复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（习题解答与试题）第二章部分重要题目的解答

第二章部分重要题目解答 4.设 B 01 求A,Bn 解:1)设Fn 1m+1 ,则FnA= 又因为A=F1,由数学归纳法 得An=Fn 14 5.设A 011,B=0-3-2,证明 001 (2)n为偶数时Bn=E。n为奇数时Bn=B。 证明:(1)用数学归纳法。n=1时结论成立。假设当n=k时结论成立,即 k c2 4 01k 那么,当n=k+1时, 1 k+1 k+C2 1 k+1 CK k+1 01k+1 00 原命题得证(2)经验证B2=E,因此原命题得证

1Ÿ‹©­áK8)â 4. A = 1 1 0 1 ! , B = cosφ −sinφ sinφ cosφ ! , ¶An , Bn" )µ1) Fn = 1 n 0 1 ! ßKFnA = 1 n + 1 0 1 ! . qœèA = F1,dÍÆ8B{ An = Fn = 1 n 0 1 ! 5. A =   1 1 0 0 1 1 0 0 1   ,B =   1 4 2 0 −3 −2 0 4 3  ,y²µ (1)An =   1 n C2 n 0 1 n 0 0 1   (2)nèÛÍûBn = E" nè¤ÍûBn = B " y²µ(1)^ÍÆ8B{"n = 1 û(ÿ§·"b n = k û(ÿ§·ß= A k =   1 k C2 k 0 1 k 0 0 1   @oß n = k + 1 ûß A k+1 = A kA =   1 k + 1 k + C 2 k 0 1 k + 1 0 0 1   =   1 k + 1 C 2 k+1 0 1 k + 1 0 0 1   ·Ky (2)²yB2 = Eßœd·Ky

11.设A,B都是n阶方阵,求证 (1)(A+E)2=A2+2A+E,(A+E)(A-E)=A2-E (2)当AB≠BA时 (A+B)2≠A2+2AB+B2;(A+B)(A-B)≠A2-B2 证明:(1) (A+E)2=A(A+E)+E(+E)=42+A+A+E=A2+2A+E (A+E)(A-E)=(A+E)A-(A+E)E=42+A-A-E=A2-E (2)当AB≠BA时, (A+B)=(A+B)(A+B)=(A+B)A+(A+B)B=A+BA+AB+B-A+2AB+B (A+B)(A-B)=(A+B)A-(A+B)B=A2+BA-AB+B2+A2-B2 证毕。 12.若A=(B+E),证明A2=A当且仅当B2=E 证明 A2=A 1(B+E)2=(B+E) B2+2B+E=2B+2E分 B=E 18.设n阶方阵A满足:A2-A+E=0,证明A为可逆阵,并求A 证明:由A2-A+E=0可以知道A-A2=E,即A(E-A)=E。所以A为可逆阵 且A-1=(E-A) 19.设A为方阵,某正整数k>1,A=0,证明: (E-A)-1=E+A+42+…+A-1

1 11. A, B—¥nê ߶yµ (1)(A + E) 2 = A2 + 2A + Eß(A + E)(A − E) = A2 − E (2)AB 6= BAû (A + B) 2 6= A 2 + 2AB + B 2 ; (A + B)(A − B) 6= A 2 − B 2 y²µ(1) (A + E) 2 = A(A + E) + E(A + E) = A 2 + A + A + E = A 2 + 2A + E (A + E)(A − E) = (A + E)A − (A + E)E = A 2 + A − A − E = A 2 − E (2)AB 6= BAûß (A+B) 2 = (A+B)(A+B) = (A+B)A+(A+B)B = A 2+BA+AB+B 2 6= A 2+2AB+B 2 (A + B)(A − B) = (A + B)A − (A + B)B = A 2 + BA − AB + B 2 6= A 2 − B 2 y." 12. e A = 1 2 (B + E) ßy²A2 = A Ö= B2 = E" y²µ A2 = A ↔ 1 4 (B + E) 2 = 1 2 (B + E) ↔ B2 + 2B + E = 2B + 2E ↔ B2 = E 18.  n ê A ˜vµA2 − A + E = 0ßy² A èå_ ßø¶A−1" y²µdA2 − A + E = 0å± A − A2 = Eß=A(E − A) = E"§±A èå_ ß ÖA−1 = (E − A)" 19.  A èê ß,Í k > 1ßAk = 0ßy²µ (E − A) −1 = E + A + A 2 + · · · + A k−1

证明:等式两边同乘以E-A,则原命题等价于 E=(E-A)(E+A+A2+…+A-1 (E-A(E+A+A =E(E+A+A2+…+A-1)-A(E+A+A2+…+4-1) E+A+A2+…+4-1-(4+A2+…+4) E-A-E 证毕 21.已知三阶方阵A的行列式4=3,求:|4 解: A|=|4-1=314-1=9 27.设A,B分别为r,k阶可逆矩阵。 X B 0 证明X-1存在,并求X- 证明:直接计算de(X) 0 A B 0 det(x)= (-1)+k (-1)y+AB≠0 0 A 因此X可逆 x(B)-(10)(x)-E 因此X-1=

2 y²µ™¸>”¶± E − A ßK·Kdu E = (E − A)(E + A + A 2 + · · · + A k−1 ) (E − A)(E + A + A 2 + · · · + A k−1 ) = E(E + A + A 2 + · · · + A k−1 ) − A(E + A + A 2 + · · · + A k−1 ) = E + A + A 2 + · · · + A k−1 − (A + A 2 + · · · + A k ) = E − A k = E y." 21. Ænê A1™|A| = 3߶µ |A∗ | )µ |A∗ | = ||A|A−1 | = 33 |A−1 | = 9 27. A, B ©Oèr, kå_› " X = 0 A B 0 ! y²X−1 3ßø¶X−1" y²µÜOédet(X)" det(X) =      0 A B 0      = (−1)r+k      B 0 0 A      = (−1)r+k |A||B| 6= 0 œdXå_" X 0 B−1 A−1 0 ! = 0 A B 0 ! 0 B−1 A−1 0 ! = E œdX−1 = 0 B−1 A−1 0 !

3 30.设A是实对称矩阵,证明若A2=0,则A=0 证明: 由于A是实对称矩阵,考虑A2对角线上的元素 1<j<n aj12j≤n 又因为A2=0且a均为实数,故对于任意一行元素的平方和为零,也就是A=0。 31.证明:任一个n阶方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 对于n阶方阵A,直接构造对称矩阵B和反对称矩阵C,其中 B-A+AT

3 30. A¥¢È°› ßy²eA2 = 0ßKA = 0 y²µ duA¥¢È°› ߃A2ÈDzÉ bii = X 1≤j≤n aijaji = X 1≤j≤n a 2 ij qœèA2 = 0 Öaij˛è¢ÍßÈu?øò1ɲê⁄è"ßè“¥A = 0" 31. y²µ?òá n ê —å±L´èòáÈ°› ÜòááÈ°› É⁄" yµ Èu n ê A ßÜEÈ°› B ⁄áÈ°› C ߟ• B = A + AT 2 C = A − AT 2