证设En=xn+1yn(n=1,2,…),因为 lEnkvxn+yn I lyn I ∑|zn收敛,所以∑|xn|∑|yn收敛从而∑xn,∑yn绝对收 敛级数∑二n收敛 定义44若级数∑|n|收敛,则称原级数∑二n绝对收敛;非 绝对收敛的收敛级数,称为条件收敛 例4.2判别下列级数是否绝对收敛,是否收敛 (6+51) coSIn 8″ n=I n 解(a)∵∑ (6+5i) ∑(--) n=08),∴原级数收敛 coSI n (b)∵ n=02n),∴原级数发散 ∑ 0S- 原级数条件收敛 n=1 3函数项级数证 设 nnn = + i yxz ( n = ,2,1 L),因为 || |,| |,| 22 nnnnn ≥+= yxyxz ∑ ∞ =1 || n n z 收敛,所以 ∑ , ∞ =1 || n n x ∑ ∞ =1 || n n y 收敛.从而 ∑ ∞ n=1 n x , 绝对收 敛,级数 收敛. ∑ ∞ n=1 n y ∑ ∞ n=1 n z 定义 4.4 若级数 ∑ 收敛, 则称原级数 ∞ =1 || n n z ∑ ∞ n=1 n z 绝对收敛;非 绝对收敛的收敛级数,称为条件收敛. 例 4.2 判别下列级数是否绝对收敛,是否收敛. (a) ∑ ∞ = + 0 8 i)56( n n n ; (b) ∑ ∞ =0 2 cosi n n n ; (c) ∑ ∞ =1 i n n n . 解 (a) Q ,) 8 61 ( 8 i)56( 0 0 n n n n n ∑ ∑ ∞ = ∞ = = + ∴原级数收敛； (b) Q ), 2 ee( 2 1 2 cosi 0 n nn n on n n + = ∞ − = ∞ = ∑∑ ∴原级数发散； (c) Q , π 2 sin i π 2 cos i 11 1 ∑∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = = + nn n n n n n n n ∴原级数条件收敛. 3 函数项级数