复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）2.4 分块矩阵及其运算

(後只人季 24分块矩阵及其运算

2.4 分块矩阵及其运算

(後只人季 分块矩阵 矩阵分块是在一个矩阵的行或列之间加一些水平或垂 直线,把矩阵分成若干较低阶的矩阵。例 E A A=---- 000 或者 10 013 A 001 000

分块矩阵 矩阵分块是在一个矩阵的行或列之间加一些水平或垂 直线，把矩阵分成若干较低阶的矩阵。例 2 12 1 1 0 1 0 1 3 0 0 1 0 0 0 0 E A A e       = =             12 1 3 A   =     1 1 0 e   =     或者 11 1 3 1 0 1 0 1 3 0 0 1 0 0 0 0 A A          = =             11 1 0 1 0 1 3 0 0 1 A     =      

(後只人季 例1设A= aiIm*,按列分块 2i 按行分块 n B 2 B2=[ 2

例1 设A= [aij]m*n ，按列分块： A a a a = 1 2 n     1 2 i i i mi a a a a       =       按行分块 1 2 m A          =       2 1 2 i i in  =   a a a  

旦 人」 学 例 2 0 A 200000 020000 003000 000130 000004 常分块为: 2 E 0 3 3

例2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 A         =           常分块为： 2 22 33 2 0 0 0 0 0 0 E A A A     =       22 3 1 0 0 3 1 0 0 3 A     =       A33 = 4

(後只人季 分块矩阵的运算 加法 q A2I a B q pq pq 则定义 +BnA12+B12…A1+B1q 十 tB +B, A+B= 4,+B,A,+B a+B

分块矩阵的运算 加法 11 12 1 21 22 2 1 2 q q p p pq A A A A A A A A A A       =         11 12 1 21 22 2 1 2 q q p p pq B B B B B B B B B B       =         则定义 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 q q q q p p p p pq pq A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B   + + +   + + +   + =       + + +  

(後只人季 4,k4 数量乘法 4,k4 4 4 4.,k4

数量乘法 11 12 1 21 22 2 1 2 q q p p pq kA kA kA kA kA kA kA kA kA kA       =        

(後只人季 乘法 12 12 q 22 B、,B A= B 22 B. B t2 B 其中A1,42,…,4的列数分别等于B1,B2y;…,B;的行数 q 21 AB= q pq 其中C=∑4kB

11 12 1 21 22 2 1 2 t t p p pt A A A A A A A A A A       =         11 12 1 21 22 2 1 2 q q t t tq B B B B B B B B B B       =         其中 1 2 , , , A A A i i it 的列数分别等于 1 2 , , , B B B j j tj 的行数 11 12 1 21 22 2 1 2 q q p p pq C C C C C C AB C C C       =         其中 1 t ij ik kj k C A B = =  乘法

旦 人」 学 例3 15100 0 3 2320 0 0000 1000 B 2 0042 00810 2 5 00- 0 00 A E3 B A=30:001 B=24 8 2E202×3 00 0 2 0

例3 1 5 1 0 0 2 1 0 1 0 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 A     −   =           0 0 0 0 0 0 0 3 2 4 8 0 1 2 1 0 3 1 0 0 B       =           − 11 3 2 2 3 1 5 1 0 0 2 1 0 1 0 3 0 0 0 1 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 A E A E      −     = =               2 3 12 21 3 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0 2 4 8 0 0 1 2 1 0 3 1 0 0 B B B           = =               −

(後只人季 B AB= lI 3 12 B21A1B12 2E,0 2×3 B 3x1 2×32B12 15 15 2B1 1112 3 0 24815 21-3 AB=3-100 0000 0006

11 12 1 5 15 0 2 1 3 3 3 0 0 A B           = − = −                 12 0 2 6 B   =     2 4 8 15 1 2 1 3 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 AB     −   =   −         11 3 2 3 12 21 11 12 2 2 3 21 3 1 2 3 12 0 2 0 0 0 2 A E B B A B AB E B B           = =            

(後只人季 例4:设A为n阶矩阵 第j行 求证:Ae为矩阵的第列 证明A=[a1a2

例4： 设A为n阶矩阵 0 0 1 0 0 j e           =             第j行 求证：Aej 为矩阵的第j列 证明 A a a a = 1 2 n     1 2 0 0 1 0 0 Ae a a a a j n j           = =               