复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）1.5 克莱姆（Cramer）法则

(後只人季 15克莱姆( Cramer)法则

1.5 克莱姆（Cramer）法则

(後只人季 C1x1+ 12~2 十 十 ao,r t a 22 ann bz2 十 aero t n l1 1 由n元线性方程组的系数组成的阶行列式 12 /21 22 2 2 称为n元线性方程组(5.1)的系数行列式

       + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n α x α x α x b α x α x α x b α x α x α x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 (5.1) n n nn n n α α α α α α α α α A       1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 =

(後只人季 定理1.5(克莱姆定理)设线性方程组(51)的系 数行列式|A|≠0,则它有唯一的解 其中AJ|G=1,2,…,n)是把系数行列式 A中第j列的n个元素分别换成常数项 b1,b2,…,bn所得到的n阶行列式

, , , , . 2 3 2 2 1 1 A A x A A x A A x A A x n = = =  n =

(後只人季 证明 用4中第列元素的代数余子式y,42,…,A 依次乘方程组n个方程得 (aux, +a, x,+.+a, )A,=b,A (n1x1+a2x2+…+anx,)41=b2A1 (anx,+anx,+.+x)A=b,A 在把n个方程依次相加,得

证明 ( ) ( ) ( )       + + + = + + + = + + + = n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组(5.1)的 个方程,得 用 中 第 列元素的代数余子式 1 , 2 , , n A j A j A j  Anj 在把 n 个方程依次相加，得

(後只人季 kkk x1+… kiki ∑b4 由代数余子式的性质可知,上式中x的系数等于A, 而其余(≠消)的系数均为;又等式右端为 于是 5) 当A≠Q时,方程组(5.5)有唯一的一个解 2

, 1 1 1 1 1 1     = = = = =         + +         + +         n k k k j n n k j k n k j n k k j k j n k k k j b A a A x  a A x  a A x 由代数余子式的性质可知, A x j = Aj (j = 1,2,  ,n). 上式中xj 的系数等于A, 而其余x (i j)的系数均为0; i  又等式右端为Aj . 于是 (5.5) 当 A  0 时,方程组 (5.5) 有唯一的一个解 , , , , . 2 3 2 2 1 1 A A x A A x A A x A A x n = = =  n =

(後只人季 当4≠0时由于方程组(5)与方程组-等价, 故 也是方程组⑤.1的解

当 时,由于方程组 (5.5) 与方程组 (5.1) 等价, 故 也是方程组 的解. , , , , . 2 3 2 2 1 1 A A x A A x A A x A A x n = = =  n = (5.1) A  0

(後只人季 例1求解方程组 2x1+x2-5x3+x4=8, x1-3x2-6x4=9, 2x2-x3+2x4=-5 x1+4x2-7x3+6x4=0 解 51 07-513 30-6F1 2r 30-6 D 12n4 02 12 07-712

例1 求解方程组        + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 − − − − − D = 1 2 2 r − r 4 2 r − r 0 7 7 12 0 2 1 2 1 3 0 6 0 7 5 13 − − − − −

(後只人季 7-513 3-53 C1+2c 10 +2 7-712 7-7-2 33 27 7-2 81-51 28-51 9-30-6 D 52-12 0-5-12 76 81 108

7 7 12 2 1 2 7 5 13 − − − = − 1 2 2 c + c 3 2 2 c + c 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − − − − − 7 2 3 3 − − − = = 27, 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1 − − − − − − D = = 81, 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2 − − − − − D = = −108

()後大手 181 58 1-39 309 D3 52 02-1-5 1406 4-70 27 D181 108 D27 D27 27 D.27 D27

1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3 − − − D = = −27, 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4 − − − − − D = = 27, 3, 27 81 1  1 = = = D D x 4, 27 108 2 2 = − − = = D D x 1, 27 27 3 3 = − − = = D D x 1. 27 4 27 4 = = = D D x