高等代数(上海市精品课程,制作人:朱胜 +,mazhusl@fudan.edu.cn
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第十章 双线性型 办公空 光华东楼1708 办公电话 55664896 我的信息 办公时间 周二下午1:30-3:30 电子邮件 mazhusl@fudan.edu.cn 朱胜林 个人主页 homepage. fudan. edu. cn/zhusi 本课程主负 c fudan. edu. cn/s/100/
1Ù V5. ·&E Á ú¿µ 1uÀ¢ 1708 ú>{µ 55664896 úmµ ±eÌ 1µ30 — 3µ30 >feµ mazhusl@fudan.edu.cn <̵ homepage.fudan.edu.cn/˜zhusl §Ìµ jpkc.fudan.edu.cn/s/100/
对偶空间 定义(线性函数) 设V是数域K上的一个线性空间,则V到K的一个线性映射称为一个线性 函数。 (1)根据线性映射与矩阵的对应关系,K上的任一线性函数f对应于一组 数a1,a2,…,an,使得 f(x1,x2,…,xn)=a1x1+a2x2+…+anxn (2)迹函数tr:A→tr(A)是K上n×n矩阵构成的线性空 间Mnxn(K)上的一个线性函数 (3)如果V=Kx]是K上的多项式全体构成的线性空间,a∈K。定义 f(p(x)=p(a),中(x)∈Kx], 则此取值运算也是一个线性函数。 根据线性的定义,一个线性函数完全有一组基下的值确定。也就是说,可以给 定基下的值(所取值不作任意要求)来确定一个线性函数
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÙV5. éóm éóm ½Â (5¼ê) V ´ê K þ5m§K V K 5N¡5 ¼ê" ~ £ 1 ¤â5NÝ éA'X§K n þ?5¼ê f éAu| ê a1 , a2, · · · , an§¦ f (x1 , x2, · · · , xn) = a1x1 + a2x2 + · · · + anxn" £ 2 ¤,¼ê tr : A 7→ tr(A) ´ K þ n × n Ý ¤5 m Mn×n (K) þ5¼ê" £ 3 ¤XJ V = K[x] ´ K þõª N¤5m§a ∈ K"½Â fa (p (x)) = p (a), ∀p (x) ∈ K [x] § Kd$´5¼ê" â5½Â§5¼ê k|Äe(½"Ò´`§± ½Äe£¤Ø?¿¦¤5(½5¼ê"
两个线性函数的和函数、一个线性函数与一个数的积都还是线性函数,所 以V上的线性函数全体也构成一个线性空间 线性空间V上的线性函数全体构成一个线性空间,记为V*,称作V的对偶 空间。 如果1…,四是V的一组基,则满足下列条件的线性函数f,/2,…fn fi(oj) 1,i 称为1,n的一组对偶基。 之所以称作对偶基:如果0=k11+…+knn,则f()=k,有 =∑=∑f() 反之 若f∈V,f()=f(∑=f())=∑=1f()f(v)=∑1f(v))() 所以有f=∑:=1Jf()是f1,2,……fn的线性组合,线性无关性容易验 证。f,…,f构成V*的一组基
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÙV5. éóm ü5¼êÚ¼ê!5¼êêÈÑ´5¼ê§¤ ± V þ5¼ê N¤5m" ½Â 5m V þ5¼ê N¤5m§P V ∗§¡ V éó m" XJ v1 , . . . , vn ´ V |ħK÷ve^5¼ê f1 , f2, · · · , fn§ fi(vj) = 1, i = j 0, i 6= j = δij ¡ v1 , . . . , vn |éóÄ" ¤±¡éóĵXJ v = k1v1 + · · · + knvn§K f i (v) = ki§k v = n ∑ i=1 kivi = n ∑ i=1 f i (v) vi , § e f ∈ V ∗§f (v) = f (∑ n i=1 fi (v) vi) = ∑ n i=1 fi (v)f (vi) = (∑ n i=1 f (vi)fi) (v)§ ¤±k f = ∑ n i=1 f (vi)fi ´ f1 , f2, · · · , fn 5|ܧ5Ã'5N´ y"f1 , f2, · · · , fn ¤ V ∗ |Ä"
对偶空间 设V=K[x]1-1为K上次数小于n的多项式全体构成的线性空 间,a1,a2,……,an为K中的n个互异数值,则在这n个点的取值函数 f(p(x)=p(a1),1≤i≤n 是线性无关的(通过 monde monde行列式证明)。f,h,……,fn构 成V*的一组基,它是 Lagrange插值多项式 (x-a1)…(x-a1-1)(x-a+1)…(x-an) p(x)=a1-a1)…,(1-a1)(1-a+1)…,(n-an) i=1,2, 的对偶基。 为了引出下节的双线性型,我们记f(x)=,x),这 里x∈V,f∈V
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÙV5. éóm éóm ~ V = K[x]n−1 K þgêu n õª N¤5 m§a1 , a2, · · · , an K ¥ n pÉê§K3ù n :¼ê fi (p (x)) = p (ai) §1 ≤ i ≤ n ´5Ã'£ÏLvonde Monde 1ªy²¤"f1 , f2, · · · , fn ¤ V ∗ |ħ§´ Lagrange õª pi(x) = (x − a1)· · ·(x − ai−1 )(x − ai+1 )· · ·(x − an) (ai − a1)· · ·(ai − ai−1)(ai − ai+1)· · ·(ai − an) , i = 1, 2, · · · , n. éóÄ" ÚÑe!V5.§·P f (x) = hf, xi§ù p x ∈ V§f ∈ V ∗"
对偶空间 如果φ∈C(V),则定义φ∈C(V*):q·(f)=fq=f。q,它是线 性函数与线性映射的复合,所以还是线性函数。且 对a,B∈K,f,8∈V, φ(af+)=(af+βg)q=afq+Rgq=aq'(f)+βq'(g) 所以q∈C(V*) f,q(x)=f(q(x)=(foq)(x)=q·()(x)=(qf),x)。 如果q在一组基1,…,n下的矩阵为A=(an)nn,则 有q(7)=Em141;设…后∈V为相应的对偶基,则有 q() q'(),v)f 甲=上9() f∑q)=2∑4f 所以q*在,…团下对应的矩阵为A′
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÙV5. éóm éóm XJ ϕ ∈ L (V)§K½Â ϕ ∗ ∈ L (V ∗ )µϕ ∗ (f) = f ϕ = f ◦ ϕ§§´ 5¼ê5NEܧ¤±´5¼ê" é α, β ∈ K§f, g ∈ V ∗§ ϕ ∗ (αf + βg) = (αf + βg) ϕ = αf ϕ + βgϕ = αϕ∗ (f) + βϕ∗ (g) § ¤± ϕ ∗ ∈ L (V ∗ )" hf, ϕ (x)i = f (ϕ (x)) = (f ◦ ϕ) (x) = ϕ ∗ (f) (x) = hϕ ∗ (f), xi " XJ ϕ 3|Ä v1, . . . , vn eÝ A = aij n×n§K k ϕ vj = ∑ n i=1 aijvi¶ f1, . . . , fn ∈ V ∗ AéóħKk ϕ ∗ (fk ) = n ∑ j=1 ϕ ∗ (fk ), vj fj = n ∑ j=1 fkϕ, vj fj = n ∑ j=1 fk , ϕ vj fj = n ∑ j=1 * fk , n ∑ i=1 aijvi + fj = n ∑ j=1 akjfj§ ¤± ϕ ∗ 3 f1, . . . , fn eéAÝ A ′"
对偶空间 设V是K上一个线性空间,V*是其对偶空间,取定V中一个向 量x,定义V*的一个函数x*如下 x(f)=f(x),f∈V 容易验证x*是V*上的一个线性函数,因此是V的对偶空 间(v*)*=V*中的一个元素,映射x口x*是一个单射,则维数相 同,知映射x-x*构成V到V*的一个线性同构 有时,人们为方便记,在dimV有限时会把空间Ⅳ**和V作一个等 同,也就是,把V*中的元素x*看成V中映射到的元素x。从这个 角度看,V和V*就是互为线性函数空间,这就是为什么人们将之叫 作对偶空间的缘故。 注意,这种等同关系只有有限维空间时才有,当V为无限维空间 时,x→x*只能是一个单射,从来不能会是一个满射
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÙV5. éóm éóm V ´ K þ5m§V ∗ ´Ùéóm§½ V ¥ þ x§½Â V ∗ ¼ê x ∗∗ Xeµ x ∗∗(f) = f(x), f ∈ V ∗" N´y x ∗∗ ´ V ∗ þ5¼ê§Ïd´ V ∗ éó m (V ∗ ) ∗ = V ∗∗ ¥§N x 7→ x ∗∗ ´ü§Kê Ó§N x 7→ x ∗∗ ¤ V V ∗∗ 5Ó" k§<BP§3 dim V k¬rm V ∗∗ Ú V Ó§Ò´§r V ∗∗ ¥ x ∗∗ w¤ V ¥N x"lù Ýw§V Ú V ∗ Ò´p5¼êm§ùÒ´o<ò éóm" 5¿§ù« Ó'Xkkmâk§ V Ãm §x 7→ x ∗∗ U´ü§l5ØU¬´÷"
双线性型 定义 设UV是数域K上的线性空间,g:U×V→K是一个映射,满 足g(u,-):V→K和g(-,):U→K对任意的u∈U和v∈V都 是线性映射,由称8是一个双线性型。这 里,g(u,-)()=g(u,):8(-,)(u)=g(u,) 如同线性函数,双线性型也是由它们的基来确定。 设1,…,lm是U的一组基,,,Un是V的一组 基,U尹l=k11+…+kmlm,V=l101+……+ln℃n,则 g(u, o)=8 Ek 24u,=22kg(u, u) =(lns)(g(l)回ls 8→(8(4;2)mxn构成所有双线性型空间到K上mxn矩阵空间的 一个双射
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÙV5. V5. V5. ½Â U, V ´ê K þ5m§g : U × V → K ´N§÷ v g (u, −) : V → K Ú g (−, v) : U → K é?¿ u ∈ U Ú v ∈ V Ñ ´5N§d¡ g ´V5."ù p§g (u, −) (v) = g (u, v)¶g (−, v) (u) = g (u, v)" XÓ5¼ê§V5.´d§Ä5(½" u1, . . . , um ´ U |ħv1, . . . , vn ´ V | ħU u = k1u1 + · · · + kmum§V v = l1v1 + · · · + lnvn§K g (u, v) = g m ∑ i=1 kiui , n ∑ j=1 ljvj ! = m ∑ i=1 n ∑ j=1 kig ui , vj lj = ([u]u ′s ) ′ g ui , vj [v] v ′s " g 7→ g ui , vj m×n ¤¤kV5.m K þ m × n Ý m V"
双线性型 如果i1,,m是U的另一组基,1,n是V的另一组 基,C=(C1,Cm)和D=(D1,,Dn)分别是 从l1,…,m到i1灬…,im、从υ1,…,四n到司1,…,n的过渡矩阵 则有 于是有 (a,2)=()g(un,)[=C(g(u)D (g( ai,Di)mxn=c(g(ui,in) 也就是说,在不同的基下,矩阵是相抵关系。 由于矩阵()m相抵于标准型(60,所以
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÙV5. V5. V5. XJ u˜ 1 , . . . , u˜m ´ U ,|ħv˜1 , . . . , v˜n ´ V ,| ħC = (C1, . . . , Cm) Ú D = (D1, . . . , Dn) ©O´ l u1, . . . , um u˜ 1, . . . , u˜m!l v1, . . . , vn v˜1, . . . , v˜n LÞÝ § Kk [u˜i ]u ′ s = Ci , v˜j u ′ s = Dj , u´k g u˜i , v˜j = ([u˜i ]u ′s ) ′ g ui , vj v˜j v ′s = C ′ i g ui , vj Dj , g u˜i , v˜j m×n = C ′ g ui , vj m×n D§ Ò´`§3ØÓÄe§Ý ´-'X" duÝ g ui , vj m×n -uIO. Ir 0 0 0 §¤±
双线性型 设g是U和V上的一个双线性型,则必存在1,……,lm是u的一组 基,U1灬…,Cn是V的一组基,及一个非负整数r≤min(m,n),使得 ≤i,j≤ 其它 此时,易 知L={u∈ulg(u,v) V)=C(ur+ {∈v|g(u,)=0,∈U}=C(℃r+1,…,n)。分别 称L和R为g的左根子空间和右根子空间,称r为g的秩。 显然,dimL=n-r,dimR=n-r。 当L=R={0}时,称g为一个非退化双线性型,此时 有m=n为8的秩。也就是说,8在一组基下对应的矩阵的秩等于其 行数,也等于其列数,即可逆
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÙV5. V5. V5. ½n g ´ U Ú V þV5.§K73 u1 , . . . , um ´ U | ħv1, . . . , vn ´ V |ħ9Kê r ≤ min (m, n)§¦ g ui , vj = δij§ 1 ≤ i, j ≤ r¶ 0§ Ù§ " d§´ L = {u ∈ U | g (u, v) = 0, ∀v ∈ V} = L (ur+1 , . . . , um)§R = {v ∈ V | g (u, v) = 0, ∀u ∈ U} = L (vr+1, . . . , vn)"©O ¡ L Ú R g fmÚmfm§¡ r g " w,§dim L = m − r§dim R = n − r" L = R = {0} §¡ g òzV5.§d k m = n g "Ò´`§g 3|ÄeéAÝ uÙ 1ê§ uÙê§=_"