复旦大学信息科学与工程学院 计算机科学与工程系《线性代数》期终考试试卷 (B卷)共7页 课程代码:INF120000 考试形式:闭卷 2008年2月 (本试卷答卷时间为120分钟,答案必须写在试卷上,做在草稿纸上无效) 专业 学号 姓名 成绩 题号 四五六|七|八|总分 ⌒装订线内不要答题 、n阶行列式计算:(每题10分,共20分) xI (1)A 1+x 其中x.≠0,i=12 第1页
第 1 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 复 旦 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院 计算机科学与工程系《线性代数》期终考试试卷 （B 卷）共 7 页 课程代码：INFO120007.0_ 考试形式：闭卷 2008 年 2 月 （本试卷答卷时间为 120 分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效） 专业 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 一、 ｎ阶行列式计算： （每题 10 分，共 20 分） （1） n n n x x x x x A + + + + + = − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 其中 x 0,i 1,2, ,n. i =
+ x,y, Xu xIV M1 1+x2y 1+x2y2 1+x2y3 1+x2yn (2)Bn=1+x3y11+x3y21+x3y3 1+ x,y,1+x,y2 1+x,J 1 二、假设A是n阶矩阵,试证 (1)矩阵A可以分解成实对称矩阵B与实反对称矩阵C之和; (2)若A=B+C,其中B是实对称矩阵,C是实反对称矩阵,而且BC=CB=0,A2=0, 则A=0。(每小题6分,共12分) 第2页
第 2 页 （2） n n n n n n n n n x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y B + + + + + + + + + + + + + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 二、假设 A 是 n 阶矩阵，试证: (1) 矩阵 A 可以分解成实对称矩阵 B 与实反对称矩阵 C 之和； (2) 若 A = B+C ，其中 B 是实对称矩阵， C 是实反对称矩阵，而且 0, 0 2 BC = CB = A = ， 则 A = 0 。（每小题 6 分，共 12 分）
三、假设x,(i=1,2…,m)不全为0,y,(i=1,2…,n)不全为0 XI 求:矩阵C的秩。(此题10分) ⌒装订线内不要答题 四、讨论参数a的值,解下列方程组。何时无解?何时有唯一的解?并请写出解:何时有无 穷多的解?并请写出解的一般形式。三元一次方程组如下: 4 xI t aa2 t x3 (此题12分) 第3页
第 3 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 三、假设 x (i 1,2, ,m) i = 不全为 0， y (i 1,2, ,n) i = 不全为 0， = n m y y y y x x x x C 1 2 3 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ， 求：矩阵 C 的秩。（此题 10 分） 四、讨论参数 的值，解下列方程组。何时无解？何时有唯一的解？并请写出解；何时有无 穷多的解？并请写出解的一般形式。三元一次方程组如下： + + = + + = − + + = 2 2 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x （此题 12 分）
五、设向量a1=(1210),a2=(-1)1,月=(2,-10.1),B2=(1-137),请分别求 L(a1,a2)+L(B,B2)和L(ax12a2)∩L(B1,B2)的维数及一个基。(此题12分) 第4页
第 4 页 五、设向量 (1,2,1,0) , ( 1,1,1,1) , (2, 1,0,1) , (1, 1,3,7) , 1 2 1 2 T T T T = = − = − = − 请分别求 ( , ) ( , ) L 1 2 + L 1 2 和 ( , ) ( , ) L 1 2 L 1 2 的维数及一个基。（此题 12 分）
六、在线性空间P[x]3中, (1)求由基(D:1,x,x2,x3到基(m):11+x,1+x+x2,1+x+x2+x3的过渡矩阵 (2)已知g(x)在基(I)下的坐标为(,0,-2,5),f(x)在基(Ⅱ)下的坐标为(70.8.-2) 求∫(x)+g(x)分别在基(I)和基()下坐标。(每小题6分,共12分) ⌒装订线内不要答题 第5页
第 5 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 六、在线性空间 3 P[x] 中， （1）求由基（I）： 2 3 1, x, x , x 到基（II）： 2 2 3 1,1+ x,1+ x + x ,1+ x + x + x 的过渡矩阵； （2）已知 g(x) 在基（I）下的坐标为 T (1,0,−2,5) ， f (x) 在基（II）下的坐标为 T (7,0,8,−2) ， 求 f (x) + g(x) 分别在基（I）和基（II）下坐标。（每小题 6 分，共 12 分）
七、将下列矩阵: A 对角化,使PAP=D,其中P是3阶非异阵,D是3阶对角阵,求矩阵P与D。(此题 12分) 第6页
第 6 页 七、将下列矩阵： − − = 2 0 1 1 1 0 1 0 0 A 对角化，使 P AP = D −1 ，其中 P 是 3 阶非异阵， D 是 3 阶对角阵，求矩阵 P 与 D 。（此题 12 分）
八、已知二次型 f(x12x2…xn)=(mx1)2+(mx2)2+…+(mxn)2-(x1+x2 +x 其中n>1 (1)求二次型的秩 (2)判断f(x1,x2…xn)是否是正定的。(每小题5分,共10分) ⌒装订线内不要答题 第7页
第 7 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 八、已知二次型； 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n f x x x = nx + nx + + nx − x + x + + x ， 其中 n 1 ； （1）求二次型的秩； （2）判断 ( , , , ) 1 2 n f x x x 是否是正定的。（每小题 5 分，共 10 分）