复旦大学课程教学大纲 院系:航空航天系 日期:2019年03月 课程代码|MATH120017 课程名称数学分析B(Ⅱ),适用于混合教学班级 英文名称 Mathematical Analysis B(Ⅱ) 学分数5 周学时 5 授课语言 中文 课程性赝|口通识教育专项口核心课程口通识教育选修大类基础口专业必修口专业选修口其 高维微积分的主要研究对象为向量值映照,相对于一元函数(自变量与因变 量均为一个数),向量值映照的自变量与因变量都可以是有限个数,由此高维微 积分提供的思想与方法具有广泛的背景,并且是后续诸多数理与专业课程的坚实 基础。从高维微积分的学习开始,就应该注重逐步建立自己的数理知识体系。本 课程追求教学的广度与深度可以类比国内外具有一流水平的教程的程度,追求优 秀的教与学的成效。 1.课程广度、深度与理念的一流化 11一流化知识体系的课程分布 研习当今具有国内外一流水平的微积分教程,以我国北大张筑生著《数学分析 新讲》俄罗斯卓里奇著《 Mathematical Analysis》等为代表,此处的“一流化 可以表征为以下特点:(1)在讲述一元微分学基础上(第一学期),多元微分学则 直接建立在有限维 Euclid空间之间向量映照之上。卓里奇书还进一步讲述一般赋 教学目的 范线性空间之间映照的微分学;(2)在讲述一元函数 Riemann积分的基础上(第 一学期),多元积分学则沿用有限维 Eucild空间上 Lebesgue积分建立的思想和 方法,甚至直接进行。(3)基于有限维 Euclid空间之间微分同胚的知识,发展微 分流形上的微积分。 上述一流化做法的必要性及可行性,可归纳如下: 令必要性。(1)建立于有限维 Euclid空间之间映照的微积分以及一般赋范线性 空间之间映照的微分学将真正全面地展现微积分在认识自然及非自然世界中 的作为;相关的系统思想及方法不仅为力学、物理学等广大基础科学和技术科 学而且也为经济管理等学科提供深厚的知识基础。(2)讲述一般赋范线性空 间之间映照的微分学,有限维 Euclid空间上 Lebesgue积分建立的基本思想 和方法,为进一步研习测度论以及泛函分析做了十分有益的铺垫;有限维 Euclid空间中微分流形的初步理论为今后研习现代数学、力学、物理以及数 理经济等较为高深的学问(相关系统思想及方法的集合)提供必要的基础。需
1 复旦大学课程教学大纲 院系: 航空航天系 日期: 2019 年 03 月 课程代码 MATH120017 课程名称 数学分析 B（Ⅱ），适用于混合教学班级 英文名称 Mathematical Analysis B（Ⅱ） 学 分 数 5 周学时 5 授课语言 中文 课程性质 □通识教育专项□核心课程□通识教育选修☑大类基础□专业必修□专业选修□其 他 教学目的 高维微积分的主要研究对象为向量值映照，相对于一元函数（自变量与因变 量均为一个数），向量值映照的自变量与因变量都可以是有限个数，由此高维微 积分提供的思想与方法具有广泛的背景，并且是后续诸多数理与专业课程的坚实 基础。从高维微积分的学习开始，就应该注重逐步建立自己的数理知识体系。本 课程追求教学的广度与深度可以类比国内外具有一流水平的教程的程度，追求优 秀的教与学的成效。 1．课程广度、深度与理念的一流化 1.1 一流化知识体系的课程分布 研习当今具有国内外一流水平的微积分教程，以我国北大张筑生著《数学分析 新讲》、俄罗斯卓里奇著《Mathematical Analysis》等为代表，此处的“一流化” 可以表征为以下特点：（1）在讲述一元微分学基础上（第一学期），多元微分学则 直接建立在有限维 Euclid 空间之间向量映照之上。卓里奇书还进一步讲述一般赋 范线性空间之间映照的微分学；（2）在讲述一元函数 Riemann 积分的基础上（第 一学期），多元积分学则沿用有限维 Eucild 空间上 Lebesgue 积分建立的思想和 方法，甚至直接进行。（3）基于有限维 Euclid 空间之间微分同胚的知识，发展微 分流形上的微积分。 上述一流化做法的必要性及可行性，可归纳如下： 必要性。（1）建立于有限维 Euclid 空间之间映照的微积分以及一般赋范线性 空间之间映照的微分学将真正全面地展现微积分在认识自然及非自然世界中 的作为；相关的系统思想及方法不仅为力学、物理学等广大基础科学和技术科 学而且也为经济管理等学科提供深厚的知识基础。（2）讲述一般赋范线性空 间之间映照的微分学，有限维 Euclid 空间上 Lebesgue 积分建立的基本思想 和方法，为进一步研习测度论以及泛函分析做了十分有益的铺垫；有限维 Euclid 空间中微分流形的初步理论为今后研习现代数学、力学、物理以及数 理经济等较为高深的学问（相关系统思想及方法的集合）提供必要的基础。需
指出,随着我们所研究事务的复杂度的提高,测度论以及泛函分析、微分流形 等基本思想和方法是我们研究和认识复杂事务所必然需要的 可行性。(1)一元微分学(面对一般实函数)建立的思想和方法,可很大程度 地直接应用于有限维 Euclid空间之间映照;而有限维 Euclid空间之间映照 的微分学建立几乎可以“一模一样”的应用于一般赋范线性空间之间映照的微 分学的建立。由此,我们可以将新知识的学习过程作为“温故而知新”的过程。 (2)有限维 Euclid空间中微分流形的初步理论实质性地基于微分同胚的相 应结论,由此我们又可以实践“温故而知新”的过程。 《数学分析B》(上) 一元微积分 6学时必修 《数学分析B》(下) 高维微积分 6学时必修 知识体系/课程体系 微积分的一流化 赋范线性空间上微分学 《经典力学数学名著选讲》 2学时选修 微分流形上微积分 《流形上的微积分》 2学时选修 测度论与泛函分析 《应用实变函数与泛函分析 微积分的一流化进程”涉及的知识体系及其所属课程 按上所述,我们对“具有一流化的微积分的知识体系”的追求对于今后高层次 的学习以及研究等具有基础性的深远作用。在明确目标后,结合复旦现有的课程及 其学分设置,我们设想了“微积分一流化进程”的教学路径,现研究及实践的主要 内容如上图所示:①大学一年级必修“数学分析”,主要涉及 Euclid空间上微积 分→②大一暑期选修课程《经典力学数学名著选讲》(有关微积分的深化),主 要包括一般赋范空间上微分学,高维 Euclid空间上微积分的深化内容(包括秩定 理、 Morse定理、 Euclid空间中微分流形的初步理论等)→③大二、三选修 课程《流形上的微积分》,④《应用实变函数论与泛函分析基础》等,使得相关教 学的深度和广度能持平甚至超越国内外一流的微积分或数学分析的教程,如俄罗 斯数学教材选译之一的卓里奇箸《 Mathematical Analysis》。此教材被Wolf奖 获得者 V.I. Arnold誉为迄今为止最好的现代分析学教程,极力体现现代化的知识 体系及其在认识自然及非自然世界中的作用。 1.2数学通识——各课程间融会贯通与触类旁通的纽带 追求正本清源,不断加深各课程知识体系间的关系,有助于“融会贯通、触 类旁通”,切实加深对各课程所提供的知识的理解。一定程度上,知识体系应该 是由核心思想向外辐射,数理知识体系1的核心可谓微积分及线性代数。 事例1:微积分核心思想:动态逼近程度的刻画(点列极限)→整个微积分 体系的发展(包括导数、积分、级数)。学生学习微积分,仅需依赖极限这一唯 的核心概念,导数是一种特定的极限,积分、级数也是特定的极限,这些知识 1可以理解为:微积分+线性代数→常微分方程,偏微分方程;复变函数;概率统计等知识体系。此知识 体系,力学、数学、物理等理工专业均涉及,仅是要求程度有所不同
2 指出，随着我们所研究事务的复杂度的提高，测度论以及泛函分析、微分流形 等基本思想和方法是我们研究和认识复杂事务所必然需要的。 可行性。（1）一元微分学（面对一般实函数）建立的思想和方法，可很大程度 地直接应用于有限维 Euclid 空间之间映照；而有限维 Euclid 空间之间映照 的微分学建立几乎可以“一模一样”的应用于一般赋范线性空间之间映照的微 分学的建立。由此，我们可以将新知识的学习过程作为“温故而知新”的过程。 （2）有限维 Euclid 空间中微分流形的初步理论实质性地基于微分同胚的相 应结论，由此我们又可以实践“温故而知新”的过程。 “微积分的一流化进程”涉及的知识体系及其所属课程 按上所述，我们对“具有一流化的微积分的知识体系”的追求对于今后高层次 的学习以及研究等具有基础性的深远作用。在明确目标后，结合复旦现有的课程及 其学分设置，我们设想了“微积分一流化进程”的教学路径，现研究及实践的主要 内容如上图所示：① 大学一年级必修“数学分析”，主要涉及 Euclid 空间上微积 分 → ② 大一暑期选修课程《经典力学数学名著选讲》（有关微积分的深化），主 要包括一般赋范空间上微分学，高维 Euclid 空间上微积分的深化内容（包括秩定 理、Morser 定理、Euclid 空间中微分流形的初步理论等） → ③ 大二、三选修 课程《流形上的微积分》，④《应用实变函数论与泛函分析基础》等，使得相关教 学的深度和广度能持平甚至超越国内外一流的微积分或数学分析的教程，如俄罗 斯数学教材选译之一的卓里奇箸《Mathematical Analysis》。此教材被 Wolf 奖 获得者 V.I.Arnold 誉为迄今为止最好的现代分析学教程，极力体现现代化的知识 体系及其在认识自然及非自然世界中的作用。 1.2 数学通识——各课程间融会贯通与触类旁通的纽带 追求正本清源，不断加深各课程知识体系间的关系，有助于“融会贯通、触 类旁通”，切实加深对各课程所提供的知识的理解。一定程度上，知识体系应该 是由核心思想向外辐射，数理知识体系1的核心可谓微积分及线性代数。 事例 1：微积分核心思想：动态逼近程度的刻画（点列极限）→整个微积分 体系的发展（包括导数、积分、级数）。学生学习微积分，仅需依赖极限这一唯 一的核心概念，导数是一种特定的极限，积分、级数也是特定的极限，这些知识 1 可以理解为：微积分＋线性代数→常微分方程，偏微分方程；复变函数；概率统计等知识体系。此知识 体系，力学、数学、物理等理工专业均涉及，仅是要求程度有所不同
学习体现“温故而知新”的效果,而非总是在不断地学习“全新”的内容,有助 于加深认识 事例2:基于有限维 Euclid空间之间微分同胚理解张量分析中的曲线坐标 系,从参数区域至物理区域间向量值映照的 Jacobi阵直接给出局部协变基→基 于非奇异阵其逆阵的唯一存在性,获得协变基之对偶基(亦即逆变基)的唯一存 在性→基于向量值映照其 Jacobi阵的每列即为此向量值相对于相应曲线坐标的 变化率,导出 Christoffer号的意义及其计算式等—教学实践表明,简单应 用有限维 Euclid空间之间映照的微分学可对力学中广泛应用的曲线坐标系的基 本概念给予十分清晰的阐述。 事例3:基于线性代数中“同时对角化”的结论,亦即存在非奇异阵,可将 一个对称正定阵和对称阵同时分别合同于单位阵和对角阵。这一常作为习题的结 论,其构造性证明过程以及相关线性变化的意义(在力学实践中有着明确的意 义),可以系统清晰地定义曲面的 Gauss曲率、平均曲率并获得相关基本性 质。理论力学课程中,藉上述同时对角化的结论,可以清晰推导保守系统在平衡 位置附近作微振动时所具有的数学性质及其力学解释。 事例4:基于有限维 Euclid空间之间映照的微分学,结合矩阵基本运算, 可以完整清晰地推导微积分中的 Stokes公式。最终结果的获得,基于一个三阶 反对称阵左乘一个列向量等于此反对称阵对应对偶向量叉乘此列向量,这一熟 悉、简单的数学性质。理论力学中,又是藉此数学性质,获得任意运动向量相对 于绝对坐标系和运动坐标系关于时间变化率之间的基本关系,此种关系的一个基 本应用就是速度、加速度合成关系式的推导。由此可见,上述简单的数学性质可 能就是“刚性旋转”的共有数学机制。 我们生活的世界丰富多彩,但上帝可能就拿一样东西创造了这些,这就是 数学机制”,反映为某种数学关系式。课程中的定理或性质可能并不是归纳程 度最高的东西,更高的会有上述数学机制,往往可以跨课程,甚至跨学科。我们 将上述数学机制称为“数学通识”,对此进行研究并在微积分等基础课程中强调 这些将有助后续专业课程相关内容的学习,便于展现和理解“数学的作为”,有 助于融会贯通、触类旁通。 1.3数学与自然机理间的关系 将数理知识体系认识为:以严格的量化观点,认识自然及非自然世界的系统 的思想和方法,而非纯粹逻辑过程,此处强调理论联系实践的能力。另一方面, 往往对深层机制或规律的理解需要数理知识体系。 事例1:基于无穷小量的比较及运算,我们可以进行如下估计: m号号号:( =-2+ofr)thanks to ofr) +o(r)=o(r), o(r)+o(r )=o(r)
3 学习体现“温故而知新”的效果，而非总是在不断地学习“全新”的内容，有助 于加深认识。 事例 2：基于有限维 Euclid 空间之间微分同胚理解张量分析中的曲线坐标 系，从参数区域至物理区域间向量值映照的 Jacobi 阵直接给出局部协变基→基 于非奇异阵其逆阵的唯一存在性，获得协变基之对偶基（亦即逆变基）的唯一存 在性→基于向量值映照其 Jacobi 阵的每列即为此向量值相对于相应曲线坐标的 变化率，导出 Christoffel 符号的意义及其计算式等——教学实践表明，简单应 用有限维 Euclid 空间之间映照的微分学可对力学中广泛应用的曲线坐标系的基 本概念给予十分清晰的阐述。 事例 3：基于线性代数中“同时对角化”的结论，亦即存在非奇异阵，可将 一个对称正定阵和对称阵同时分别合同于单位阵和对角阵。这一常作为习题的结 论，其构造性证明过程以及相关线性变化的意义（在力学实践中有着明确的意 义），可以系统清晰地定义曲面的 Gauss 曲率、平均曲率并获得相关基本性 质。理论力学课程中，藉上述同时对角化的结论，可以清晰推导保守系统在平衡 位置附近作微振动时所具有的数学性质及其力学解释。 事例 4：基于有限维 Euclid 空间之间映照的微分学，结合矩阵基本运算， 可以完整清晰地推导微积分中的 Stokes 公式。最终结果的获得，基于一个三阶 反对称阵左乘一个列向量等于此反对称阵对应对偶向量叉乘此列向量，这一熟 悉、简单的数学性质。理论力学中，又是藉此数学性质，获得任意运动向量相对 于绝对坐标系和运动坐标系关于时间变化率之间的基本关系，此种关系的一个基 本应用就是速度、加速度合成关系式的推导。由此可见，上述简单的数学性质可 能就是“刚性旋转”的共有数学机制。 我们生活的世界丰富多彩，但上帝可能就拿一样东西创造了这些，这就是 “数学机制”，反映为某种数学关系式。课程中的定理或性质可能并不是归纳程 度最高的东西，更高的会有上述数学机制，往往可以跨课程，甚至跨学科。我们 将上述数学机制称为“数学通识”，对此进行研究并在微积分等基础课程中强调 这些将有助后续专业课程相关内容的学习，便于展现和理解“数学的作为”，有 助于融会贯通、触类旁通。 1.3 数学与自然机理间的关系 将数理知识体系认识为：以严格的量化观点，认识自然及非自然世界的系统 的思想和方法，而非纯粹逻辑过程，此处强调理论联系实践的能力。另一方面， 往往对深层机制或规律的理解需要数理知识体系。 事例 1：基于无穷小量的比较及运算，我们可以进行如下估计： 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 1 ln cos ln 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) thanks to ( ) + ( ) = ( ) , ( ) ( ) ( ) 2 x x x x x o x o x o x o o x x o x o x o x o x o x o x o x
这个例子中反映了“抓住主要矛盾忽略次要矛盾”这样一个哲学道理,这也是力 学等基础科学和技术科学从纷繁复杂的研究对象中提炼被研究事务其本质特性的 最为重要的思想和方法。藉此事例,可以展现严格的数学,从方法论角度所表现 的灵活性 事例2:二阶导数联系于法向(向心)加速度,故转轨设计的原则应该是保 证二阶导数连续2;另一方面,由于二阶导数无法直观观测,所以数学本身起到 了认识自然规律的作用。 对数学(数理知识体系)的作为的认识,取决于对于数学本身的认识。力学 等具有长久发展历史的学科,真正的创新应该源于坚实的基础;研究者工作层 次,决定于研究者知识体系的层次,如数理知识体系的微积分层次和实分析与泛 函分析层次就有本质的差异,后者又是质上的飞跃。 2.学习方法概要 大学的学习应该注重理解与掌握知识体系的内在思想与方法,注重将知识升 华为能力。 《数学分析(Ⅱ)》主要针对向量值映照建立微分学与积分学,另包括级数 高维微分学主要包括:点列的极限、向量值映照的极限、向量值映照的可微性与 导数、多元函数的分析性质、多元函数的无限小分析方法、多元函数与向量值映 照的有限增量公式与估计、隐映照定理及其应用、逆映照定理及其应用等.高维 积分学主要包括:曲线、曲面上积分的建立、闭方块上 Riemann积分的 基本内容 简介 Darboux分析与 Lebesgue定理、 Fubini定理与体积分换元公式、广义积分与 含有参变量的积分、 Gauss- Ostrogradski公式、 Green公式、 Stokes公式与 场论基础等.级数主要包括:数项级数、函数项级数、幂级数、 Fourier级数等. 具体内容请见教学内容安排部分。 基本要求: 数学(数理知识体系)可理解为,按量化观点(包括定量与定性刻画),认识自然及非自 然世界系统的思想和方法。另一方面,对于数学作为的认识,取决于对数学自身的认识。 按上述观点,对于《数学分析(Ⅱ)》课程,需要学生系统、深入地掌握以向量值映照为 基本对象所开展的多元微分学与积分学,以及级数和 Fourier级数有关理论及应用,具体归纳 为以下主要方法 1.向量值映照/多元函数极限的计算方法,包括正向说明极限存在;基于路径分析方法(通过 2此事例引述自菲赫金哥尔茨所著《微积分教程》(俄罗斯数学教学选译之一)
4 这个例子中反映了“抓住主要矛盾忽略次要矛盾”这样一个哲学道理，这也是力 学等基础科学和技术科学从纷繁复杂的研究对象中提炼被研究事务其本质特性的 最为重要的思想和方法。藉此事例，可以展现严格的数学，从方法论角度所表现 的灵活性。 事例 2：二阶导数联系于法向（向心）加速度，故转轨设计的原则应该是保 证二阶导数连续2；另一方面，由于二阶导数无法直观观测，所以数学本身起到 了认识自然规律的作用。 对数学（数理知识体系）的作为的认识，取决于对于数学本身的认识。力学 等具有长久发展历史的学科，真正的创新应该源于坚实的基础；研究者工作层 次，决定于研究者知识体系的层次，如数理知识体系的微积分层次和实分析与泛 函分析层次就有本质的差异，后者又是质上的飞跃。 2. 学习方法概要 大学的学习应该注重理解与掌握知识体系的内在思想与方法，注重将知识升 华为能力。 基本内容 简介 《数学分析（Ⅱ）》主要针对向量值映照建立微分学与积分学，另包括级数. 高维微分学主要包括：点列的极限、向量值映照的极限、向量值映照的可微性与 导数、多元函数的分析性质、多元函数的无限小分析方法、多元函数与向量值映 照的有限 增量公式与估计、隐映照定理及其应用、逆映照定理及其应用等. 高维 积分学主要包括：曲线、曲面上积分的建立、闭方块上 Riemann 积分的 Darboux 分析与 Lebesgue 定理、Fubini 定理与体积分换元公式、广义积分与 含有参变量的积分、Gauss-Ostrogradskii 公式、Green 公式、Stokes 公式与 场论基础等. 级数主要包括：数项级数、函数项级数、幂级数、Fourier 级数等. 具体内容请见教学内容安排部分。 基本要求:. 数学（数理知识体系）可理解为，按量化观点（包括定量与定性刻画），认识自然及非自 然世界系统的思想和方法。另一方面，对于数学作为的认识，取决于对数学自身的认识。 按上述观点，对于《数学分析（Ⅱ）》课程，需要学生系统、深入地掌握以向量值映照为 基本对象所开展的多元微分学与积分学，以及级数和 Fourier 级数有关理论及应用，具体归纳 为以下主要方法： 1. 向量值映照/多元函数极限的计算方法，包括正向说明极限存在；基于路径分析方法(通过 2此事例引述自菲赫金哥尔茨所著《微积分教程》（俄罗斯数学教学选译之一）
极限分析找出路径)说明极限不存在 2.向量值映照/多元函数导数的计算方法,包括充分性方法与极限分析方法。特别地,在充分 性方法中所提取的矩阵形式的链式求导,对于隐映照与逆映照的导数计算非常有效 3.无限小分析方法,亦即获得多元函数的高阶多项式逼近的系统方法。类似于获得一元函数 的高阶多项式逼近的无限小分析方法,获得多元函数的高阶多项式逼近并不是直接套用无 限小增量公式,而是常常基于间接性方法 4.隐式形式曲线与曲面的处理方法,包括基于隐映照定理获得曲线与曲面的局部 monge表 示,并基于矩阵形式的链式求导计算相关几何量 5.处理约束上最值问题的方法,主要基于 Lagrange乘子法,包括约束上极值的类别判定 6.变换方程方法,按微分同胚的观点,可以引入自变量变换与因变量变换,以期简化原有因 变量相对于原有自变量的偏微分方程,所归结的方法可以有效地获得新的因变量相对于新 的自变量的偏微分方程 7.体积分计算的换元方法,基于含有零测集修正的体积换元公式,针对积分区域与被积函 数,归结常用的积分换元方法 8.判定正项级数敛散性的方法,包括通项的基于无限小分析方法的展开,比值形式的展开及 其判定方法。 9.判定一般数项级数敛散性的方法,包括绝对收敛性、条件收敛性与发散性的分析流程与判 定方法。 10.判定函数序列与函数项级数一致收敛性的方法,主要基于最值点的位置估计。 11.幂级数的相关方法,包括确定幂级数收敛域的方法,主要基于通项比值形式的展开;获得 复杂函数的幂级数表示,主要基于幂级数的分析性质;基于幂级数分析性质的相关应用, 包括微分方程的级数解法等 12. Fourier级数的相关方法,主要基于点收敛意义的展开定理获得函数的三角级数展开,包括 正弦或者余弦展开。另有,内积意义的 Fourier级数展开,但可在泛函分析中进行严格阐 掌握上述各方法是本课程的基本要求,包括:(1)获得方法的分析过程;(2)基于方 法解决具体问题。值得指岀,基于上述方法可以顺利地处理吉米多维奇著《数学分析习题集》 中约70-80%的题目。在逐步学习的基础上,鼓励对方法的归纳提出自己的意见与建议,以 期与教师一起进一步完善甚至发展方法。基于对方法的认识与理解,希冀实现方法至能力的 升华 值得指出,是否掌握方法可以自我衡量是否达到了学习目标;是否能够独立处理作业文 件中的基础性习题可以自我检查是否掌握方法
5 极限分析找出路径) 说明极限不存在。 2. 向量值映照/多元函数导数的计算方法，包括充分性方法与极限分析方法。特别地, 在充分 性方法中所提取的矩阵形式的链式求导, 对于隐映照与逆映照的导数计算非常有效。 3. 无限小分析方法，亦即获得多元函数的高阶多项式逼近的系统方法。类似于获得一元函数 的高阶多项式逼近的无限小分析方法, 获得多元函数的高阶多项式逼近并不是直接套用无 限小增量公式, 而是常常基于间接性方法。 4. 隐式形式曲线与曲面的处理方法, 包括基于隐映照定理获得曲线与曲面的局部Monge表 示, 并基于矩阵形式的链式求导计算相关几何量。 5. 处理约束上最值问题的方法, 主要基于Lagrange 乘子法, 包括约束上极值的类别判定。 6. 变换方程方法，按微分同胚的观点，可以引入自变量变换与因变量变换，以期简化原有因 变量相对于原有自变量的偏微分方程，所归结的方法可以有效地获得新的因变量相对于新 的自变量的偏微分方程。 7. 体积分计算的换元方法, 基于含有零测集修正的体积换元公式, 针对积分区域与被积函 数, 归结常用的积分换元方法。 8. 判定正项级数敛散性的方法，包括通项的基于无限小分析方法的展开，比值形式的展开及 其判定方法。 9. 判定一般数项级数敛散性的方法, 包括绝对收敛性、条件收敛性与发散性的分析流程与判 定方法。 10.判定函数序列与函数项级数一致收敛性的方法，主要基于最值点的位置估计。 11.幂级数的相关方法，包括确定幂级数收敛域的方法，主要基于通项比值形式的展开；获得 复杂函数的幂级数表示，主要基于幂级数的分析性质；基于幂级数分析性质的相关应用， 包括微分方程的级数解法等。 12.Fourier级数的相关方法，主要基于点收敛意义的展开定理获得函数的三角级数展开，包括 正弦或者余弦展开。另有，内积意义的Fourier级数展开，但可在泛函分析中进行严格阐 述。 掌握上述各方法是本课程的基本要求，包括：（1）获得方法的分析过程；（2）基于方 法解决具体问题。值得指出，基于上述方法可以顺利地处理吉米多维奇著《数学分析习题集》 中约 70-80%的题目。在逐步学习的基础上，鼓励对方法的归纳提出自己的意见与建议，以 期与教师一起进一步完善甚至发展方法。基于对方法的认识与理解，希冀实现方法至能力的 升华。 值得指出，是否掌握方法可以自我衡量是否达到了学习目标；是否能够独立处理作业文 件中的基础性习题可以自我检查是否掌握方法
授课方式: 本课程教学实施“课程工程”,主要包括:在线资源、文本支持、实体课堂、研讨课、课程 讲座等五方面,概述如下 (1)在线资源 课程体系网站: 微积分的一流化进程:htp:/ fdjpkc. fudan.edu.cn,/d201353/ main.htm 本课程体系网站的建设基于微积分相关数理知识体系的研习,表现二方面:①知识体系 自身的研究,主要特征为基于“数学通识”实现同一知识体系内的融会贯通、不同知识体系之 间的触类旁通;②知识体系传播的研究,既包括研究高成效的传授方式,也包括通过组合相 关知识体系以建设相关课程。 本课程体系网站,主要包括的栏目有: 研究背景包括:“数理观点”;“教学理念与教学方式”;“知识体系与课程体系”;“课程教 师与合作专家”。 体系讲稿主要按知识体系发布对应的讲稿,包括“ Euclid空间上微积分”,“微分流形上 微积分”,“赋范线性空间上微分学”,“测度论”,“泛函分析”。后二个目录尚在建设中。 教学视颜主要按知识体系发布对应的教学视频,包括:一元微分学,一元积分学;常微 分基础;高维微分学,高维积分学,级数;赋范线性空间上微分学等。 课程建设通过组合相关知识体系建设相关课程,包括:“数学分析”(一年制),“经典力 学数学名著选讲”(有关微积分的深化);“流形上的微积分”,“应用实变函数与泛函分析基础 (本科生与研究生共享课程)。对于每一课程,包括子栏目:知识体系、教学大纲、试卷习题 教与学研究、开设信息。 教学研究综合性包括:“阶段总结”;“杂志论文(含原稿)”,“会议论文(含原稿)”;“学 术报告(含随笔)”;“教改项目”。 图示研究致力于将数理知识体系中重要的概念、复杂的分析过程进行图示化说明。图示 化研究成果源于并服务于知识体系自身的研究,亦隶属并服务于知识体系传播的研究。按知识 体系建设相关目录,包括:“ Euclid空间上微积分”,“微分流形上微积分”;“赋范线性空间上 微分学”;“测度论”;“泛函分析”。目前主要涉及“ Euclid空间上微积分”的图示化研究,其 它的均在建设中。 通识研究隶属同一知识体系或者不同知识体系的知识点可能含有相同的“数学通识” 一特定的数学等式、不等式或者特定的处理方式方法;基于“数学通识”可实现同一知识体系 之间的“融会贯通”,不同知识体系之间的“触类旁通”。本栏目设计为按知识体系划分子目录 以分别进行通识性结构的研究,并在对应的子栏目下涉及跨知识体系的通识性结构的研究。本 栏目持续性建设中 现课程体系网站上已经有完全可以用以自主学习的课程视频(按知识点与知识要素进行剪 辑)。《数学分析B(Ⅱ)》涉及:高维微分学、高维积分学、级数的二个层面的视频:(1) 基础性层面,可供首次学习使用;(2)提高性层面,按基本内容、方法化、应用化进行各类, 适合在一定学习的基础上使用
6 授课方式: 本课程教学实施“课程工程”，主要包括：在线资源、文本支持、实体课堂、研讨课、课程 讲座等五方面，概述如下： （1）在线资源 课程体系网站： 微积分的一流化进程：http://fdjpkc.fudan.edu.cn/d201353/main.htm 本课程体系网站的建设基于微积分相关数理知识体系的研习，表现二方面：① 知识体系 自身的研究，主要特征为基于“数学通识”实现同一知识体系内的融会贯通、不同知识体系之 间的触类旁通；② 知识体系传播的研究，既包括研究高成效的传授方式，也包括通过组合相 关知识体系以建设相关课程。 本课程体系网站，主要包括的栏目有： 研究背景 包括：“数理观点”；“教学理念与教学方式”；“知识体系与课程体系”；“课程教 师与合作专家”。 体系讲稿 主要按知识体系发布对应的讲稿，包括“Euclid 空间上微积分”，“微分流形上 微积分”，“赋范线性空间上微分学”，“测度论”，“泛函分析”。后二个目录尚在建设中。 教学视频 主要按知识体系发布对应的教学视频，包括：一元微分学，一元积分学；常微 分基础；高维微分学，高维积分学，级数；赋范线性空间上微分学等。 课程建设 通过组合相关知识体系建设相关课程，包括：“数学分析”（一年制），“经典力 学数学名著选讲”（有关微积分的深化）；“流形上的微积分”，“应用实变函数与泛函分析基础” （本科生与研究生共享课程）。对于每一课程，包括子栏目：知识体系、教学大纲、试卷习题、 教与学研究、开设信息。 教学研究 综合性包括：“阶段总结”；“杂志论文（含原稿）”，“会议论文（含原稿）”；“学 术报告（含随笔）”；“教改项目”。 图示研究 致力于将数理知识体系中重要的概念、复杂的分析过程进行图示化说明。图示 化研究成果源于并服务于知识体系自身的研究，亦隶属并服务于知识体系传播的研究。按知识 体系建设相关目录，包括：“Euclid 空间上微积分”，“微分流形上微积分”；“赋范线性空间上 微分学”；“测度论”；“泛函分析”。目前主要涉及“Euclid 空间上微积分”的图示化研究，其 它的均在建设中。 通识研究 隶属同一知识体系或者不同知识体系的知识点可能含有相同的“数学通识”— —特定的数学等式、不等式或者特定的处理方式方法；基于“数学通识”可实现同一知识体系 之间的“融会贯通”，不同知识体系之间的“触类旁通”。本栏目设计为按知识体系划分子目录 以分别进行通识性结构的研究，并在对应的子栏目下涉及跨知识体系的通识性结构的研究。本 栏目持续性建设中。 现课程体系网站上已经有完全可以用以自主学习的课程视频（按知识点与知识要素进行剪 辑）。 《数学分析 B（Ⅱ）》涉及：高维微分学、高维积分学、级数的二个层面的视频：（1） 基础性层面，可供首次学习使用；（2）提高性层面，按基本内容、方法化、应用化进行各类， 适合在一定学习的基础上使用
结合现有课程体系网站上的系统视频,学生可以课前先进行自学;课堂讲授无需再重复所 有的“细枝末节”,而是强化思想性、强化通识性、澄清复杂性、强化方法性,并且课堂形式 可以增加师生间的互动,提高课堂的翻转性 对应数学分析的混合教学,基于复旦大学在线课程网站 http://fudan.mooc.chaoxing.com/portal的在线课程《数学分析——元微积分 http://moocl1.chaoxing.com/course/99372287.html 现在线课程提供的主要学习资料为 课程录像分为随堂录像与概述录像二部分:①随堂录像,即为课程体系网站上的视频, 按课程进度进行学习;②概述录像,注重整体性阐述相关思想与方法,应用于阶段性学习。 般而言,经过二至三次的学习可以理解与掌握数学分析的基本思想与方法。学习视频,一般 对应于随堂录像,观看此类视频,并结合学习目的中所列的要点掌握基本的概念、思想与方法。 学习讲稿为在线PDF文本,包括已出版教材《微积分讲稿——高维微积分》的主要内 容。学习讲稿,主要包括:①阐述概念、思想与方法,基本对应于课程录像的内容。②典型 事例,往往首先为解答一类问题提供方法,然后给出代表性事例的解答。在学习概念、思想与 方法之后,学习典型事例的解答。 基础练习为在线PDF文本。在学习讲稿的基础上,进行相关练习。有些章节的练习将分 为二部分:①基础性练习基于所归纳方法,可以较为轻松地解答这部分练习,作为对相关思 想与方法最为初步的理解。这部分练习往往要求全部完成。②提高性练习这部分练习涉及较 为深入的分析方法或者练习于其它知识体系。解答这部分问题往往需要一定的思考,可以多次 考虑相关问题。这部分练习可以结合自己的实际情况进行选择。 图示化研究我们将微积分中的概念、思想、结论、分析、方法进行图示化。在完成学习 视频、学习讲稿、基础练习的基础上,学习图示化研究的有关内容,以期总体性理解与掌握相 关思想与方法。另有,知识体系架构的图示化,以此一方面可以检查哪些内容已掌握、哪些内 容尚需掌握,另一方面可以总体性研究各知识要点之间的关系。 基于在线资源的具体的学习路径,如图15所示。原则上,学生可基于上述内容循序渐进 地进行自学。 基于在线资源(课程体系网站与在线课程),我们将课堂的功能分为二个递进性层面 如图所示。 ①基础性辨授(基本层面)基于我们现有的对知识体系知识及其传播的研究,系统且清 晰地讲授相关思想与方法。这种类型的教学视频可供学生初始的自习。 ②提高性讲授(高级层面)学生事先学习了基础性层面的教学视频,就此课堂讲授不再 是强调与重复所有的“细枝末节”,而是强化思想性、强化通识性、澄清复杂性、强化方法性, 并且课堂形式可以增加师生间的互动,提高课堂的翻转性
7 结合现有课程体系网站上的系统视频，学生可以课前先进行自学；课堂讲授无需再重复所 有的“细枝末节”，而是强化思想性、强化通识性、澄清复杂性、强化方法性，并且课堂形式 可以增加师生间的互动，提高课堂的翻转性。 对应数学分析的混合教学，基于复旦大学在线课程网站 http://fudan.mooc.chaoxing.com/portal 的在线课程《数学分析——一元微积分》 http://moocl1.chaoxing.com/course/99372287.html 现在线课程提供的主要学习资料为： 课程录像 分为随堂录像与概述录像二部分：① 随堂录像，即为课程体系网站上的视频， 按课程进度进行学习；② 概述录像，注重整体性阐述相关思想与方法，应用于阶段性学习。 一般而言，经过二至三次的学习可以理解与掌握数学分析的基本思想与方法。学习视频，一般 对应于随堂录像，观看此类视频，并结合学习目的中所列的要点掌握基本的概念、思想与方法。 学习讲稿 为在线 PDF 文本，包括已出版教材《微积分讲稿—— 高维微积分》的主要内 容。学习讲稿，主要包括：① 阐述概念、思想与方法，基本对应于课程录像的内容。② 典型 事例，往往首先为解答一类问题提供方法，然后给出代表性事例的解答。在学习概念、思想与 方法之后，学习典型事例的解答。 基础练习 为在线 PDF 文本。在学习讲稿的基础上，进行相关练习。有些章节的练习将分 为二部分：① 基础性练习 基于所归纳方法，可以较为轻松地解答这部分练习，作为对相关思 想与方法最为初步的理解。这部分练习往往要求全部完成。② 提高性练习 这部分练习涉及较 为深入的分析方法或者练习于其它知识体系。解答这部分问题往往需要一定的思考，可以多次 考虑相关问题。这部分练习可以结合自己的实际情况进行选择。 图示化研究 我们将微积分中的概念、思想、结论、分析、方法进行图示化。在完成学习 视频、学习讲稿、基础练习的基础上，学习图示化研究的有关内容，以期总体性理解与掌握相 关思想与方法。另有，知识体系架构的图示化，以此一方面可以检查哪些内容已掌握、哪些内 容尚需掌握，另一方面可以总体性研究各知识要点之间的关系。 基于在线资源的具体的学习路径，如图 15 所示。原则上，学生可基于上述内容循序渐进 地进行自学。 基于在线资源（课程体系网站与在线课程），我们将课堂的功能分为二个递进性层面， 如图所示。 ① 基础性讲授（基本层面） 基于我们现有的对知识体系知识及其传播的研究，系统且清 晰地讲授相关思想与方法。这种类型的教学视频可供学生初始的自习。 ② 提高性讲授（高级层面） 学生事先学习了基础性层面的教学视频，就此课堂讲授不再 是强调与重复所有的“细枝末节”，而是强化思想性、强化通识性、澄清复杂性、强化方法性， 并且课堂形式可以增加师生间的互动，提高课堂的翻转性
知识点与知识要素 架构研究 结构驱动结论 唱两狮之富的系 “新”的内容 正本清源 “旧”的内容 二 数学机 L制 基础性讲授 格物致知 物理机制 (基础层面) 适用于在线 随堂录像 「学生课前 概念的图示化 图示化研究 分析的图示化 油象”事物的 论的图示化 复杂过程的要义分解 讲授剧本 课堂的功能 课堂讲授 彩色粉笔使用约定 二个递进性层面 板书研究 逻辑记号使用约定 图示化表述 (概念分析结论) 强化思想性 由结构驱动结论 强化通识性 数学机制与物理机制 易混淆的认识 提高性讲授 澄清复杂性 (高级层面) 适用于 复杂的分析过程 翻转课堂 基于学生 课前自学 强化方法性 特定结构或处理的 吏用方法 教师与学生 师生间互动 学生与学生 课堂的功能(二个递进性层面〕:基础性讲授(基础层面)、提高性讲授(高级层面
8 课堂的功能（二个递进性层面）：基础性讲授（基础层面）、提高性讲授（高级层面）
视频:随堂讲授 初步与同步学习 按知识点或知识要素 初始阶段 文本:章节学习目的 初步与同步学习 按知识点或知识要素 初始阶段 课程教程 陈纪修等《数学分析》 文本:理论与事例 初步与同步学习 按知识点或知识要素 初始阶段 辅助教程 《微积分讲稿一一元微积分》 《微积分讲稿一高维微积分》 《微积分讲稿一高等微积分》 图示:图示化研究 初步与同步学习 定义、结论、分析的图示 初始阶段 文本:基础性习题 初步与同步学习 按知识点或知识要素 初始阶段 视频:概要性讲授 阶段性回顾 思想与方法 中间阶段 图示:数学通识 综合性回顾与总结 融会贯通、触类旁通 高级阶段 文本:深化与拓广内容 深化与拓广 深化习题或专题研究 高级阶段 在线课程各章节的内容架构,对应于学习路径 基于在线课程的学习流程,如上图所示
9 在线课程各章节的内容架构，对应于学习路径 基于在线课程的学习流程，如上图所示
(2)文本支持 分以下方面 主要教程现已正式出版《微积分讲稿——一元微积分》,按知识点进行划分(章)。每 章含有知识要素,阐述思想与方法;应用事例,分类给出典型问题的处理方法;拓广深化,主 要将相关思想与方法联系于其它课程。①《讲稿》适合配合教学视频进行学习,鉴于数学分 析的教与学的程度,事先务必先学习知识要素部分。②课程讲授后,可以基于应用事例学习 具体方法的应用,然后再进行练习。⑧③《讲稿》拓广深化部分,适合在一定的学习基础上参 阅 习题文件本课程按相关内容提供习题文件,主要包括:①基础性习题,本部分习题基于 课程讲授的思想与方法就可以较为顺利地进行,主要目的在于理解与熟练相关方法的应用。② 提高性习题,较为深入的习题,以此可以加深认识、拓广技艺。 研讨日志主要整理研讨课(包括习题课)中讲述的思想、方法、习题与解答 (3)实体课堂 每周一个下午进行集中性讲授与研讨。实体教学,追求在方法论层面传授思想与方法,亦 即提高性讲授(高级层面),如图“课堂的功能”所示。就此首先需要深入研究知识体系的内 在结构,然后再研究其传播形式。课堂讲解上注重三个方面的提升 通识化基于已有知识发展新的知识,提炼不同知识点的内在相似性(数学通识) 图示化概念、结论、分析过程的图形表示,再复杂与精妙的内容也能经过要义分解并且 将本质用图形表示,以此理解与认识上清清楚楚、简简单单 方法化归纳可适用一类问题的程序化且有效的解决路径,籍此实现方法至能力的升华 (4)研讨课 按课程人数进行分组,每位同学每周参加一次研讨课(2至2个半小时)。研讨课每周安 排2-3次,时间与同学们协调,每周研讨课的内容错开,整理有《研讨课日志》,每位同学每 周参加一次,再自学其它时段的研讨课记录。另安排有习题课,隔周周末进行,每次三小时 (5)课程讲座 每学期进行三次课程讲座,按内容进行:微分学、积分学、综合性讲座各一次。 主讲教师简介 学术上,注重以知识体系研究为基础,藉此驱动教学与科研工作。相对地,教学与科研的 提升不断地要求更为深入的知识体系,同时也积累且深化了基于知识体系认知世界的经验。 教学方面注重以知识点及知识要素构建知识体系;注重通过数学通识实现同一知识体系 的融会贯通以及不同知识体系之间的触类旁通;注重以知识体系认知世界的过程,基于已有的 知识发展新知识的过程进行课程讲述。目前建设有“微积分的一流化进程”以及“现代连续介 10
10 （2）文本支持 分以下方面： 主要教程 现已正式出版《微积分讲稿——一元微积分》，按知识点进行划分（章）。每 章含有知识要素，阐述思想与方法；应用事例，分类给出典型问题的处理方法；拓广深化，主 要将相关思想与方法联系于其它课程。① 《讲稿》适合配合教学视频进行学习，鉴于数学分 析的教与学的程度，事先务必先学习知识要素部分。② 课程讲授后，可以基于应用事例学习 具体方法的应用，然后再进行练习。③ 《讲稿》拓广深化部分，适合在一定的学习基础上参 阅。 习题文件 本课程按相关内容提供习题文件，主要包括：① 基础性习题，本部分习题基于 课程讲授的思想与方法就可以较为顺利地进行，主要目的在于理解与熟练相关方法的应用。② 提高性习题，较为深入的习题，以此可以加深认识、拓广技艺。 研讨日志 主要整理研讨课（包括习题课）中讲述的思想、方法、习题与解答。 （3）实体课堂 每周一个下午进行集中性讲授与研讨。实体教学，追求在方法论层面传授思想与方法，亦 即提高性讲授（高级层面），如图“课堂的功能”所示。就此首先需要深入研究知识体系的内 在结构，然后再研究其传播形式。课堂讲解上注重三个方面的提升： 通识化 基于已有知识发展新的知识，提炼不同知识点的内在相似性（数学通识） 图示化 概念、结论、分析过程的图形表示，再复杂与精妙的内容也能经过要义分解并且 将本质用图形表示，以此理解与认识上清清楚楚、简简单单 方法化 归纳可适用一类问题的程序化且有效的解决路径，籍此实现方法至能力的升华 （4）研讨课 按课程人数进行分组，每位同学每周参加一次研讨课（2 至 2 个半小时）。研讨课每周安 排 2-3 次，时间与同学们协调，每周研讨课的内容错开，整理有《研讨课日志》，每位同学每 周参加一次，再自学其它时段的研讨课记录。另安排有习题课，隔周周末进行，每次三小时。 （5）课程讲座 每学期进行三次课程讲座，按内容进行：微分学、积分学、综合性讲座各一次。 主讲教师简介: 学术上，注重以知识体系研究为基础，藉此驱动教学与科研工作。相对地，教学与科研的 提升不断地要求更为深入的知识体系，同时也积累且深化了基于知识体系认知世界的经验。 教学方面 注重以知识点及知识要素构建知识体系；注重通过数学通识实现同一知识体系 的融会贯通以及不同知识体系之间的触类旁通；注重以知识体系认知世界的过程，基于已有的 知识发展新知识的过程进行课程讲述。目前建设有“微积分的一流化进程”以及“现代连续介
