數学建模 数学建模选修课 005 00 0.05 0.10 005
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第三章微分方程模型 在研究某些实际问题时,经常无法直接得到各 变量之间的联系,问题的特征往往会给出关于 变化率的一些关系。利用这些关系,我们可以 建立相应的微分方程模型。 从另一个方面来讲,从微小的变化量来研究 函数变化的规律,微分提供了一种人们认识系 统更加深入的描写和刻画。从这个角度说,微 分方程模型在模拟客观事物时更加具有机理性 和本质性
第三章 微分方程模型 在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各 变量之间的联系，问题的特征往往会给出关于 变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以 建立相应的微分方程模型。 从另一个方面来讲，从微小的变化量来研究 函数变化的规律，微分提供了一种人们认识系 统更加深入的描写和刻画。从这个角度说，微 分方程模型在模拟客观事物时更加具有机理性 和本质性
大模型 1、 MALTHUS模型 英国人 Malthus认为,在人口自然增长过程 中,净相对增长率(出生率减去死亡率为净增 长率)是常数。 设时刻t的人口为N(t),净相对增长率为r 我们把N(t)当作连续变量来考虑。按照 Malthus的理论,在到t+△时间内人口的增长 量为
人口模型 １、MALTHUS模型 英国人Malthus认为，在人口自然增长过程 中，净相对增长率（出生率减去死亡率为净增 长率）是常数。 设时刻t的人口为Ｎ（t），净相对增长率为r， 我们把Ｎ（t）当作连续变量来考虑。按照 Malthus的理论，在t到t+t时间内人口的增长 量为
N(t+△t)-N(t) △t·N(t) N(t+△t)-N(t) r·N(t △t 令△t→0,则得到微分方程:
r t N(t ) N(t t ) N(t ) = + − Δ Δ 令t→０，则得到微分方程: rN dt dN = r N(t ) t N(t t ) N(t ) = + − Δ Δ
设t=0时人口为No,即有 我们易求得微分方程在上面的初始条件下 的解为 N(t)=Ne't
设t＝０时人口为Ｎ０，即有 N t=0 = N0 我们易求得微分方程在上面的初始条件下 的解为 rt N(t ) N e = 0
问题:当t→∞,我们将会有N()→0,这 似乎不太可能。 实际背景:这个模型可以与19世纪以前 欧洲一些地区的统计资料很好地吻合,但是 后来人们用它来与19世纪的人口资料比较 时却发现了相当大的差异
问题：当t→，我们将会有Ｎ(t) →, 这 似乎不太可能。 实际背景：这个模型可以与１９世纪以前 欧洲一些地区的统计资料很好地吻合，但是 后来人们用它来与１９世纪的人口资料比较 时却发现了相当大的差异
从1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如表: 年份 17901800 810182018301840 1850 人口(×10 537.29.612.917 23.2 年份 1860187018801890190019101920 人口(×10531.438.650.262.976.092.0106.5 年份 19301940195019601970|1980 口(X10)122131.7150.7179.3204.0225
从 1790—1980 年间美国每隔 10 年的人口记录如表： 年 份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口(×106 ) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 年 份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口(×106 ) 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 年 份 1930 1940 1950 1960 1970 1980 人口(×106 ) 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5
从图中可一看到在1925年之前曲线很 光滑,在1950年左右出现变化。 200 150 100 1825185018751900192519501975
从图中可一看到在1925年之前曲线很 光滑，在1950年左右出现变化。 1825 1850 1875 1900 1925 1950 1975 50 100 150 200
图中可以看到在1875年之前拟合得出 的曲线和真实曲线匹配的很好,但在 之后两者之间的差距越来越大 拟合曲线 500 400 真实数据 200 100 1825185018751900192519501975
图中可以看到在1875年之前拟合得出 的曲线和真实曲线匹配的很好，但在 之后两者之间的差距越来越大。 1825 1850 1875 1900 1925 1950 1975 100 200 300 400 500 拟合曲线 真实数据
随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素 对人口增长的限制作用越来越显著。人口较少 时,人口的自然增长率基本上是常数,而当人 口增加到一定数量以后,这个增长率就要随着 人口的增加而减少
随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素 对人口增长的限制作用越来越显著。人口较少 时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人 口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着 人口的增加而减少