复旦大学数学科学学院 2006~2007学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称: 高等代数I课程序号:MATH120011 开课院系:数学科学学院考试形式:闭卷 姓名: 学号: 专业: 题号12345678总 装订线内不要答题一 得分 分 题号910111213141516 得分 一、选择题(每题2分,共16分) 1.设V和V2分别是R中的4维和5维子空间,则∩V2可能的最小维数 是 (A).1;(B).2;(C).3;(D).4 2.设A是n阶方阵(n≥3),A*是其伴随矩阵,则(3A)*= (A).3A;(B).3n-1a(C).3a;(D).3-na 3.设A是m×n阶矩阵,B是n×m阶矩阵,则 (A).当m>n时,必有行列式|AB≠0; (B).当m>n时,必有行列式|AB|=0 (C).当n>m时,必有行列式|AB=0; (D).当n>m时,必有行列式|AB|≠0. 第1页(共?页)
4.设向量B可由向量组{a1,…,am}线性表出,但不可由向量组I a1,…,Qm-1}线性表出。记向量组I={a1,…,am-1,3},则 (A4).am可由I线性表出,也可由I线性表出; (B).am可由I线性表出,但不可由I线性表出; (C).am不可由线性表出,但可由II线性表出; (D).am不可由I线性表出,也不可由I线性表出。 5.设A是n阶方阵,A4=l2,4表示转置,In表示n阶单位阵,且 A|=-1,则 (4).A+In一定是奇异阵;(B).A-In一定是奇异阵; (C).A+2一定是可逆阵;(D).A-n一定是可逆阵 6.设A,B都为n阶对称矩阵,且A≠0。若In+AB可逆,则 (In AB)A)-(In+AB)A= (A). A-B;(B).Onxn; (C). A+B;(D). AB 7.设T是n维线性空间V上的线性变换,则=2T当且仅当 (A) Ker(T)nIm(T)=0; (B)n=dim Im(T)+dim Im(T-2I) (C). V=Ker(T)Im(2T); (D)n=dim Im(T)+ dim Ker(T-21),ik 里Ⅱ恒等变换。 8.设A是n阶方阵,a是n维列向量,若r =r(A),则 (4).方程组AX=a必有唯一解; (B).方程组AX=a必有无穷多组解 (C).方程组/Aa X 0仅有零解 (D)方程组/Aa)/X 0必有非零解 填空题(每题3分,共24分) 1.设V是次数不超过3的实多项式全体构成的线性空间。定义线性变换 T:V→V如下:f(x)∈V,T(f(x):=f(x+1)-f(x),则在V的基 {1,x+1,(x+1)2,(x+1)3}下,T的表示矩阵为 第2页(共??页)
2.设R2上有线性变换g:V(x,y)∈R2,yp(x,y)=(3x+y,-x+3y),则y的所 有不变子空间为 3.设A为3阶方阵,A·是A的伴随矩阵,已知4=,则 (3A)-1-(4A)= 4.设A,B分别为m,n阶可逆方阵,分块阵C= 则 -1 5.当a,b,c适合条件 时,(x2+c)(x3+ax+b) 6.数1是多项式x5-4c3+2x2+3x-2的 重根 7.设W1,W2是线性空间的两个子空间,dim(W1)=r1,dim(W2)=72,若有 装订线内不要答题 非零向量a1∈W1,a2∈W2使a1+a2=0,则dim(W1+W2) 1+T2 8.设A=(a13)nxn是n阶实方阵,且代数余子式A A≠0,n≥3且n为奇数,则|A a1+x2+x3+x4=-1 三、(本题10分)已知非齐次线性方程组{4m1+32+53-m4=b有3个 2x1+x2+3x3-3x4=1 线性无关的解 (1)证明系数矩阵A的秩r(A)=2 (2)求a,b的值和方程组的通解。 第3页(共??页)
四、(本题10分)设W,W1,W2都是有限维线性空间V的子空间,其中 W1cW2,且W∩W1=Wo∩W2,Wo+W1=Wo+W2,证明:W1=W2 五、(本题10分)设a,62,68,∈是四维线性空间v的一组基,已知线性变换 y在该组基下的矩阵 1255 (1)求φ在基m=61+∈2,m2=62,n3=68+∈4,mn4=64下的矩阵B; (2)求φ的核与像。 第4页(共??页)
六、(本题10分)设A是一个mxn阶实矩阵,如下定义两个线性映射 yA:R+R",X→AX,VX∈R y4:Rm→R2,Y→AY,VY∈Rmn; 证明:R= KeryA⊕Imy 装订线内不要答题 七、(本题10分)设A为n阶方阵,证明:秩r(A)=7(4n+1)=…= r(Am)=…对任意的m≥n成立。 第5页(共??页)
八、(本题10分,请选做其中一题) 1.设n阶可逆阵A中每行元素之和都等于常数c,证明c≠0且A-1中每行元 素之和都等于c1 2.设A为n阶方阵,r(4)=T,且A2=A,证明:迹tr(A)=r 第6页(共??页)