复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（习题解答与试题）2011线性代数期终试卷B

复旦大学计算机科学技术学院 20102011第二学期《线性代数》期终考试试卷 B卷共6页 课程代码:COMP120004.0203 考试形式:闭卷 2011年9月 (本试卷答卷时间为120分钟,答案必须写在试卷上,做在草稿纸上无效) 专业 学号 姓名 成绩 题一三四五六 总分 得分 、n阶行列式计算:(共20分,每小题10分) ⌒装订线内不要答题 11+x l11+ 第1页

第 1 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 复 旦 大 学 计 算 机 科 学 技 术 学 院 2010-2011 第二学期《线性代数》期终考试试卷 B 卷 共 6 页 课程代码：COMP120004.02-03 考试形式：闭卷 2011 年 9 月 （本试卷答卷时间为 120 分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效） 专业 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 一、 ｎ阶行列式计算： （共 20 分，每小题 10 分） （1） x x x An +     +  +  = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1+xI (2) A 11,1 其中x1≠O,=12…n。 假设A为n阶方阵,D=dg{1,2,不…λn}是n阶对角阵,其中1,,列3…,两两 不相等,且AD=DA,证明A必为对角阵。(10分) 第2页

第 2 页 （2） n n n x x x x x A  +  +       +  +  +  = − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 其中 xi  0,i =1,2,  ,n 。 二、假设 A 为 n 阶方阵， D = diag1 ,2 ,3 ,  ,n  是 n 阶对角阵，其中    n , , , 1 2 3  两两 不相等，且 AD = DA ，证明:A 必为对角阵。 (10 分)

三、设E12E2E3是复数域上三维线性空间的一组基,T是V的一个线性变换,它在这组基下的 56-3 矩阵为A=-101,即7(E1,E2,5)=(,E2,1)A。求:T的所有的特征值与特征向 量。(12分) ⌒装订线内不要答题 第3页

第 3 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 三、设 1 2 3    , , 是复数域上三维线性空间 V 的一组基， T 是 V 的一个线性变换，它在这组基下的 矩阵为 5 6 3 1 0 1 1 2 1 A   −   = −      − ，即 1 2 3 1 2 3 T A ( , , ) ( , , )       = 。求： T 的所有的特征值与特征向 量。 (12 分)

四、讨论参数a,B的值,解下列方程组。何时无解?何时有唯一的解?并请写出解;何时有无 穷多的解?并请写出解的一般形式 x1+众x2+x3=3 (18分) 第4页

第 4 页 四、讨论参数 , 的值，解下列方程组。何时无解？何时有唯一的解？并请写出解；何时有无 穷多的解？并请写出解的一般形式。      + + = + + = + + = 2 4 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x    （18 分）

五、设A,B分别为实数域上m阶、n阶方阵,试证明 1.如果A,B都相似于对角矩阵,则 也相似于一个对角矩阵 相似于一个对角矩阵,即存在一个可逆矩阵S,使得 S=dig(入1,2,…,)。 对S进行分块,令S=/S S其中S是mx(m+m)阶矩阵,S2是nx(m+m阶矩阵。试 证明:S的每一列都是A的特征向量,S2的每一列是B的特征向量,并且 rank(S,)=m, rank(s2)=n ⌒装订线内不要答题 0B/相似于一个对角矩阵当且仅当A,B都相似于对角阵。(共20分) 第5页

第 5 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 五、设 A B, 分别为实数域上 m 阶、n 阶方阵，试证明： 1． 如果 A B, 都相似于对角矩阵，则 0 0 A B       也相似于一个对角矩阵。 2． 设 0 0 A B       相似于一个对角矩阵，即存在一个可逆矩阵 S ，使得 1 1 2 0 ( , , , ) 0 n A S S diag B    −     =   。 对 S 进行分块，令 1 2 S S S   =     ，其中 1 S 是 m m n  + ( ) 阶矩阵， 2 S 是 n m n  + ( ) 阶矩阵。试 证明： 1 S 的每一列都是 A 的特征向量， 2 S 的每一列是 B 的 特 征 向 量 ， 并 且 1 2 rank S m rank S n ( ) , ( ) = = 。 3． 0 0 A B       相似于一个对角矩阵当且仅当 A B, 都相似于对角阵。(共 20 分)

六、设R为实数集,R为实数域R上全体n维向量的集合。设本题中的向量均在R"中。证明 (共20分) (1)设向量组a,a2…a,可以由向量组B1,B2…,B线性表示,且s>t,则向量组 a1,ax2…,a,是线性相关的。(10分) (2)设向量组1,y2…,y,可由向量组a2OD2…,C线性表示,即存在实数域R上的txs的矩阵 A,使得(1,y2…y,)=(a,O2…,6)·A,并设可1,2…,O,是线性无关向量组,则向量组 71,y2,…,y的秩等于矩阵A的秩。(10分) 第6页

第 6 页 六、设 R 为实数集， n R 为实数域 R 上全体 n 维向量的集合。设本题中的向量均在 n R 中。证明 （共 20 分）： （1）设 向量组 1 2 , , ,   s 可以由向 量组 1 2 , , ,   t 线性表示， 且 s t  ，则向量组 1 2 , , ,   s 是线性相关的。 （10 分） （2）设向量组 1 2 , , , s    可由向量组 1 2 , , , t    线性表示，即存在实数域 R 上的 t s  的矩阵 A ，使得 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , )       s t = • A ，并设 1 2 , , , t    是线性无关向量组，则向量组 1 2 , , , s    的秩等于矩阵 A 的秩。 （10 分）