复旦大学：《数学分析》教案讲稿_闭区间上Riemann积分的实际来源及数学定义

教案:闭区间上 Riemann积分的实际来源及数学定义 教案:闭区间上 Riemann积分的实际来源及数学定义 课程:《数学分析(I)》(一年制,面对力学类等) 1.知识点(教学内容及其目标概述) 本知识点:闭区间上 Riemann积分的实际来源及数学定义。主要内容分为:① Riemann 积分定义的四要素:分割、选取、求和、求极限的实际来源。② Riemann积分的极限定义 可有 Cauchy叙述、 Heine叙述以及 Cauchy收敛原理三种等价性叙述。③基于实际冋题,给 予分析事例以展示 Riemann积分分析理论的特质, 2.知识要素(教学内容细致目录) 本知识点,包括如下知识要素 Riemann积分定义的实际来源 5∈[a-,2] R( R() △:=6-b +> 我们的目标为计算上图所示的曲边扇形的面积。对此,基本的想法为 分割。对曲边扇形进行分割。对现有情形,可以角度进行划分,亦即对[O2,]进行分割 P:b=60<…<b1<x…<6=B 对分割P,引进其模的定义:P≡max△ 2.选取。对每一块,实际也是曲边扇形,由此我们考虑用“规则”的几何形状来近似实际的 形状。对现有情形,我们取v5∈[1日],以R()为半径,角度跨度为[O-,日]的扇形作 为第块曲边面积的近似S=R2(5),△日。 第1页共6页

教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 1 页 共 6 页 教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 课程：《数学分析（Ⅰ）》（一年制，面对力学类等） 1. 知识点（教学内容及其目标概述） 本知识点：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义。主要内容分为：①Riemann 积分定义的四要素：分割、选取、求和、求极限的实际来源。②Riemann 积分的极限定义， 可有 Cauchy 叙述、Heine 叙述以及 Cauchy 收敛原理三种等价性叙述。③基于实际问题，给 予分析事例以展示 Riemann 积分分析理论的特质。 2. 知识要素（教学内容细致目录） 本知识点，包括如下知识要素： ① Riemann 积分定义的实际来源 o  a  b o R  i1 R  i 1 :    i ii   1, i ii     x y  a  b i1  i 我们的目标为计算上图所示的曲边扇形的面积。对此，基本的想法为： 1. 分割。对曲边扇形进行分割。对现有情形，可以角度进行划分，亦即对 a b ,  进行分割： 0 1 : P a i i Nb            对分割 P ，引进其模的定义： 1 max i i N P      。 2. 选取。对每一块，实际也是曲边扇形，由此我们考虑用“规则”的几何形状来近似实际的 形状。对现有情形，我们取  i ii   1, ，以 Ri为半径，角度跨度为i i 1, 的扇形作 为第i 块曲边面积的近似   1 2 : 2 i ii S R     

教案:闭区间上 Riemann积分的实际来源及数学定义 求和。累加各块近似值,我们有:σ R2() P,5∑S=22 ∑1R2(),△,称为部分和 至此,我们提供部分和。「R() P,作为原曲边扇形的面积 4.求极限。类比于数列极限的引入,我们希望,定义在,0]上的函数2(Q),具有行为 彐S∈R。对E>0,彐δ>0,成立 R2().p, S0,36>0,成立:同((x),P,)-S<E,VP< Heine叙述 彐S∈R。对v{P}灬,||→0,成立:σ(f(x),Pn,n)→S,V|P<。 此处{5n}n=N为相对于分割族{P}nN的任意的选取族 类比于函数极限的 Cauchy叙述以及 Heine叙述,可证明二者等价。由此,函数∫(x)在 闭区间上的部分和极限,记为:彐脚(,P5)=S∈R,理解为 Cauchy叙述或者 Heine叙述 进一步,我们可以引入: ◇ Cauchy收敛原理 对选取不作说明,则指选取可以任意。以下同 第2页共6页

教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 2 页 共 6 页 3. 求和。累加各块近似值，我们有：     2 2 1 1 1 , , 2 2 N N i ii i i R PSR                   ，称为部分和。 至此，我们提供部分和   2 , , 2 R P          作为原曲边扇形的面积。 4. 求极限。类比于数列极限的引入，我们希望，定义在 a b ,  上的函数   2 2 R  ，具有行为：  S  。对   0 ， 0     ，成立：   2 , , 2 R P S             ， P     上述行为不受限于相对 P 的选取 ，亦即对于任意的选取都成立上述行为。 如果上述行为成立，则表明：当分割的模足够小，部分和（不受限于选取）将趋近一个 固定的数。我们希望将此固定的数作为对曲边扇形真实面积的计算。 需指出，上述“分割→选取→求和→求极限”的数学建模过程适用于诸多数学及非数学 的研究与应用情形，如计算曲线的长度（弧长），旋成体的侧面积，做功等等。这些，构成了 Riemann 积分定义的实际来源。 ② Riemann 积分的定义 对 f x ab x f x  : ,         ，具有如下行为：  Cauchy 叙述  S  。对   0 ， 0     ，成立* ：   fx P S  , ,     ， P      Heine 叙述  S  。对  nn P    ， 0 Pn  ，成立：   f  xP S , , n n   ， P     。 此处 n n    为相对于分割族 n n P  的任意的选取族。 类比于函数极限的 Cauchy 叙述以及 Heine 叙述，可证明二者等价。由此，函数 f  x 在 闭区间a b, 上的部分和极限，记为：   0 lim , , P   fP S      ，理解为 Cauchy 叙述或者 Heine 叙述。 进一步，我们可以引入：  Cauchy 收敛原理 * 对选取不作说明，则指选取可以任意。以下同

教案:闭区间上 Riemann积分的实际来源及数学定义 Y>03020,立:(,P)-(,0.38>0,成立:{()-(,,S, 进一步有:o(f,15x=)→S=5,叫(,B15=)→S=S 上述结论说明: 对y→0,有(,p5)→§,S不依赖于选取 对vP|→0.有(,5)→S,S不依赖于选取,以下证:S=S 考虑 P2 P k, n=2k 易见|P|→0,故有σ(f,Pn,5n)→S,S不依赖于选取 k-l,as n=2k-1 进一步考虑到:(,P=5x)→S=S,O(,P=B5-)→S=S。即得证 综上,我们可以 Cauchy叙述, Heine叙述以及 Cauchy收敛原理理解部分和极限,亦即 Riemann可积性 ③ Riemann积分的基本分析性质 有界性是 Rieman可积的必要性条件,但非充分 f(x)∈R[ab],则有f(x)在[a]上有界 第3页共6页

教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 3 页 共 6 页 0, 0       ，成立：     ˆ ˆ ˆ  fP fP P P , , , , , ,           可证明，Cauchy 收敛原理等价于 Cauchy 叙述以及 Heine 叙述。 定理：   0 lim , , P   fP S    等价于 Cauchy 收敛原理 分析： 当已有 Cauchy 收敛原理，亦即： 0, 0       ，成立：     ˆ ˆ ˆ  fP fP P P , , , , , ,           则有： 对 0   Pn ，有     ˆ ˆ ,, ,, nn nn   f P S fP S     ， ，以下证： ˆ S S  。 考虑： 2 2 1 , 2 : ˆ , 2 1 k n k as n k as n k             则有：   , , n n   f P S  ， 进一步有：   22 2 , , kk k   f P SS      ，  21 21 21  ˆ ˆ , , kk k   f P SS      。 上述结论说明：   P fP S n nn 0, , ,     对 有    ，S  不依赖于选取；   ˆ ˆ ˆ 0, , , 对 有   P fP S n nn   ， ˆ S 不依赖于选取。以下证： ˆ S S  考虑： 2 2 1 , 2 : ˆ , 2 1 k n k P as n k P P as n k          ，易见 故有 P fP S n nn   0, , ,     ， S 不依赖于选取。 进一步考虑到：   2 22 , , k kk   f P P SS     ，  21 21 21  ˆ ˆ , , k kk   f P P SS      。即得证。 综上，我们可以 Cauchy 叙述，Heine 叙述以及 Cauchy 收敛原理理解部分和极限，亦即 Riemann 可积性。 ③ Riemann 积分的基本分析性质 1. 有界性是 Riemann 可积的必要性条件，但非充分。 f   x R ab   ,  ,则有 f  x 在a b, 上有界

教案:闭区间上 Riemann积分的实际来源及数学定义 2.有限个离散点上的改变不影响 Riemann积分。 渠 g(x) 现需计算上述土地的面积,因灌溉之需在某些位置c(1j≤0上开有水渠(设水渠足够 狭窄).我们考虑的近似面积为:o(-g)(x),P,)∑(-g)()Ax 现有“困惑”(称为阿基米德的困惑),当c1∈[x-1,x](最多属于一个闭子区间,对此 S=(f-8)(5)Ax (-g)(5)△x≠0a5≠c1 从近似角度而言,对于含有水渠的闭子区间,是否计及其面积“似乎”对近似值的影响很大? 对此“困惑”,在极限观点下得以解决:对于含有水渠的闭子区间,是否计及其面积都有 相同的极限值。对此,我们归纳如下的数学性质 f(x)∈R{a小,f()=J∫(x)ax≠x,则有:彐imo(,P,5)=f(x)a 分析 首先,由于f(x)∈R[ab],故∫(x)在[ab]上有界,由此易见f(x)在[a,b]上有界。 然后,估计 (P:)-(x)a(,P:)a(,P)+(,)-(x)a 由于:f(x)∈R[ab],即有(按部分和极限的 Cauchy叙述 对VE>0,三6>0,成立:(P,5)-()<E,lP<6 估计:设x∈[x-,x ↑此处仅考虑了一个间断点,有限个间断点情况,可以逐个考虑或直接进行估计 第4页共6页

教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 4 页 共 6 页 2. 有限个离散点上的改变不影响 Riemann 积分。 x y o a 1 b c j c l c 水 渠 j 1 x  j x f x   g x   现需计算上述土地的面积，因灌溉之需在某些位置c jl j 1   上开有水渠（设水渠足够 狭窄）。我们考虑的近似面积为：         1 , , N i i i   f gxP f g x       。 现有“困惑”（称为阿基米德的困惑），当c xx j kk  1, （最多属于一个闭子区间），对此       0 : 0 k k kj k kk k j f g x as c S fg x as c                  从近似角度而言，对于含有水渠的闭子区间，是否计及其面积“似乎”对近似值的影响很大？ ——对此“困惑”，在极限观点下得以解决：对于含有水渠的闭子区间，是否计及其面积都有 相同的极限值。对此，我们归纳如下的数学性质： f   x R ab   , ，     * * * ˆ f x as x x f x C as x x       ，则有：     0 ˆ lim , , b P a   f P f x dx     † 分析： 首先，由于 f   x R ab   , ，故 f  x 在a b, 上有界，由此易见   ˆ f x 在a b, 上有界。 然后，估计            ˆ ˆ ,, ,, ,, ,, b b a a        f P f x dx f P f P f P f x dx       由于： f   x R ab   , ，即有（按部分和极限的 Cauchy 叙述）： 对   0 ， 0     ，成立：    , , b a  f P f x dx      ， P     估计：设 x* 1  x x k k  ,  † 此处仅考虑了一个间断点，有限个间断点情况，可以逐个考虑或直接进行估计

教案:闭区间上 Riemann积分的实际来源及数学定义 f,P,5)-a(,P,5)= ∑[(5)-f()]△x+[(5)-f()△ /(2)(2my(p 综上,即可得证 3.课时安排 本知识点,共计安排2课时 第1课时: Riemann积分定义的实际来源;② Rieman积分的定义( Cauchy叙述,Hein 述) 第2课时:② Riemann积分的定义( Cauchy收敛原理;③ Riemann积分的基本分析性质 4.讲述特点及追求效果 ◇我们将数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法,而非仅是逻辑过程。故在 教学过程中,需要三个过程:①实践中所需研究的对象(背景);基于此些对象的共性形 成“数学定义”。②通过数学逻辑研究数学定义,亦即数学分析过程;并获得相关数学结 论,反映为所定义事物的性质或定理。③数学结论“反馈”至实际对象,以期获得对实 际对象更新或更深入的认识。一一上述三个过程对应“数学建模→数学分析→指导实际”, 亦可称为“数学实验”。基于上述理念,我们需要细致说明, Riemann积分的实际来源, 相关研究对象的共性为“分割→选取→求和→求极限”的数学建模过程 ◇ Riemann积分概念的引入,往往基于闭区间上某函数同坐标轴所夹曲边梯形的面积。本教 案,特别设计以平面曲边扇形的面积计算作为研究对象,以期消除“分割→选取→求和 求极限”的数学建模过程仅限于曲边梯形面积计算的误解。实际上述建模过程具有极 其广泛的应用背景,远不止限于力学、物理学等学科, ◇强调 Riemann积分的本质为“部分和极限”一一部分和的一种“逼近行为”,对其认识有 Cauchy叙述, Heine叙述以及 Cauchy收敛原理,三者等价。此部分所涉及的分析思想及 方法基本上完全类比于函数极限的相关分析,故可作为实践“温故而知新”的极佳机会。 ◆作为初步的体会,引入“阿基米德的困惑”,将问题的“解决”提炼为 Rieman积分的相 关性质,并得以证明,以初步展现 Riemann积分的特质“局部改变不影响整体”。需指出 在微积分层面,我们仅处理有限离散间断的情形,进一步可有测度意义上的间断 第5页共6页

教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 5 页 共 6 页                 1, * , ˆ ˆˆ ,, ,, ˆ ˆ 2 max sup , N i ii k kk i ik k kk a b f P fP f f x f f x f f x fx C P                                      综上，即可得证。 3. 课时安排 本知识点，共计安排 2 课时： 第 1 课时：①Riemann 积分定义的实际来源；② Riemann 积分的定义（Cauchy 叙述，Heine 叙述） 第 2 课时：② Riemann 积分的定义（Cauchy 收敛原理）；③Riemann 积分的基本分析性质 4. 讲述特点及追求效果  我们将数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法，而非仅是逻辑过程。故在 教学过程中，需要三个过程：①实践中所需研究的对象（背景）；基于此些对象的共性形 成“数学定义”。②通过数学逻辑研究数学定义，亦即数学分析过程；并获得相关数学结 论，反映为所定义事物的性质或定理。③数学结论“反馈”至实际对象，以期获得对实 际对象更新或更深入的认识。——上述三个过程对应“数学建模→数学分析→指导实际”， 亦可称为“数学实验”。基于上述理念，我们需要细致说明，Riemann 积分的实际来源， 相关研究对象的共性为“分割→选取→求和→求极限”的数学建模过程。  Riemann 积分概念的引入，往往基于闭区间上某函数同坐标轴所夹曲边梯形的面积。本教 案，特别设计以平面曲边扇形的面积计算作为研究对象，以期消除“分割→选取→求和 →求极限”的数学建模过程仅限于曲边梯形面积计算的误解。实际上述建模过程具有极 其广泛的应用背景，远不止限于力学、物理学等学科。  强调 Riemann 积分的本质为“部分和极限”——部分和的一种“逼近行为”，对其认识有 Cauchy 叙述，Heine 叙述以及 Cauchy 收敛原理，三者等价。此部分所涉及的分析思想及 方法基本上完全类比于函数极限的相关分析，故可作为实践“温故而知新”的极佳机会。  作为初步的体会，引入“阿基米德的困惑”，将问题的“解决”提炼为 Riemann 积分的相 关性质，并得以证明，以初步展现 Riemann 积分的特质“局部改变不影响整体”。需指出， 在微积分层面，我们仅处理有限离散间断的情形，进一步可有测度意义上的间断

教案:闭区间上 Riemann积分的实际来源及数学定义 5.教学方式 全程脱稿板书 第6页共6页

教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 6 页 共 6 页 5. 教学方式 全程脱稿板书