第4章级数 4.1收敛序列与收敛级数 4.2幂级数 4.3泰勒级数 4.4罗朗级数 习题课
第 4 章 级 数 4.1 收敛序列与收敛级数 4.2 幂级数 4.3 泰勒级数 4.4 罗朗级数 习题课
4.1收敛序列与收敛级数 1收敛序列 2收敛数项级数 3函数项级数
4.1 收敛序列与收敛级数 1 收敛序列 2 收敛数项级数 3 函数项级数
1收敛序列 复数序列{n}:指按一定法则有二1,二2…,En2…依次序排成 的一列数. 定义4.1若对任意给定的E>0,总存在着正整数N,当n>N 时,不等式 n 0,彐正整数N,当n>N时有, I(n +iyn)-(x+iyka 即 xn - k(xn-x+i( -yka, Lyn -ys(n-x)+i(n-yke
1 收敛序列 复数序列 ： 指按一定法则有 依次序排成 的一列数. }{ n z 21 zzz n , , , , LL 定义 4.1 若对任意给定的ε > 0,总存在着正整数 N ,当n > N 时,不等式 zz || 0,∃正整数 N ,当n > N 时有, + − + yxyx |)i()i(| < ε nn , 即 − ≤ − + − yyxxxx |)i()(||| < ε n n n , − ≤ − + − yyxxyy |)i()(||| < ε n n n
故(4.2)式成立 反之由(4.2),对E>0,彐正整数N1 使得 n>N=max{N1,N2}时有 K和yn-yk 同时成立,从而 (n-x)+i(n-y)kxmn-x+lyn-yka 即,对VE>0,彐正整数N,当n>N时 z,-2E 成立.定理得证 例4.1下面各数列否收敛?若收敛求其极限. 1+ni (a)z (b)z=e I-ni 解(a)∵n +1 1+n21+n lm (b)∵二n=cOS-π-1SIn-π ∵.z,发散
故(4.2)式成立. 反 之 由 (4.2), 对 ∀ ε > 0 , ∃ 正整数 、 ，使得 时有 N1 N2 n > } ,max{ = NNN 21 2 || ε n xx 0,∃正整数 N ，当n > N 时 zz || <− ε n 成立.定理得证. 例 4.1 下面各数列否收敛? 若收敛求其极限. (a) i1 i1 n n zn − + = ; (b) i 2 π e n n z − = ; (c) n nz − += ) 3 i 1( . 解 (a) Q 2 2 2 1 2 i 1 1 n n n n zn + + + − = , ∴lim = − .1 ∞→ n n z (b) Q π, 2 π sini 2 cos nn zn −= n ∴z 发散
/3 COS--7L 2 lm 0. 2收敛数项级数 定义4.2由1,2,…,En…构成的表达式 ∴+z.+ 称为无穷级数简称为级数,记作∑二n,即 二1+2)++2,+ 称复数序列 S=∑=n=21+ N (N=1,2.…) 为级数∑二n的部分和 定义4.3如果级数∑二n的部分和序列{S}收敛于复数S,则 称级数∑二n收敛,S称为级数和,记作S=∑n否则称级∑二n 发散 定理4.2设En=xn+iyn(n=1,2,…),S=X+iY,那 么
(c) Q π, 6 sin) 2 3 π i( 6 cos) 2 3 ( n n z n n n = − ∴lim = .0 ∞→ n n z 2 收敛数项级数 定义 4.2 由 , , , , LL 构成的表达式 21 n zzz 21 ++ + zzz n +LL 称为无穷级数,简称为级数,记作 ∑ ∞ n=1 n z ,即 . (4.3) 21 1 ∑ ++++= LL ∞ = n n n zzzz 称复数序列 N N n N n ∑ +++== zzzzS = 21 L 1 (N = ,2,1 L) 为级数 ∑ 的部分和. ∞ n=1 n z 定义 4.3 如果级数 ∑ ∞ n=1 n z 的部分和序列{SN }收敛于复数 ,则 称级数 收敛, 称为级数和,记作 S ∑ ∞ n=1 n z S ∑ ∞ = = n 1 n zS .否则称级 发散. ∑ ∞ n=1 n z 定理 4.2 设 nnn = + i yxz ( n = ,2,1 L), S X += iY ,那 么
∑n=S分∑x=X且∑ 证设Sx=∑n=∑xn+i∑yn=xN+iy 因为∑n=S分lmSx=S,所以 N→>∞ Ax=X且mny=P N 由实数项级数收敛的定义知 ∑xn=X且∑yn=Y 以是过程可逆,定理得证. 例级数∑(+),因其实部为发散的调和级数∑一知原级 n=1 n=1 数发散 例级数∑[(-1)”+i2],因其实部交错级数∑(-1)”与, n=1 虚部P级数∑一立2同时收敛,所以原级数收敛 n=ln 另外,级数∑=n收敛的必要条件为lim n=1 n→)00 定理4.3若级数∑|n收敛,则∑二n必收敛
Sz n ∑ n = ∞ =1 ⇔ Xx n ∑ n = ∞ =1 且 Yy n ∑ n = ∞ =1 . 证 设 NN N n n N n n N n N n i i yxyxzS 1 1 1 ∑∑∑ +=+== = = = , 因为 ∑ ⇔= ∞ = Sz n n 1 N SS ,lim N = ∞→ 所以 xN X N = ∞→ lim 且 yN Y N = ∞→ lim . 由实数项级数收敛的定义知 Xx 且 n ∑ n = ∞ =1 Yy n ∑ n = ∞ =1 . 以是过程可逆，定理得证. 例 级数 ∑ ∞ = + 1 ) 2 i1( n n n ,因其实部为发散的调和级数 ∑ ∞ =1 1 n n 知原级 数发散. 例 级数 ∑ ∞ = +− 1 2 ] 1 i 1 )1[( n n n n ,因其实部交错级数 ∑ ∞ = − 1 1 )1( n n n 与, 虚部 p级数 ∑ ∞ =1 2 1 n n 同时收敛,所以原级数收敛. 另外,级数 ∑ ∞ n=1 n z 收敛的必要条件为 = 0lim ∞→ n n z . 定理 4.3 若级数 ∑ 收敛, 则 ∞ =1 || n n z ∑ ∞ n=1 n z 必收敛
证设En=xn+1yn(n=1,2,…),因为 lEnkvxn+yn I lyn I ∑|zn收敛,所以∑|xn|∑|yn收敛从而∑xn,∑yn绝对收 敛级数∑二n收敛 定义44若级数∑|n|收敛,则称原级数∑二n绝对收敛;非 绝对收敛的收敛级数,称为条件收敛 例4.2判别下列级数是否绝对收敛,是否收敛 (6+51) coSIn 8″ n=I n 解(a)∵∑ (6+5i) ∑(--) n=08),∴原级数收敛 coSI n (b)∵ n=02n),∴原级数发散 ∑ 0S- 原级数条件收敛 n=1 3函数项级数
证 设 nnn = + i yxz ( n = ,2,1 L),因为 || |,| |,| 22 nnnnn ≥+= yxyxz ∑ ∞ =1 || n n z 收敛,所以 ∑ , ∞ =1 || n n x ∑ ∞ =1 || n n y 收敛.从而 ∑ ∞ n=1 n x , 绝对收 敛,级数 收敛. ∑ ∞ n=1 n y ∑ ∞ n=1 n z 定义 4.4 若级数 ∑ 收敛, 则称原级数 ∞ =1 || n n z ∑ ∞ n=1 n z 绝对收敛;非 绝对收敛的收敛级数,称为条件收敛. 例 4.2 判别下列级数是否绝对收敛,是否收敛. (a) ∑ ∞ = + 0 8 i)56( n n n ; (b) ∑ ∞ =0 2 cosi n n n ; (c) ∑ ∞ =1 i n n n . 解 (a) Q ,) 8 61 ( 8 i)56( 0 0 n n n n n ∑ ∑ ∞ = ∞ = = + ∴原级数收敛； (b) Q ), 2 ee( 2 1 2 cosi 0 n nn n on n n + = ∞ − = ∞ = ∑∑ ∴原级数发散； (c) Q , π 2 sin i π 2 cos i 11 1 ∑∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = = + nn n n n n n n n ∴原级数条件收敛. 3 函数项级数
设函数n(二)(n=1,2,…)定义在区域D上,称形如 (二)+l2(二)+…un(=) 的表达式为函数项级数,记作∑un(=).称级数的前N项和 Ux()=∑ln(=)=1(=)+2()+…+l(=) 为级数(4.4)的部分和若Vz∈D,级数(4.4)都收敛于函数U/(二),则 称级数(44)在D上收敛于U(二),或者称这级数有和函数U/(二).记作 ∑ln(=)=U(z)
设函数 ( n zu )( n = ,2 ,1 L)定义在区域D上,称形如 21 ++ L n zuzuzu )()()( +L (4.4) 的表达式为函数项级数,记作 ∑ ∞ =1 )( n n zu .称级数的前 N 项和 )()()()()( 21 1 N zuzuzuzuzU N n N ∑ n +++== = L 为级数(4.4)的部分和.若∀z ∈ D,级数(4.4)都收敛于函数U z)( ,则 称级数(4.4)在D上收敛于U z)( ,或者称这级数有和函数U z)( .记作 )()( . 1 zUzu n ∑ n = ∞ =
4.2幂级数 1幂级数的概念 2幂级数的收敛半径 3幂级数和函数的性质
4.2 幂级数 1 幂级数的概念 2 幂级数的收敛半径 3 幂级数和函数的性质
1幂级数的概念 定义4.5形如 C+C1(-20)+c2(-20)2+…+Cn(z-20)+…(4.5) 的级数称为幂级数,记作∑Cn(z-=0)”这里z为二0邻域内的任一点 0Cn(n=0,1,2,……)为复常数 若∑Cn(-20)”在区域D上收敛于函数S(z),则称S(=)为 Cn(x2-20)在D上的和函数,即 (=)=∑cn(=-z0) 常见的幂级数形式还有: ∑Cnz”=Co+c1z+c2 4.6) 定理44若在z=21(21≠0)处幂级数 收敛,那么该级数对任意满足|二1的二都绝对收敛 证由∑Cn收敛,知 lim c=1=0.即彐M>0,使 n=0
1 幂级数的概念 定义 4.5 形如 02010 2 L n zzczzczzcc 0 )()()( n +−++−+−+ L(4.5) 的级数称为幂级数,记作 ∑ .这里 为 ∞ = − 0 0 )( n n n zzc z 0z 邻域内的任一点, 、 ( )为复常数. 0 z n c n = ,2 ,1,0 L 若 ∑ 在区域 ∞ = − 0 0 )( n n n zzc D 上收敛于函数 S z)( ,则称 S z)( 为 ∑ 在 ∞ = − 0 0 )( n n n zzc D上的和函数,即 ∑ ∞ = −= 0 0 )()( n n n zzczS . 常见的幂级数形式还有： ∑ L +++++= L (4.6) ∞ = n n n n n zczczcczc 2 210 0 定理 4.4 若在 (1 = zz z1 ≠ 0)处幂级数 ∑ ∞ n=0 n n zc 收敛,那么该级数对任意满足 |||| 1 0 , 使