1 ≤ i ≤ n)§¤± A k n ‡‚5Ã'A •þ" ½n ê K þ A 3 K þŒéz¿‡^‡ A 3 K þ3 n ‡ ‚5Ã'A•þ"

若记|ALn-A|=(A-1)(A-2)2…(A-k),这 里A1,,kk互异,则λ1为A的特征值,且称n1为λ1的代数重数, 称dmEx为A;的几何重数 根据 Schur定理,知存在C上可逆矩阵P,使得P-1AP为上三角阵 通过计算|ALn-A,知λ在对角线上恰出现了n次 而P-1(An-A)P=An-P-1AP是一个上三角阵,其对角线上 有n-n1个非零数,所以至少有一个n-n1阶非零子式,于是 知rank(ALn-A)≥n-n1,于是其解空 间EA={x|(An-A)x=0}的维数(几何重数)必不大于n 定理 设A为C上n阶方阵,则 ③若λ为A的一个特征值,则λ的几何重数不大于其代数重数 A可对角化当且仅当它的每个特征值的代数重数与其几何重数相 等 ③A可对角化当且仅当对它的每个特征 值λ,rank(An-A)=n-(λ的代数重数)

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 18ÙAŠ ŒézÝ eP |λIn − A| = (λ − λ1) n1 (λ − λ2) n2 · · ·(λ − λk ) nk§ù p λ1, . . . , λk pɧK λi  A AŠ§…¡ ni  λi ê­ê§ ¡ dim Eλi  λi AÛ­ê" ŠâSchur½n§3 C þŒ_Ý P§¦ P −1AP þn ¶ ÏLOŽ |λIn − A|§ λi 3é‚þTÑy ni g¶ P −1 (λi In − A) P = λi In − P −1AP ´‡þn §Ùé‚þ k n − ni ‡š"ꧤ±k‡ n − ni š"fª§u´  rank (λi In − A) ≥ n − ni§u´Ù) m Eλi = {x | (λi In − A) x = 0} ‘ê£AÛ­ê¤7،u ni" ½n  A  C þ n  §K 1 e λ  A ‡AŠ§K λ AÛ­ê،uÙê­ê¶ 2 A Œéz…=§z‡AŠê­ê†ÙAÛ­êƒ ¶ 3 A Œéz…=é§z‡A Š λ§rank (λIn − A) = n − (λê­ê)"