高维微分学——向量值映照的极限 复旦力学谢锡麟 16年3月15日 知识要素 1.13lim∫(x)=3o∈R的意义 定义1.1(向量值映照极限).向量值映照极限为向量值映照的一种局部行为,记为彐 f(ae) 3o∈Rn,可按以下二种叙述理解 叙述 ve>0,彐6>0,满足:|f(c)-3on0,彐>0,成立∫(x)∈B2(y0),Vx∈B62(xo)nm ∈Rm,即 彐N2∈N,成立xp∈B:(xo)n9x,Vp>Nb, 故有f(xp)∈B2(0),Vp>N,亦即f(xp)→3o∈Rn (2)证明由 Heine叙述得出 Cauchy叙述.利用反证法,假设 Cauchy叙述不成立,即有 日e*>0,V6>0,36∈B6(x0)n%x满足f(x)B.(3), 取5=,则彐xp∈B61(a0)n9满足f(x)gBn,(3).现有9{a}3p→0∈Rm,按 Heine叙述有∫(xp)→y∈Rn,故产生矛盾
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——向量值映照的极限 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n 的意义 定义 1.1 (向量值映照极限). 向量值映照极限为向量值映照的一种局部行为, 记为 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n , 可按以下二种叙述理解 • Cauchy 叙述 ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 满足： |f(x) − y0 |Rn 0, ∃ δε > 0, 成立 f(x) ∈ Bε(y0 ), ∀ x ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Dx. 由 xp → x0 ∈ R m, 即 ∃ Nδε ∈ N, 成立 xp ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Dx, ∀ p > Nδε , 故有 f(xp) ∈ Bε(y0 ), ∀ p > Nδε , 亦即 f(xp) → y0 ∈ R n . (2) 证明由 Heine 叙述得出 Cauchy 叙述. 利用反证法, 假设 Cauchy 叙述不成立, 即有 ∃ ε∗ > 0, ∀ δ > 0, ∃ xδ ∈ ◦ Bδ(x0) ∩ Dx 满足 f(xδ) /∈ Bε∗ (y0 ), 取 δp = 1 p , 则 ∃ xp ∈ ◦ Bδp (x0) ∩ Dx 满足f(xp) /∈ Bε∗ (y0 ). 现有 Dx\{x0} ∋ xp → x0 ∈ R m, 按 Heine 叙述有 f(xp) → y0 ∈ R n , 故产生矛盾. 1
高维微分学一一向量值映照的极限 谢锡麟 定理12(映照极限的 Cauchy收敛原理).已有(Rn,|·pη)为完备的赋范线性空间,则有 3 lim f(a)=o∈R 等价于 ve>0,彐6>0,满足|f(x)-f(i)lgn0,36>0,成立|(x)-lRn0,36>0成立|f(x)-∫(正)nNs 故有 If(ap)-f(aqlRn Ns 亦即{f(xp)} peN C R为基本点列再由(cn2,|ln)为完备的赋范线性空间,因此{∫(xp)}peC Rn收敛.再考虑 V{n}c9\{xo},亚p→m0∈Rn有f(xp)→3∈R", V{n}c9\{o},亚p→x0∈R”有f(xp)→3o∈R", 需证v0=30∈Rn.就此作 P=2k, -1,P 有{n}C9{ao},满足可p→o∈Rm,故有f()→0∈R.由于收敛点列的所有子列均 收敛且极限相同以及点列极限存在的唯一性,故有v=0=50.按映照极限的 Heine叙述,即 有彐limf()=3o∈Rn x→x0∈Rn 定义1.2(向量值映照的连续性),如果彐li∫(x)=∫(xo)∈R,则称∫(axo)在 x→ro∈Rm c0∈身点连续 1.2向量值映照极限的分析性质 性质13(基本分析性质,类比于一元函数极限,向量值映照极限亦具有如下基本性质
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学 —— 向量值映照的极限 谢锡麟 定理 1.2 (映照极限的 Cauchy 收敛原理). 已有 (R n , | · |Rn ) 为完备的赋范线性空间, 则有 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n 等价于 ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 满足 |f(x˜) − f(xˆ)|Rn 0, ∃ δε > 0, 成立 |f(x) − y0 |Rn 0, ∃ δε > 0 成立 |f(xe) − f(xb)|Rn Nδε , 故有 |f(xp) − f(xq)|Rn Nδε , 亦即 {f(xp)}p∈N ⊂ R n 为基本点列. 再由 (R n , |·|Rn ) 为完备的赋范线性空间, 因此 {f(xp)}p∈N ⊂ R n 收敛. 再考虑 ∀ {xep} ⊂ Df \{x0}, xep → x0 ∈ R m 有 f(xep) → ye0 ∈ R n , ∀ {xbp} ⊂ Df \{x0}, xbp → x0 ∈ R m 有 f(xbp) → yb0 ∈ R n , 需证 ye0 = yb0 ∈ R n . 就此作 xp = xe2k, p = 2k, xb2k−1, p = 2k − 1, 有 {xp} ⊂ Df \{x0}, 满足 xp → x0 ∈ R m. 故有 f(xp) → y0 ∈ R n . 由于收敛点列的所有子列均 收敛且极限相同以及点列极限存在的唯一性, 故有 ye0 = yb0 = y0 . 按映照极限的 Heine 叙述, 即 有 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n . 定义 1.2 (向量值映照的连续性). 如果 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = f(x0) ∈ R n , 则称 f(x0) 在 x0 ∈ Df 点连续. 1.2 向量值映照极限的分析性质 性质 1.3 (基本分析性质). 类比于一元函数极限, 向量值映照极限亦具有如下基本性质. 2
高维微分学—向量值映照的极限 谢锡麟 1.极限存在唯一性 彐limf(c)=3o∈Rn 如有 则有 lim f(a) R 2.局部有界性如果彐imf(x)=yo∈Rn,则有 M,OM∈R+,st.f(x)km≤M,vx∈B(xo)n9 3.多元函数极限的保号性保号性具有二个方面:(1)如果彐limf(a)>0,则彐λ∈R+, 有f(x)>0,Vx∈Bx(x0)∩9f;(2)如有彐imf(x)∈武,以及彐A∈R+,有 f()>(或≥)0,V∈B2(xo)∩男,则有彐imf(x)>0 4.多元函数极限的夹逼性设多元函数o(),v(x)和θ(x)具有共同的定义域9xCRm, 彐limo(x) v(x)=30∈R 如有 夹逼性条件叭(ax)≤(x)≤v(x),wx∈B(xo)n% 则有彐limb(x)=9o 定理14(复合映照极限定理).如有 lim(c)=30∈Rn, e(y R, 且满足“非接触性条件”0:彐入>0,有 A(B(ao)ngec e\yol 则有 1.存在局部复合,即有 e。6():BA(xo)∩9m+eoθ(x)=6((a); 2.彐lim6o0(x)=20=lim6(y)∈R 证明(1)按非接触性条件θ(Bx(xo)n)cme\{yo},显然成立 (2)利用Hine叙述,考虑{cp}cBx(0)n,xp→co∈Rm 由彐lim6(x)=y∈Rn的 Heine叙述,以及非接触性条件,有 Deyo 0(Ep) ①“非接触性”指,当x≠xo∈Rm,有θ(x)≠y∈R
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学 —— 向量值映照的极限 谢锡麟 1. 极限存在唯一性 如有 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = z0 ∈ R n , 则有 y0 = z0. 2. 局部有界性 如果 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n , 则有 ∃M, δM ∈ R +, s.t. |f(x)|Rm ≤ M, ∀x ∈ ◦ BδM (x0) ∩ Df 3. 多元函数极限的保号性 保号性具有二个方面: (1) 如果 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) > 0, 则 ∃λ ∈ R +, 有 f(x) > 0, ∀x ∈ ◦ Bλ(x0) ∩ Df ; (2) 如有 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) ∈ R, 以及 ∃λ ∈ R +, 有 f(x) > (或 ≥) 0, ∀x ∈ ◦ Bλ(x0) ∩ Df , 则有 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) > 0. 4. 多元函数极限的夹逼性 设多元函数 ϕ(x), ψ(x) 和 θ(x) 具有共同的定义域 Dx ⊂ R m, 如有 ∃ lim x→x0∈Rm ϕ(x) = lim x→x0∈Rm ψ(x) = y0 ∈ R 夹逼性条件 ϕ(x) ≤ θ(x) ≤ ψ(x), ∀x ∈ ◦ Bλ(x0) ∩ Dx , 则有 ∃ lim x→x0∈Rm θ(x) = y0. 定理 1.4 (复合映照极限定理). 如有 ∃ lim x→x0∈Rm θ(x) = y0 ∈ R n , ∃ lim y→y0∈Rn Θ(y) = z0 ∈ R l , 且满足 “非接触性条件” ➀: ∃ λ > 0, 有 θ( ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ) ⊂ DΘ\{y0}, 则有 1. 存在局部复合, 即有 Θ ◦ θ(x) : ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ ∋ x 7→ Θ ◦ θ(x) ≡ Θ(θ(x)); 2. ∃ lim x→x0∈Rm Θ ◦ θ(x) = z0 = lim y→y0∈Rn Θ(y) ∈ R l . 证明 (1) 按非接触性条件 θ( ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ) ⊂ DΘ\{y0}, 显然成立. (2) 利用 Heine 叙述, 考虑 ∀ {xp} ⊂ ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ, xp → x0 ∈ R m. 由 ∃ lim x→x0∈Rm θ(x) = y0 ∈ R n 的 Heine 叙述, 以及非接触性条件, 有 DΘ\{y0} ∋ θ(xp) → y0 ∈ R n . ➀ “非接触性” 指, 当 x ̸= x0 ∈ R m, 有 θ(x) ̸= y0 ∈ R n . 3
高维微分学—向量值映照的极限 谢锡麟 又由彐1im(y)=z0∈R的 Heine叙述,有 y→3o∈Rn e(θ(cp)=6o6(cp) 综上,有彐lim日。0(x)=z0∈R 需指出,按连续性的 Heine叙述,如有 (y)=6(y0)∈R 则上述定理中“非接触性条件”可改为“可接触性条件” 彐入>0,有(Bx(xo)∩) 1.3向量值映照极限的计算 性质1.5(存在向量值映照极限等价于存在各分量极限) 彐limf(c)=30∈Rn分limf(m)=90∈R x→x0∈Rm 证明仅需到基本关系式 2-b|≤a-bm≤∑|a2-b 本性质表明,计算向量值映照的极限可以归结为计算其分量(多元函数)的极限. 性质1.6(多元函数极限的四则运算).设多元函数f(x)和g(x)具有相同的定义域%x如 有 彐limf(x)=A∈R,彐lim9(x)=B∈R, 则有 彐lim(af+Bg)(a)=aA+BB∈R 彐lim(fg)(x)=AB∈R A (x)=元∈R,此处B≠0 x→o∈Rm B 需指出,上述性质为计算函数极限的充分性方法,亦即可以把函数视成二个函数的线性组合、 乘积或除法,如果相应的函数都具有极限,则原函数的极限为相应极限的线性组合、乘积或比值
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学 —— 向量值映照的极限 谢锡麟 又由 ∃ lim y→y0∈Rn Θ(y) = z0 ∈ R l 的 Heine 叙述, 有 Θ(θ(xp)) = Θ ◦ θ(xp) → z0 ∈ R l . 综上, 有 ∃ lim x→x0∈Rm Θ ◦ θ(x) = z0 ∈ R l . 需指出, 按连续性的 Heine 叙述, 如有 ∃ lim y→y0∈Rn Θ(y) = Θ(y0 ) ∈ R l , 则上述定理中 “非接触性条件” 可改为 “可接触性条件” ∃ λ > 0, 有 θ( ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ) ⊂ DΘ. 1.3 向量值映照极限的计算 性质 1.5 (存在向量值映照极限等价于存在各分量极限). ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n ⇔ lim x→x0∈Rm f α (x) = y α 0 ∈ R 证明 仅需到基本关系式 a j − b j 6 |a − b|Rm 6 ∑m i=1 a i − b i , j = 1, · · · , m. 本性质表明, 计算向量值映照的极限可以归结为计算其分量 (多元函数) 的极限. 性质 1.6 (多元函数极限的四则运算). 设多元函数 f(x) 和 g(x) 具有相同的定义域 Dx. 如 有 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = A ∈ R, ∃ lim x→x0∈Rm g(x) = B ∈ R, 则有 ∃ lim x→x0∈Rm (αf + βg)(x) = αA + βB ∈ R ∃ lim x→x0∈Rm (fg)(x) = AB ∈ R ∃ lim x→x0∈Rm ( f g ) (x) = A B ∈ R, 此处B ̸= 0 需指出, 上述性质为计算函数极限的充分性方法, 亦即可以把函数视成二个函数的线性组合、 乘积或除法, 如果相应的函数都具有极限, 则原函数的极限为相应极限的线性组合、乘积或比值. 4
高维微分学—向量值映照的极限 谢锡麟 2应用事例 3拓广深化 值得指出,本知识点所述的向量值映照的极限定义, Cauchy叙述与 Heine叙述的等价性证 明以及映照极限的 Cauchy收敛原理,都可以“逐字逐句”地用于一般赋范线性空间(X,|·|x)与 (Y,|·y)之间的映照 ∫(x):X2分3x→f(x)∈Y 的极限,仅需以(Rm,|·|Rm)替代(X,|·|x),(n,|·|gη)替代(Y,|·ly) 4建立路径
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学 —— 向量值映照的极限 谢锡麟 2 应用事例 3 拓广深化 值得指出, 本知识点所述的向量值映照的极限定义, Cauchy 叙述与 Heine 叙述的等价性证 明以及映照极限的 Cauchy 收敛原理, 都可以 “逐字逐句” 地用于一般赋范线性空间 (X, | · |X) 与 (Y, | · |Y ) 之间的映照 f(x) : X ⊃ Df ∋ x → f(x) ∈ Y 的极限, 仅需以 (R m, | · |Rm) 替代 (X, | · |X), (R n , | · |Rn ) 替代 (Y, | · |Y ). 4 建立路径 5