高维微分学——相关分析结论 复旦力学谢锡麟 2016年3月15日 知识要素 11多元函数可微性的一个充分性条件 对于多元函数的可微性有如下充分性结论 af 定理1.1.Df(x)axr,,r 2(a)∈Rm,∈B(0)%且a()∈R在a 点连续(1≤i≤m),则∫(x)∈R在co点可微 证明按可微性定义,需估计 If(a+h)-f(a)-Dfo(a)hl=f(a+h)-f(a af anr(a)hb+…+an()h 就此,考虑 f(a+h)-f(a)=f(a+hi1+.+hmim)-f(a) f(a+hi nim)-f(a+hi2+.+him) +f(x+h2i2+…+ h'ni)-f(x+h3i3+…+hmin)+ +f(x+hi2+…+h"in)-f(x+h+i+1+…+hm"in)+ +f(a+h im)-f(a 由此需考虑 f(x+hi2+…+h"in)-f(x+h+l+1+…+him) f(a+thii+h*ii+1+.+h"im) d2(t):阳0,11t→→o1(t)全f(x+thi1+h+i+1+…+hin)∈R 考虑 (t+△t)-(t) f(a+thii+hi+ii+1 hmim+△th2i1)-f(x+th2i2+h+i+1+…+hmim) f(x+th2i+h+1i+1+…+hmim+△th2i)-f(x +th;+hi+1i1+1+…+h2m).h △th2 (a th'ii th
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——相关分析结论 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 多元函数可微性的一个充分性条件 对于多元函数的可微性有如下充分性结论 定理 1.1. ∃Df(x) , [ ∂f ∂x1 , · · · , ∂f ∂xm ](x) ∈ R 1×m, ∀x ∈ Bλ(x0) ⊂ Dx 且 ∂f ∂xi (x) ∈ R 在 x0 点连续 (1 6 i 6 m), 则 f(x) ∈ R 在 x0 点可微. 证明 按可微性定义, 需估计 |f(x + h) − f(x) − Dfα (x)h| = f(x + h) − f(x) − ( ∂f ∂x1 (x)h 1 + · · · + ∂f ∂xm (x)h m ) . 就此, 考虑 f(x + h) − f(x) = f ( x + h 1 i1 + · · · + h mim ) − f(x) = f(x + h 1 i1 + · · · + h mim) − f(x + h 2 i2 + · · · + h mim) + f(x + h 2 i2 + · · · + h mim) − f(x + h 3 i3 + · · · + h mim) + · · · + f(x + h i ii + · · · + h mim) − f(x + h i+1ii+1 + · · · + h mim) + · · · + f(x + h mim) − f(x), 由此需考虑 f ( x + h i ii + · · · + h mim ) − f ( x + h i+1ii+1 + · · · + h mim ) = f(x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim) 1 t=0 . 令 ϕi(t) : [0, 1] ∋ t 7−→ ϕi(t) , f(x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim) ∈ R 考虑 ϕi(t + △t) − ϕi(t) △t = f(x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim + △thi ii) − f(x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim) △t = f(x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim + △thi ii) − f(x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim) △thi · h i → ∂f ∂xi (x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim) · h i as △t → 0, 1
高维微分学—相关分析结论 谢锡麟 上述最后极限存在可基于3a(x)∈R,vm∈B(mo) 按上所述,如有彐1(t)∈R,t∈[0,1,故由 Lagrange中值定理有 f(x+th2i1+h2+i+1+…+him)=0=o(t)=0=(O) af (a +ihi im)h,b;∈(0,1) 由此,有 f(o+h)-f(ao)=r(o +0,h'i1+.+hmim)hl (x0+2h2i2+…+hmin)h2+ af (Eco +0ih'ii+ oh of im)h ∈(0,1),ⅵi=1,…,m 进一步,有 If(o+h)-f(ao)-Df(ao)hl af ≤a(a0+61hin+…+h"im) /Ox(ao+0, hii+.+h"im) asio) 0am(=zo+emh"im)-Ozi (zol) Ih"ml 考虑到 z(m)=a(m0)∈R 彐.lim(xo+b2h2iz+…+h"in h→0∈Rm 按复合向量值映照极限定理,有 mmn(x0+6hx+…+b"m)=ar(o)∈R 综上,可有 ∫(xo+h)=f(xo)+Df(co)h+o(h)∈R. 对于向量值映照∫(x):Rm%x3x→∫(x)∈R”在ao∈intx点可微等价于因变量 的所有分量f(x):Rm2%x3x+f(x)∈R在x0点可微
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 相关分析结论 谢锡麟 上述最后极限存在可基于 ∃ ∂f ∂xi (x) ∈ R, ∀x ∈ Bλ(x0). 按上所述, 如有 ∃ · ϕi (t) ∈ R, ∀ t ∈ [0, 1], 故由 Lagrange 中值定理有 f(x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim )| 1 t=0 = ϕi(t)| 1 t=0 = · ϕi (θi) = ∂f ∂xi (x + θih i ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim)h i , θi ∈ (0, 1). 由此, 有 f(x0 + h) − f(x0) = ∂f ∂x1 (x0 + θ1h 1 i1 + · · · + h mim)h 1 + ∂f ∂x2 (x0 + θ2h 2 i2 + · · · + h mim)h 2 + · · · + ∂f ∂xi (x0 + θih i ii + · · · + h mim)h i + · · · + ∂f ∂xm (x0 + θmh mim)h m, θi ∈ (0, 1), ∀i = 1, · · · , m. 进一步, 有 |f(x0 + h) − f(x0) − Df(x0)h| 6 ∂f ∂x1 (x0 + θ1h 1 i1 + · · · + h mim) − ∂f ∂x1 (x0) · |h 1 | + · · · + ∂f ∂xi (x0 + θih i ii + · · · + h mim) − ∂f ∂xi (x0) · |h i | + · · · + ∂f ∂xm (x0 + θmh mim) − ∂f ∂xi (x0) · |h m|. 考虑到 ∃ lim x→x0∈Rm ∂f ∂xi (x) = ∂f ∂xi (x0) ∈ R ∃ lim h→0∈Rm (x0 + θih i ii + · · · + h mim) = x0 ∈ R m , 按复合向量值映照极限定理, 有 ∃ lim h→0∈Rm ∂f ∂xi (x0 + θih i ii + · · · + h mim) = ∂f ∂xi (x0) ∈ R. 综上, 可有 f(x0 + h) = f(x0) + Df(x0)h + o(h) ∈ R. 对于向量值映照 f(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ R n 在 x0 ∈ intDx 点可微等价于因变量 的所有分量 f α(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ f α(x) ∈ R 在 x0 点可微. 2
高维微分学—相关分析结论 谢锡麟 1.2多元函数偏导数可以交换次序的一个充分性条件 定理12(混合偏导数可交换次序定理) 3a25),bmbs(ar)∈R,v∈BA(0) 且两者均在xo点连续,则有 a2f )∈R. 证明作函数 A(, 4): =f(ao+Aii +uii)-f(ao+ Aii)-f(ao +uii)+ f(ao) 引入 o(t): [0,1]+f(ao+t) )-f(ao +tAii) 则有 (A,p)=(1)-(0)=:d(t)b 考虑到 o(t+△t)-(t) =fx0+1+p+1)-f(a0+1+)2x-f(x0+1x+p)二f(0+Ax (o+tAii tHii)-o(o+tAi △t→0 则有 (,)=()h=6(0)=(x0+0)x+) ar2 再引入 (t):0,13t+v(t af 0Ai+tpi)∈R 可有 △(x,A)=x(t)b=Aahn(x0+A+b1)0,0∈(0,1) 综上,有 △(A,p)a2f Au xiaxi (xo+0Ai;+uii), 考虑到 a- 8- lim(=o +aIi+Opi) 按复合向量值映照的极限定理,有 彐lim △(A.,p) (A,p)→0∈R2 2megh(x0+0)x+1)=ab=(0)
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 相关分析结论 谢锡麟 1.2 多元函数偏导数可以交换次序的一个充分性条件 定理 1.2 (混合偏导数可交换次序定理). ∃ ∂ 2f ∂xj∂xi (x), ∂ 2f ∂xi∂xj (x) ∈ R, ∀x ∈ Bλ(x0) 且两者均在 x0 点连续, 则有 ∂ 2f ∂xj∂xi (x0) = ∂ 2f ∂xi∂xj (x0) ∈ R. 证明 作函数 △(λ, µ) := f(x0 + λii + µij ) − f(x0 + λii) − f(x0 + µij ) + f(x0). 引入 ϕe(t) : [0, 1] ∋ t 7→ f(x0 + tλii + µij ) − f(x0 + tλii) ∈ R, 则有 △(λ, µ) = ϕe(1) − ϕe(0) =: ϕe(t)| 1 0 . 考虑到 ϕe(t + △t) − ϕe(t) △t = f(x0 + tλii + µij + △tλii) − f(x0 + tλii + µij ) △tλ λ − f(x0 + tλii + µii) − f(x0 + tλii) △tλ λ → [ ∂f ∂xi (x0 + tλii + µij ) − ∂f ∂xi (x0 + tλii) ] · λ =: ˙ ϕe(t), as △t 7→ 0 则有 △(λ, µ) = ϕe(t)| 1 0 = ˙ ϕe(θ) = [ ∂f ∂xi (x0 + θλii + µij ) − ∂f ∂xi (x0 + θλii) ] λ. 再引入 ψe(t) : [0, 1] ∋ t 7→ ψe(t) = ∂f ∂xi (x0 + θλii + tµij ) ∈ R, 可有 △(λ, µ) = λ · ψe(t)| 1 0 = λµ ∂ 2f ∂xj∂xi (x0 + θλii + θµe ij ) θ, θe∈ (0, 1). 综上, 有 △(λ, µ) λµ = ∂ 2f ∂xj∂xi (x0 + θλii + θµe ij ), 考虑到 ∃ lim x→x0∈Rm ∂ 2f ∂xj∂xi (x) = ∂ 2f ∂xj∂xi (x0) ∃ lim (λ, µ)→0∈R2 (x0 + θλii + θµe ij ) = x0 ∈ R m , 按复合向量值映照的极限定理, 有 ∃ lim (λ, µ)→0∈R2 △(λ, µ) λµ = lim (λ, µ)→0∈R2 ∂ 2f ∂xj∂xi (x0 + θλii + θµe ij ) = ∂ 2f ∂xj∂xi (x0). 3
高维微分学—相关分析结论 谢锡麟 类似于上述分析,引入 o(t): [0, 1]tHo(t)=f(o+Aii+tui; )-f(ao+tuii), 可有 △(X,p)=o(1b=o()[0f af ax] (xo+Ai2+612)-ax (xo+61t) 再引入 c0):1→B(m+1+)∈R 可有 △(x)=0(b=p()=1、25(0+21+1ni) ax axs 综上,有 △(入,185A2+2A+61) 入 ax ax 考虑到 x→x0∈RmOx2Oxr a-f(ao) F. lim (o +B2Aii + B1uij)=oE R 按复合向量值映照的极限定理,有 (xp)0∈2(A)0∈R2Onn(a0+2Ai2+1)≈、0 彐lim △(A,p) 02f 2应用事例 3建立路径 主要的分析思想表现为将多元函数f(x):Rm>%x3→f(x)∈R限制在直线段 a,b:={a+t(b-a)|tc0,1}上,就此可以引入一元函数 o(t):0,13t→f(a+t(b-a)∈R 如果∫(x)在{a,b]上连续,且在直线段内部存在关于b-a的方向导数,则对o(t)在[0,1上可 利用 Lagrange中值定理 f(b)-fa)=0()-0)=d(0)=0fa+0.(b-a)b-alam,bc(0,) 式中 am2·上述分析可隶属数学通识
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 相关分析结论 谢锡麟 类似于上述分析, 引入 ϕb(t) : [0, 1] ∋ t 7→ ϕb(t) , f(x0 + λii + tµij ) − f(x0 + tµij ), 可有 △(λ, µ) = ϕb(t)| 1 0 = ˙ ϕb(θ1) = [ ∂f ∂xj (x0 + λii + θ1µij ) − ∂f ∂xj (x0 + θ1µij ) ] µ. 再引入 ψb(t) : [0, 1] ∋ t 7→ ψb(t) , ∂f ∂xj (x0 + tλii + θ1µij ) ∈ R, 可有 △(λ, µ) = µψb(t) 1 0 = µ ˙ ψb(θ2) = λµ ∂ 2f ∂xi∂xj (x0 + θ2λii + θ1µij ). 综上, 有 △(λ, µ) λµ = ∂ 2f ∂xi∂xj (x0 + θ2λii + θ1µij ), 考虑到 ∃ lim x→x0∈Rm ∂ 2f ∂xi∂xj (x) = ∂ 2f ∂xi∂xj (x0) ∃ lim (λ, µ)→0∈R2 (x0 + θ2λii + θ1µij ) = x0 ∈ R m , 按复合向量值映照的极限定理, 有 ∃ lim (λ, µ)→0∈R2 △(λ, µ) λµ = lim (λ, µ)→0∈R2 ∂ 2f ∂xi∂xj (x0 + θ2λii + θ1µij ) = ∂ 2f ∂xi∂xj (x0). 2 应用事例 3 建立路径 主要的分析思想表现为将多元函数 f(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ R 限制在直线段 [a, b] := {a + t(b − a)|t ⊂ [0, 1]} 上, 就此可以引入一元函数 ϕ(t) : [0, 1] ∋ t 7→ f(a + t(b − a)) ∈ R. 如果 f(x) 在 [a, b] 上连续, 且在直线段内部存在关于 b − a 的方向导数, 则对 ϕ(t) 在 [0, 1] 上可 利用 Lagrange 中值定理 f(b) − f(a) = ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ˙(θ) = ∂f ∂e (a + θ · (b − a))|b − a|Rm, θ ⊂ (0, 1), 式中 e := b − a |b − a|Rm . 上述分析可隶属数学通识. 4
