复旦大学课程教学大纲 院系:航空航天系 日期:2019年02月 课程代码MATH20016 课程名称数学分析B(I),适用于一般教学、混合教学教学模式 英文名称 Mathematical Analysis B(I) 学分数5 周学时 5 授课语言 中文 课程性赝|口通识教育专项口核心课程口通识教育选修大类基础口专业必修口专业选修口其 微积分可谓理工类专业最最重要的数理基础课程之一,主要研究数列、一元 函数与向量值映射的极限行为,微积分不仅是后续数理课程的基础,而且自身就 为认识自然与非自然世界提供了系统的思想与方法。 为符合复旦大学争创世界一流大学的宏伟目标,本课程追求教学的广度与深 度可以类比国内外具有一流水平的教程的程度,追求优秀的教与学的成效。本课 程的教学特点以及建议的学习方式阐述如下,可供借鉴。 1.大学学习的特点 大学的数学相对于高中的数学似乎有一种从“静态”到“动态”的转变。特 别地,对于注重逻辑分析的数学分析,往往表现为在一种“指导思想”地引领下 步一步地“开展推演”,最终获得“不可思议”的结果。值得指出的是,引入不 同的条件、采用不同的技术路径可能获得不同的结论,尽管“不同”的结论都是 教学目的正确的,但对事物的认知“程度”却不尽相同,甚至可以相去甚远。由此,对于数 学分析的理解与掌握,并不在于具体的性质与定理,而是在于其分析问题的观点、 思想与方法。譬如,我们耳熟能详的在研究复杂事物中“抓住主要矛盾、忽略次要 矛盾”的思想,同样是数学分析的重要思想之一,而且有相当清晰与具体的实践 形式。大学里学习数学分析,甚至其它课程,都应该有一种从“注重结论”到“注 重过程”的转变,这种转变对于大学新生的确是一种考验,不少同学往往需要一个 学期甚至更长的适应期。但是,这一过程确实是“以培养能力为主要目的”的大学 学习的开端,大学新生应该珍惜这样的挑战并且尽快努力适应 2.知识体系的研究 我们将一门课程涉及的系统性思想与方法,称为知识体系。本课程涉及的知识 体系就是“一元微积分”。 知识点与知识要素以“知识点”分解“知识体系”,知识点为具有一定独立 性的知识(思想与方法)的集合。每一知识点再由若干“知识要素”组成,“知识
1 复旦大学课程教学大纲 院系: 航空航天系 日期: 2019 年 02 月 课程代码 MATH120016 课程名称 数学分析 B（Ⅰ），适用于一般教学、混合教学教学模式 英文名称 Mathematical Analysis B（Ⅰ） 学 分 数 5 周学时 5 授课语言 中文 课程性质 □通识教育专项□核心课程□通识教育选修☑大类基础□专业必修□专业选修□其 他 教学目的 微积分可谓理工类专业最最重要的数理基础课程之一，主要研究数列、一元 函数与向量值映射的极限行为，微积分不仅是后续数理课程的基础，而且自身就 为认识自然与非自然世界提供了系统的思想与方法。 为符合复旦大学争创世界一流大学的宏伟目标，本课程追求教学的广度与深 度可以类比国内外具有一流水平的教程的程度，追求优秀的教与学的成效。本课 程的教学特点以及建议的学习方式阐述如下，可供借鉴。 1. 大学学习的特点 大学的数学相对于高中的数学似乎有一种从“静态”到“动态”的转变。特 别地，对于注重逻辑分析的数学分析，往往表现为在一种“指导思想”地引领下， 一步一步地“开展推演”，最终获得“不可思议”的结果。值得指出的是，引入不 同的条件、采用不同的技术路径可能获得不同的结论，尽管“不同”的结论都是 正确的，但对事物的认知“程度”却不尽相同，甚至可以相去甚远。由此，对于数 学分析的理解与掌握，并不在于具体的性质与定理，而是在于其分析问题的观点、 思想与方法。譬如，我们耳熟能详的在研究复杂事物中“抓住主要矛盾、忽略次要 矛盾”的思想，同样是数学分析的重要思想之一，而且有相当清晰与具体的实践 形式。大学里学习数学分析，甚至其它课程，都应该有一种从“注重结论”到“注 重过程”的转变，这种转变对于大学新生的确是一种考验，不少同学往往需要一个 学期甚至更长的适应期。但是，这一过程确实是“以培养能力为主要目的”的大学 学习的开端，大学新生应该珍惜这样的挑战并且尽快努力适应。 2. 知识体系的研究 我们将一门课程涉及的系统性思想与方法，称为知识体系。本课程涉及的知识 体系就是“一元微积分”。 知识点与知识要素 以“知识点”分解“知识体系”，知识点为具有一定独立 性的知识（思想与方法）的集合。每一知识点再由若干“知识要素”组成，“知识
要素”可为特定的数学等式、不等式或者特定的处理思想与方法,亦称为“数学结 构 知识的通识化值得指出,隶属同一知识体系甚至不同知识体系的知识点可 能包含相同的知识要素,称为“数学通识”,如图所示。此外,知识体系之间亦可 能存在“相似结构”,如一元微分学]、高维微分学、赋范线性空间上微分学具有 高度相似的知识点构成,均包括:点列极限、映照极限、映照可微性、无限小增量 公式、有限增量公式、逆映照定理与隐映照定理,主要结论的分析思想与方法也具 有高度的统一性。 知识要素 知识要素 B1-1 知识要素 知识要素 知识要素 知识要素 知识点B1 BI-k 知识要素 「知识要素 知识要素 知识要素 知识要素 知识要素 知识要素 知识要素 知识体系 知识体系知识点B 知识要素 知识要素 知识要素知识要素 识要素 相同数学结构相同数学结构 数学通识 数学通识 知识要素 知识点Ap 知识要素 Ap-」 知识要素 知识要素 知识要素 知识要素 数学通识/相似结构:隶属同一知识体系或不同知识体系的知识点可能包含相同 的知识要素 数学通识与相似结构可为实现“同一知识体系之内的融会贯通”、“不同知识 体系之间的触类旁通”提供一种高成效的途径。值得指出,数学通识亦可服务于不 同课程之间的衔接。在我们的教学中注重突出“数学通识”,表现为由“结构”驱 动“结论”的知识体系发展方式,以此追求“温故而知新”的教与学的成效。 知识的方法化我们不应该学习就是为了考试、考试就是为了考试、考完基本 全忘记,而是应该将知识转化为认识世界的能力。就此我们建议将知识转化为方 法。所谓“方法”,指可以系统性解决一类问题的思路与做法,方法对于问题的处 理具有较为清晰的程序化流程。获得方法的基础在于对同类问题的本质的认识,我 们将“本质”称为“结构”。由于“相同的结构可以驱动不同的结论”,所以提炼 可处理一类问题的方法也在于认识由结构驱动结论的具体方式。基于方法可以将 知识转化为能力,表现为对所需研究的事物首先抽象为微积分等知识体系的研究 对象,然后利用对应的方法研究对应的性质,以期获得对所研究的事物的认识 知识的是思想化基于知识的方法化,可以进一步提炼方法的“驱动力” 思想。化繁为简、曲线救国、抓住主要矛盾忽略次要矛盾等我们耳熟能详的认知世 界的思想都在微积分中有着清晰而鲜明的表现。值得指出,在认识过程中相关思想
2 要素”可为特定的数学等式、不等式或者特定的处理思想与方法，亦称为“数学结 构”。 知识的通识化 值得指出，隶属同一知识体系甚至不同知识体系的知识点可 能包含相同的知识要素，称为“数学通识”，如图所示。此外，知识体系之间亦可 能存在“相似结构”，如一元微分学]、高维微分学、赋范线性空间上微分学具有 高度相似的知识点构成，均包括：点列极限、映照极限、映照可微性、无限小增量 公式、有限增量公式、逆映照定理与隐映照定理，主要结论的分析思想与方法也具 有高度的统一性。 数学通识/相似结构：隶属同一知识体系或不同知识体系的知识点可能包含相同 的知识要素 数学通识与相似结构可为实现“同一知识体系之内的融会贯通”、“不同知识 体系之间的触类旁通”提供一种高成效的途径。值得指出，数学通识亦可服务于不 同课程之间的衔接。在我们的教学中注重突出“数学通识”，表现为由“结构”驱 动“结论”的知识体系发展方式，以此追求“温故而知新”的教与学的成效。 知识的方法化 我们不应该学习就是为了考试、考试就是为了考试、考完基本 全忘记，而是应该将知识转化为认识世界的能力。就此我们建议将知识转化为方 法。所谓“方法”，指可以系统性解决一类问题的思路与做法，方法对于问题的处 理具有较为清晰的程序化流程。获得方法的基础在于对同类问题的本质的认识，我 们将“本质”称为“结构”。由于“相同的结构可以驱动不同的结论”，所以提炼 可处理一类问题的方法也在于认识由结构驱动结论的具体方式。基于方法可以将 知识转化为能力，表现为对所需研究的事物首先抽象为微积分等知识体系的研究 对象，然后利用对应的方法研究对应的性质，以期获得对所研究的事物的认识。 知识的是思想化 基于知识的方法化，可以进一步提炼方法的“驱动力”—— 思想。化繁为简、曲线救国、抓住主要矛盾忽略次要矛盾等我们耳熟能详的认知世 界的思想都在微积分中有着清晰而鲜明的表现。值得指出，在认识过程中相关思想
驱动方法的提炼与发展,而对方法的深入研究又可能催生新的思想,由此在学习过 程中应该是方法化与思想化互为促进的进程。 知识的图示化我们对于图形有着与生俱来的亲和性与认同感。由此,非常值 得进行知识体系的图示化研究,可以包括:①概念的图示化,指将一般以文字阐 述的概念与结论,通过图示进行表示,特别体现其几何、物理意义等。②结论的 图示化,类似于概念的图示化,指通过图示表示相关结论。③思想的图示化,指 通过图示表现相关思想。④分析的图示化,我们将复杂分析过程进行要义分解, 而对于要义的澄清可充分基于图示化澄清或揭示相关处理的“实质”;当然对于一 般的分析过程也可以充分利用图示表现“到底是怎么回事”。看书时往往会迷惑于 某句话、某一结构或者某种作法,对此往往可以在教学与学习中通过图示澄清缘 由,由此可有效地提升对基本思想与方法的学习效率。⑤方法的图示化,我们注 重归纳与提取可以解决一类问题的系统性方法。由此,在做练习时就“有章可循 初步实践“理论联系实践”,而不是“就为了做题目而做题目”,似乎“学习就为 了做题为了考试”。值得指出,学习期间通过做题可以理解、掌握并进一步优化所 归纳的方法,以此今后在工作上就有能力运用方法。⑥架构的图示化指基于框 图表示知识体系的知识点及其知识要素,就此可清晰呈现整个知识体系的脉络,包 括数学通识。在进行阶段性或者期末总结时可以利用知识体系架构既进行“查漏补 缺”,亦建立总体性的认识。 复杂分析过程的要义分解对于数学分析等数理方面的课程,初步学习时往 往会感到困难以至于“跟不上”,主要原因在于课堂上被一些推导或者结论“卡 住”,往往自己还在思考,教师已经涉及后续内容。就此可考虑“将复杂分析过程 分解为若千要义”,“要义”包括:①分析的总体思想与方法;②分析涉及的 基础性结论;③分析涉及的特定概念与技巧。讲授或学习时,首先澄清各个要义, 然后在进行整体性的分析。对于复杂分析过程进行要义分解,亦表示了对复杂事物 的认识过程与认识程度,需要尽量做到“正本清源”,揭示事物的本质 正本清源正本清源,指深入研究知识体系的自身发展“动力”—澄清各知 识点之间的关系,往往可基于共同的思想与方法发展各个知识点。教学中表现为知 识体系的发展更加符合正向思维,注重基于已有的知识发展新的知识,注重由结构 驱动结论。另一方面,强调正本清源亦可以帮助学生不断回顾已学的内容,有助于 获得对知识体系的全面认识。 格物致知指注重将数理知识体系密切联系与认识世界的过程。例如针对微积 分中对不定积分的分类,我们就可以从力学、物理学等实际研究中寻找各种分类所 对应的实际背景。教学中注重将“数学对象”联系与“物理现象”,不仅可以吸引 学生的注意力,而且为认识世界提供了有效的方式。值得指出,我们越来越发现, 具体事物的数学机制往往可以对应于同一类数学结构,世界的相似性也许可以追 溯为其对应的数学机制的相似性
3 驱动方法的提炼与发展，而对方法的深入研究又可能催生新的思想，由此在学习过 程中应该是方法化与思想化互为促进的进程。 知识的图示化 我们对于图形有着与生俱来的亲和性与认同感。由此，非常值 得进行知识体系的图示化研究，可以包括：① 概念的图示化，指将一般以文字阐 述的概念与结论，通过图示进行表示，特别体现其几何、物理意义等。② 结论的 图示化，类似于概念的图示化，指通过图示表示相关结论。③ 思想的图示化，指 通过图示表现相关思想。④ 分析的图示化，我们将复杂分析过程进行要义分解， 而对于要义的澄清可充分基于图示化澄清或揭示相关处理的“实质”；当然对于一 般的分析过程也可以充分利用图示表现“到底是怎么回事”。看书时往往会迷惑于 某句话、某一结构或者某种作法，对此往往可以在教学与学习中通过图示澄清缘 由，由此可有效地提升对基本思想与方法的学习效率。⑤ 方法的图示化，我们注 重归纳与提取可以解决一类问题的系统性方法。由此，在做练习时就“有章可循”， 初步实践“理论联系实践”，而不是“就为了做题目而做题目”，似乎“学习就为 了做题为了考试”。值得指出，学习期间通过做题可以理解、掌握并进一步优化所 归纳的方法，以此今后在工作上就有能力运用方法。⑥ 架构的图示化 指基于框 图表示知识体系的知识点及其知识要素，就此可清晰呈现整个知识体系的脉络，包 括数学通识。在进行阶段性或者期末总结时可以利用知识体系架构既进行“查漏补 缺”，亦建立总体性的认识。 复杂分析过程的要义分解 对于数学分析等数理方面的课程，初步学习时往 往会感到困难以至于“跟不上”，主要原因在于课堂上被一些推导或者结论“卡 住”，往往自己还在思考，教师已经涉及后续内容。就此可考虑“将复杂分析过程 分解为若干要义”，“要义”包括： ① 分析的总体思想与方法；② 分析涉及的 基础性结论；③ 分析涉及的特定概念与技巧。讲授或学习时，首先澄清各个要义， 然后在进行整体性的分析。对于复杂分析过程进行要义分解，亦表示了对复杂事物 的认识过程与认识程度，需要尽量做到“正本清源”，揭示事物的本质。 正本清源 正本清源，指深入研究知识体系的自身发展“动力”——澄清各知 识点之间的关系，往往可基于共同的思想与方法发展各个知识点。教学中表现为知 识体系的发展更加符合正向思维，注重基于已有的知识发展新的知识，注重由结构 驱动结论。另一方面，强调正本清源亦可以帮助学生不断回顾已学的内容，有助于 获得对知识体系的全面认识。 格物致知 指注重将数理知识体系密切联系与认识世界的过程。例如针对微积 分中对不定积分的分类，我们就可以从力学、物理学等实际研究中寻找各种分类所 对应的实际背景。教学中注重将“数学对象”联系与“物理现象”，不仅可以吸引 学生的注意力，而且为认识世界提供了有效的方式。值得指出，我们越来越发现， 具体事物的数学机制往往可以对应于同一类数学结构，世界的相似性也许可以追 溯为其对应的数学机制的相似性
《数学分析(I)》主要针对一元函数建立微分学与积分学,一元微分学主 要涉及:数列的极限、函数的极限、函数的导数、闭区间上连续函数的性质、无限 小增量公式、有限增量公式、函数局部行为研究、函数全局行为研究等;一元积分 基本内容学主要涉及: Riemann积分的定义、Rman积分的应用理论、 Riemann积 简介 分的分析理论、 Riemann积分的计算理论、广义积分,以及常微分方程基础等 具体内容请见教学内容安排部分。 基本要求 数学(数理知识体系)可理解为,按量化观点(包括定量与定性刻画),认识自然及非自 然世界系统的思想和方法。另一方面,对于数学作为的认识,取决于对数学自身的认识 按上述观点,对于《数学分析(Ⅰ)》课程,需要学生系统、深入地掌握以一元函数为基 本对象所开展的一元微分学与积分学,以及常微分方程基础,具体归纳为以下主要方法 1.数列极限的计算方法包括典型的分析方法(涉及分部估计、Abel和式估计等);引入无 穷小量的做法;处理带有和式的数列极限( Stolz定理、化为定积分);转为为函数极限处 理。 2.无限小分析方法主要为获得函数的局部高阶多项式逼近,以此可有效处理函数极限、数 列极限。方法主要包括基本初等函数的展开;技术性引理(逐项求导、逐项求积); Landau 符号的性质(表现为抓住主要矛盾忽略次要矛盾) 3.函数导数的计算方法包括充分性方法(四则运算、链式求导),涉及参数形式函数、隐 式定义函数的求导;极限分析方法(针对分段函数) 4.函数的定性作图方法用于定性绘制平面 Monge型曲线、一般参数曲线,涉及确定渐近 线、单调区间、凹凸区间等。 5.一致连续性的分析方法分为有界区间与无界区间上连续函数二类情形。有界区间上连续 函数的一致连续性的判定等同于判定函数是否可以连续延拓至边界点。 6.不定积分的计算方法包括基本方法(第一类换元法、第二类换元法、分部积分方法); 隶属有理化的换元法(涉及处理根式、三角函数的变换, Euler变换与Abel变换等);若 千基于结构的处理方法 7.定积分与广义积分的计算方法定积分的计算一般基于 Newton-Leibniz公式,就此需确 认原函数;广义积分的积分(认定收敛)一般先获得以积分限为自变量的函数,然后再取 极限;典型广义积分的计算,包括 Euler积分、 Froullani积分(涉及积分第一中值定理) 等。定积分与广义积分计算需要特别注意利用对称性 8.广义积分敛散性的分析方法可归纳判定绝对收敛性、自身收敛性、绝对发散性、发散性 的判定方法,按上述分析流程可获得对绝对收敛性、条件收敛性、发散性的判定。值得指 出,无限小分析方法在广义积分敛散性的判定中亦起到重要的作用
4 基本内容 简介 《数学分析（Ⅰ）》 主要针对一元函数建立微分学与积分学，一元微分学主 要涉及：数列的极限、函数的极限、函数的导数、闭区间上连续函数的性质、无限 小增量公式、有限增量公式、函数局部行为研究、函数全局行为研究等；一元积分 学主要涉及：Riemann 积分的定义、Riemann 积分的应用理论、Riemann 积 分的分析理论、Riemann 积分的计算理论、广义积分，以及常微分方程基础等。 具体内容请见教学内容安排部分。 基本要求:. 数学（数理知识体系）可理解为，按量化观点（包括定量与定性刻画），认识自然及非自 然世界系统的思想和方法。另一方面，对于数学作为的认识，取决于对数学自身的认识。 按上述观点，对于《数学分析（Ⅰ）》课程，需要学生系统、深入地掌握以一元函数为基 本对象所开展的一元微分学与积分学，以及常微分方程基础，具体归纳为以下主要方法： 1. 数列极限的计算方法 包括典型的分析方法（涉及分部估计、Abel 和式估计等）；引入无 穷小量的做法；处理带有和式的数列极限（Stolz 定理、化为定积分）；转为为函数极限处 理。 2. 无限小分析方法 主要为获得函数的局部高阶多项式逼近，以此可有效处理函数极限、数 列极限。方法主要包括基本初等函数的展开；技术性引理（逐项求导、逐项求积）；Landau 符号的性质（表现为抓住主要矛盾忽略次要矛盾）。 3. 函数导数的计算方法 包括充分性方法（四则运算、链式求导），涉及参数形式函数、隐 式定义函数的求导；极限分析方法（针对分段函数）。 4. 函数的定性作图方法 用于定性绘制平面 Monge 型曲线、一般参数曲线，涉及确定渐近 线、单调区间、凹凸区间等。 5. 一致连续性的分析方法 分为有界区间与无界区间上连续函数二类情形。有界区间上连续 函数的一致连续性的判定等同于判定函数是否可以连续延拓至边界点。 6. 不定积分的计算方法 包括基本方法（第一类换元法、第二类换元法、分部积分方法）； 隶属有理化的换元法（涉及处理根式、三角函数的变换，Euler 变换与 Abel 变换等）；若 干基于结构的处理方法。 7. 定积分与广义积分的计算方法 定积分的计算一般基于 Newton-Leibniz 公式，就此需确 认原函数；广义积分的积分（认定收敛）一般先获得以积分限为自变量的函数，然后再取 极限；典型广义积分的计算，包括 Euler 积分、Froullani 积分（涉及积分第一中值定理） 等。定积分与广义积分计算需要特别注意利用对称性。 8. 广义积分敛散性的分析方法 可归纳判定绝对收敛性、自身收敛性、绝对发散性、发散性 的判定方法，按上述分析流程可获得对绝对收敛性、条件收敛性、发散性的判定。值得指 出，无限小分析方法在广义积分敛散性的判定中亦起到重要的作用
9.获得不等式的方法(包括数型、函数型、积分型不等式)数型不等式可来源于函数的单 调性、凹凸性(包括 Young不等式,以此获得Hδlder不等式、 Minkowski不等式, 般形式的 Jensen不等式);函数型不等式可一般地归结于最值问题,特别地可基于单 调性。积分型不等式可源于对应的数型不等式(包括H6lder不等式、 Minkowski不等 式,一般形式的 Jensen不等式),基于凹凸性的 Hadamard不等式等;积分不等式亦 可联系于变动积分限的函数,并结合积分的相关等式与不等式。 10.函数全局行为的分析方法这方面的内容可以非常得广泛,需要结合问题的具体结构进行 分析。主要包括:利用微分中值定理(Role定理、 Lagrange中值定理、 Cauchy中值定 理)获得相关等式;结合有限增量公式与最值问题获得函数及其导数的界的估计;利用积 分第一与第二中值定理获得积分型等式与不等式等。 11.常微分方程的初步方法主要包括:一阶常微分方程的解法,涉及可分离变量情形、常数 变易法、 Bernoulli方程;二阶常微分方程的解法,涉及线性常系数齐次与非齐次方程的 解。 掌握上述各方法是本课程的基本要求,包括:(1)获得方法的分析过程;(2)基于方 法解决具体问题。值得指出,基于上述方法可以顺利地处理吉米多维奇著《数学分析习题集》 中约70-80%的题目。在逐步学习的基础上,鼓励对方法的归纳提出自己的意见与建议,以 期与教师一起进一步完善甚至发展方法。基于对方法的认识与理解,希冀实现方法至能力的 升华。 值得指出,是否掌握方法可以自我衡量是否达到了学习目标;是否能够独立处理作业文 件中的基础性习题可以自我检查是否掌握方法 授课方式 本课程教学实施“课程工程”,主要包括:在线资源、文本支持、实体课堂、研讨课、课程 讲座等五方面,概述如下 (1)在线资源 课程体系网站 微积分的一流化进程:htte:// fdipkc. fudan. edu.cn/d201353/ main. htm 本课程体系网站的建设基于微积分相关数理知识体系的研习,表现二方面:①知识体系 自身的研究,主要特征为基于“数学通识”实现同一知识体系内的融会贯通、不同知识体系之 间的触类旁通;②知识体系传播的研究,既包括研究高成效的传授方式,也包括通过组合相 关知识体系以建设相关课程。 本网站涉及的知识体系及其所属课程,如图13所示。 本课程体系网站,主要包括的栏目有 研究背景包括:“数理观点”;“教学理念与教学方式”;“知识体系与课程体系”;“课程教 师与合作专家
5 9. 获得不等式的方法（包括数型、函数型、积分型不等式） 数型不等式可来源于函数的单 调性、凹凸性（包括 Young 不等式，以此获得 H ö lder 不等式、Minkowskii 不等式， 一般形式的 Jensen 不等式）；函数型不等式可一般地归结于最值问题，特别地可基于单 调性。积分型不等式可源于对应的数型不等式（包括 H ö lder 不等式、Minkowskii 不等 式，一般形式的 Jensen 不等式），基于凹凸性的 Hadamard 不等式等；积分不等式亦 可联系于变动积分限的函数，并结合积分的相关等式与不等式。 10.函数全局行为的分析方法 这方面的内容可以非常得广泛，需要结合问题的具体结构进行 分析。主要包括：利用微分中值定理（Rolle 定理、Lagrange 中值定理、Cauchy 中值定 理）获得相关等式；结合有限增量公式与最值问题获得函数及其导数的界的估计；利用积 分第一与第二中值定理获得积分型等式与不等式等。 11.常微分方程的初步方法 主要包括：一阶常微分方程的解法，涉及可分离变量情形、常数 变易法、Bernoulli 方程；二阶常微分方程的解法，涉及线性常系数齐次与非齐次方程的 求解。 掌握上述各方法是本课程的基本要求，包括：（1）获得方法的分析过程；（2）基于方 法解决具体问题。值得指出，基于上述方法可以顺利地处理吉米多维奇著《数学分析习题集》 中约 70-80%的题目。在逐步学习的基础上，鼓励对方法的归纳提出自己的意见与建议，以 期与教师一起进一步完善甚至发展方法。基于对方法的认识与理解，希冀实现方法至能力的 升华。 值得指出，是否掌握方法可以自我衡量是否达到了学习目标；是否能够独立处理作业文 件中的基础性习题可以自我检查是否掌握方法。 授课方式: 本课程教学实施“课程工程”，主要包括：在线资源、文本支持、实体课堂、研讨课、课程 讲座等五方面，概述如下： （1）在线资源 课程体系网站： 微积分的一流化进程：http://fdjpkc.fudan.edu.cn/d201353/main.htm 本课程体系网站的建设基于微积分相关数理知识体系的研习，表现二方面：① 知识体系 自身的研究，主要特征为基于“数学通识”实现同一知识体系内的融会贯通、不同知识体系之 间的触类旁通；② 知识体系传播的研究，既包括研究高成效的传授方式，也包括通过组合相 关知识体系以建设相关课程。 本网站涉及的知识体系及其所属课程，如图 13 所示。 本课程体系网站，主要包括的栏目有： 研究背景 包括：“数理观点”；“教学理念与教学方式”；“知识体系与课程体系”；“课程教 师与合作专家
体系讲稿主要按知识体系发布对应的讲稿,包括“ Euclid空间上微积分”,“微分流形上 微积分”,“赋范线性空间上微分学”,“测度论”,“泛函分析”。后二个目录尚在建设中 教学视颜主要按知识体系发布对应的教学视频,包括:一元微分学,一元积分学;常微 分基础;高维微分学(基础层面、高级层面、应用事例),高维积分学(基础层面、高级层面、 应用事例),级数;流形上微分学,流形上积分学;赋范线性空间上微分学;测度理论,可测 函数,积分理论;度量空间,内积空间; Sobolev空间; Fourier分析;渐近分析。测度论、 泛函分析部分尚在建设中。 课程建设通过组合相关知识体系建设相关课程,包括:“数学分析”(一年制),“经典力 学数学名著选讲”(有关微积分的深化);“流形上的微积分”,“应用实变函数与泛函分析基础” (本科生与研究生共享课程)。对于每一课程,包括子栏目:知识体系、教学大纲、试卷习题、 教与学研究、开设信息。 教学研究综合性包括:“阶段总结”;“杂志论文(含原稿)”,“会议论文(含原稿)”;“学 术报告(含随笔)”;“教改项目” 图示研究致力于将数理知识体系中重要的概念、复杂的分析过程进行图示化说明。图示 化研究成果源于并服务于知识体系自身的研究,亦隶属并服务于知识体系传播的研究。按知识 体系建设相关目录,包括:“ Euclid空间上微积分”,“微分流形上微积分”;“赋范线性空间上 微分学”;“测度论”;“泛函分析”。目前主要涉及“ Euclid空间上微积分”的图示化研究,其 它的均在建设中。 通识研究隶属同一知识体系或者不同知识体系的知识点可能含有相同的“数学通识” 一特定的数学等式、不等式或者特定的处理方式方法;基于“数学通识”可实现同一知识体系 之间的“融会贯通”,不同知识体系之间的“触类旁通”。本栏目设计为按知识体系划分子目录 以分别进行通识性结构的研究,并在对应的子栏目下涉及跨知识体系的通识性结构的研究。本 栏目持续性建设中。 现课程体系网站上已经有完全可以用以自主学习的课程视频(按知识点与知识要素进行剪 辑)。《数学分析B(I)》涉及:一元微分学、一元积分学、常微分方程基础的二个层面的视 频:(1)基础性层面,可供首次学习使用;(2)提高性层面,按基本内容、方法化、应用化进 行各类,适合在一定学习的基础上使用。 结合现有课程体系网站上的系统视频,学生可以课前先进行自学;课堂讲授无需再重复所 有的“细枝末节”,而是强化思想性、强化通识性、澄清复杂性、强化方法性,并且课堂形式 可以增加师生间的互动,提高课堂的翻转性 对应数学分析的混合教学,基于复旦大学在线课程网站 htp:// fudan. mooc chaoxing. com/ portal的在线课程《数学分析 元微积分》 http://moocl1.chaoxing.com/course/99372139.htm 现在线课程提供的主要学习资料为 課程录像分为随堂录像与概述录像二部分:①随堂录像,即为课程体系网站上的视频
6 体系讲稿 主要按知识体系发布对应的讲稿，包括“Euclid 空间上微积分”，“微分流形上 微积分”，“赋范线性空间上微分学”，“测度论”，“泛函分析”。后二个目录尚在建设中。 教学视频 主要按知识体系发布对应的教学视频，包括：一元微分学，一元积分学；常微 分基础；高维微分学（基础层面、高级层面、应用事例），高维积分学（基础层面、高级层面、 应用事例），级数；流形上微分学，流形上积分学；赋范线性空间上微分学；测度理论，可测 函数，积分理论；度量空间，内积空间；Sobolev 空间；Fourier 分析；渐近分析。测度论、 泛函分析部分尚在建设中。 课程建设 通过组合相关知识体系建设相关课程，包括：“数学分析”（一年制），“经典力 学数学名著选讲”（有关微积分的深化）；“流形上的微积分”，“应用实变函数与泛函分析基础” （本科生与研究生共享课程）。对于每一课程，包括子栏目：知识体系、教学大纲、试卷习题、 教与学研究、开设信息。 教学研究 综合性包括：“阶段总结”；“杂志论文（含原稿）”，“会议论文（含原稿）”；“学 术报告（含随笔）”；“教改项目”。 图示研究 致力于将数理知识体系中重要的概念、复杂的分析过程进行图示化说明。图示 化研究成果源于并服务于知识体系自身的研究，亦隶属并服务于知识体系传播的研究。按知识 体系建设相关目录，包括：“Euclid 空间上微积分”，“微分流形上微积分”；“赋范线性空间上 微分学”；“测度论”；“泛函分析”。目前主要涉及“Euclid 空间上微积分”的图示化研究，其 它的均在建设中。 通识研究 隶属同一知识体系或者不同知识体系的知识点可能含有相同的“数学通识”— —特定的数学等式、不等式或者特定的处理方式方法；基于“数学通识”可实现同一知识体系 之间的“融会贯通”，不同知识体系之间的“触类旁通”。本栏目设计为按知识体系划分子目录 以分别进行通识性结构的研究，并在对应的子栏目下涉及跨知识体系的通识性结构的研究。本 栏目持续性建设中。 现课程体系网站上已经有完全可以用以自主学习的课程视频（按知识点与知识要素进行剪 辑）。《数学分析 B（Ⅰ）》涉及：一元微分学、一元积分学、常微分方程基础的二个层面的视 频：（1）基础性层面，可供首次学习使用；（2）提高性层面，按基本内容、方法化、应用化进 行各类，适合在一定学习的基础上使用。 结合现有课程体系网站上的系统视频，学生可以课前先进行自学；课堂讲授无需再重复所 有的“细枝末节”，而是强化思想性、强化通识性、澄清复杂性、强化方法性，并且课堂形式 可以增加师生间的互动，提高课堂的翻转性。 对应数学分析的混合教学，基于复旦大学在线课程网站 http://fudan.mooc.chaoxing.com/portal 的在线课程《数学分析——一元微积分》 http://moocl1.chaoxing.com/course/99372139.html 现在线课程提供的主要学习资料为： 课程录像 分为随堂录像与概述录像二部分：① 随堂录像，即为课程体系网站上的视频
按课程进度进行学习。②概述录像,注重整体性阐述相关思想与方法,应用于阶段性学习。 一般而言,经过二至三次的学习可以理解与掌握数学分析的基本思想与方法。学习视频,一般 对应于随堂录像,观看此类视频,并结合学习目的中所列的要点掌握基本的概念、思想与方法。 学习讲稿为在线PDF文本,包括已出版教材《微积分讲稿 元微积分》的主要内 容。学习讲稿,主要包括:①阐述概念、思想与方法,基本对应于课程录像的内容。②典型 事例,往往首先为解答一类问题提供方法,然后给出代表性事例的解答。在学习概念、思想与 方法之后,学习典型事例的解答。 基础练习为在线PDF文本。在学习讲稿的基础上,进行相关练习。有些章节的练习将分 为二部分:①基础性练习基于所归纳方法,可以较为轻松地解答这部分练习,作为对相关思 想与方法最为初步的理解。这部分练习往往要求全部完成。②提高性练习这部分练习涉及较 为深入的分析方法或者练习于其它知识体系。解答这部分问题往往需要一定的思考,可以多次 考虑相关问题。这部分练习可以结合自己的实际情况进行选择 图示化研究我们将微积分中的概念、思想、结论、分析、方法进行图示化。在完成学习 视频、学习讲稿、基础练习的基础上,学习图示化研究的有关内容,以期总体性理解与掌握相 关思想与方法。另有,知识体系架构的图示化,以此一方面可以检查哪些内容已掌握、哪些内 容尚需掌握,另一方面可以总体性研究各知识要点之间的关系。 基于在线资源(课程体系网站与在线课程),我们将课堂的功能分为二个递进性层面: ①基础性讲授(基本层面)基于我们现有的对知识体系知识及其传播的研究,系统且清 晰地讲授相关思想与方法。这种类型的教学视频可供学生初始的自习 ②提高性讲授(高级层面)学生事先学习了基础性层面的教学视频,就此课堂讲授不再 是强调与重复所有的“细枝末节”,而是强化思想性、强化通识性、澄清复杂性、强化方法性, 并且课堂形式可以增加师生间的互动,提高课堂的翻转性
7 按课程进度进行学习。② 概述录像，注重整体性阐述相关思想与方法，应用于阶段性学习。 一般而言，经过二至三次的学习可以理解与掌握数学分析的基本思想与方法。学习视频，一般 对应于随堂录像，观看此类视频，并结合学习目的中所列的要点掌握基本的概念、思想与方法。 学习讲稿 为在线 PDF 文本，包括已出版教材《微积分讲稿—— 一元微积分》的主要内 容。学习讲稿，主要包括：① 阐述概念、思想与方法，基本对应于课程录像的内容。② 典型 事例，往往首先为解答一类问题提供方法，然后给出代表性事例的解答。在学习概念、思想与 方法之后，学习典型事例的解答。 基础练习 为在线 PDF 文本。在学习讲稿的基础上，进行相关练习。有些章节的练习将分 为二部分：① 基础性练习 基于所归纳方法，可以较为轻松地解答这部分练习，作为对相关思 想与方法最为初步的理解。这部分练习往往要求全部完成。② 提高性练习 这部分练习涉及较 为深入的分析方法或者练习于其它知识体系。解答这部分问题往往需要一定的思考，可以多次 考虑相关问题。这部分练习可以结合自己的实际情况进行选择。 图示化研究 我们将微积分中的概念、思想、结论、分析、方法进行图示化。在完成学习 视频、学习讲稿、基础练习的基础上，学习图示化研究的有关内容，以期总体性理解与掌握相 关思想与方法。另有，知识体系架构的图示化，以此一方面可以检查哪些内容已掌握、哪些内 容尚需掌握，另一方面可以总体性研究各知识要点之间的关系。 基于在线资源（课程体系网站与在线课程），我们将课堂的功能分为二个递进性层面： ① 基础性讲授（基本层面） 基于我们现有的对知识体系知识及其传播的研究，系统且清 晰地讲授相关思想与方法。这种类型的教学视频可供学生初始的自习。 ② 提高性讲授（高级层面） 学生事先学习了基础性层面的教学视频，就此课堂讲授不再 是强调与重复所有的“细枝末节”，而是强化思想性、强化通识性、澄清复杂性、强化方法性， 并且课堂形式可以增加师生间的互动，提高课堂的翻转性
由结构驱动结论 “新”的内容 正本清源 需“会裸漂 追求“触类旁通 数学机制 基础性讲授 各物致知 物理机制 (基础层面 适用于在线 堂录像 念的图示化 图示化研究 分析的图示化 结论的图示化 复杂过程的要义分解 讲授剧本 果堂的功能 课堂讲授 彩色粉笔使用约定 二个递进性层面 板书研究 逻辑记号使用约定 图示化表述 念分析结论 强化思想性 由结构驱动结论 强化通识性 数学机制与 易混淆的认识 提高性讲授 澄清复杂性 复杂的分析过程 基于学生 课前自学 强化方法性 特定结构或处理的 师生间互动 学生与学生 课堂的功能(二个递进性层面〕:基础性讲授(基础层面)、提高性讲授(高级层面
8 课堂的功能（二个递进性层面）：基础性讲授（基础层面）、提高性讲授（高级层面）
视频:随堂讲授 初步与同步学习 按知识点或知识要素 初始阶段 文本:章节学习目的 初步与同步学习 按知识点或知识要素 初始阶段 课程教程 陈纪修等《数学分析》 文本:理论与事例 初步与同步学习 按知识点或知识要素 初始阶段 辅助教程 《微积分讲稿一一元微积分》 《微积分讲稿一高维微积分》 《微积分讲稿一高等微积分》 图示:图示化研究 初步与同步学习 定义、结论、分析的图示 初始阶段 文本:基础性习题 初步与同步学习 按知识点或知识要素 初始阶段 视频:概要性讲授 阶段性回顾 思想与方法 中间阶段 图示:数学通识 综合性回顾与总结 融会贯通、触类旁通 高级阶段 文本:深化与拓广内容 深化与拓广 深化习题或专题研究 高级阶段 在线课程各章节的内容架构,对应于学习路径
9 在线课程各章节的内容架构，对应于学习路径
(2)文本支持 分以下方面 主要教程现已正式出版《微积分讲稿——一元微积分》,按知识点进行划分(章)。每 章含有知识要素,阐述思想与方法;应用事例,分类给出典型问题的处理方法;拓广深化,主 要将相关思想与方法联系于其它课程。①《讲稿》适合配合教学视频进行学习,鉴于数学分 析的教与学的程度,事先务必先学习知识要素部分。②课程讲授后,可以基于应用事例学习 具体方法的应用,然后再进行练习。⑧③《讲稿》拓广深化部分,适合在一定的学习基础上参 阅 习题文件本课程按相关内容提供习题文件,主要包括:①基础性习题,本部分习题基于 课程讲授的思想与方法就可以较为顺利地进行,主要目的在于理解与熟练相关方法的应用。② 提高性习题,较为深入的习题,以此可以加深认识、拓广技艺。 硏讨日志主要整理研讨课(包括习题课)中讲述的思想、方法、习题与解答 (3)实体课堂 每周一个下午进行集中性讲授与研讨。实体教学,追求在方法论层面传授思想与方法,亦 即提高性讲授(高级层面),如图“课堂的功能”所示。就此首先需要深入研究知识体系的内 在结构,然后再研究其传播形式。课堂讲解上注重三个方面的提升 通识化基于已有知识发展新的知识,提炼不同知识点的内在相似性(数学通识) 图示化概念、结论、分析过程的图形表示,再复杂与精妙的内容也能经过要义分解并且 将本质用图形表示,以此理解与认识上清清楚楚、简简单单 方法化归纳可适用一类问题的程序化且有效的解决路径,籍此实现方法至能力的升华 (4)研讨课 按课程人数进行分组,每位同学每周参加一次研讨课(2至2个半小时)。研讨课每周安 排2-3次,时间与同学们协调,每周研讨课的内容错开,整理有《研讨课日志》,每位同学每 周参加一次,再自学其它时段的研讨课记录。另安排有习题课,隔周周末进行,每次三小时 (5)课程讲座 每学期进行三次课程讲座,按内容进行:微分学、积分学、综合性讲座各一次。 主讲教师简介 学术上,注重以知识体系研究为基础,藉此驱动教学与科研工作。相对地,教学与科研的 提升不断地要求更为深入的知识体系,同时也积累且深化了基于知识体系认知世界的经验 教学方面注重以知识点及知识要素构建知识体系;注重通过数学通识实现同一知识体系 的融会贯通以及不同知识体系之间的触类旁通;注重以知识体系认知世界的过程,基于已有的 知识发展新知识的过程进行课程讲述。目前建设有“微积分的一流化进程”以及“现代连续介 质力学理论及实践”二条教学路径 微积分的一流化进程 http://fdjpkc.fudan.edu.cn/d201353/main.htm
10 （2）文本支持 分以下方面： 主要教程 现已正式出版《微积分讲稿——一元微积分》，按知识点进行划分（章）。每 章含有知识要素，阐述思想与方法；应用事例，分类给出典型问题的处理方法；拓广深化，主 要将相关思想与方法联系于其它课程。① 《讲稿》适合配合教学视频进行学习，鉴于数学分 析的教与学的程度，事先务必先学习知识要素部分。② 课程讲授后，可以基于应用事例学习 具体方法的应用，然后再进行练习。③ 《讲稿》拓广深化部分，适合在一定的学习基础上参 阅。 习题文件 本课程按相关内容提供习题文件，主要包括：① 基础性习题，本部分习题基于 课程讲授的思想与方法就可以较为顺利地进行，主要目的在于理解与熟练相关方法的应用。② 提高性习题，较为深入的习题，以此可以加深认识、拓广技艺。 研讨日志 主要整理研讨课（包括习题课）中讲述的思想、方法、习题与解答。 （3）实体课堂 每周一个下午进行集中性讲授与研讨。实体教学，追求在方法论层面传授思想与方法，亦 即提高性讲授（高级层面），如图“课堂的功能”所示。就此首先需要深入研究知识体系的内 在结构，然后再研究其传播形式。课堂讲解上注重三个方面的提升： 通识化 基于已有知识发展新的知识，提炼不同知识点的内在相似性（数学通识） 图示化 概念、结论、分析过程的图形表示，再复杂与精妙的内容也能经过要义分解并且 将本质用图形表示，以此理解与认识上清清楚楚、简简单单 方法化 归纳可适用一类问题的程序化且有效的解决路径，籍此实现方法至能力的升华 （4）研讨课 按课程人数进行分组，每位同学每周参加一次研讨课（2 至 2 个半小时）。研讨课每周安 排 2-3 次，时间与同学们协调，每周研讨课的内容错开，整理有《研讨课日志》，每位同学每 周参加一次，再自学其它时段的研讨课记录。另安排有习题课，隔周周末进行，每次三小时。 （5）课程讲座 每学期进行三次课程讲座，按内容进行：微分学、积分学、综合性讲座各一次。 主讲教师简介: 学术上，注重以知识体系研究为基础，藉此驱动教学与科研工作。相对地，教学与科研的 提升不断地要求更为深入的知识体系，同时也积累且深化了基于知识体系认知世界的经验。 教学方面 注重以知识点及知识要素构建知识体系；注重通过数学通识实现同一知识体系 的融会贯通以及不同知识体系之间的触类旁通；注重以知识体系认知世界的过程，基于已有的 知识发展新知识的过程进行课程讲述。目前建设有“微积分的一流化进程”以及“现代连续介 质力学理论及实践”二条教学路径： 微积分的一流化进程 http://fdjpkc.fudan.edu.cn/d201353/main.htm