《复变函数与积分变换》课程教学大纲工科) 英文名称: Complex Functions and Integral Transformation 课程编号:310601 课程类型:学科方向课程 学分 适用对象:工科本科自动控制、电子、计算机、楼宇智能控制、机电、环境工程专业 先修课程:数学分析 课程的性质、目的与任务 1.课程性质 复变函数与积分变换是高等工科院校有关专业的一门基础课。 2.课程目的和任务 通过本课程的学习,使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法,为学习有 关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 二、教学内容及要求 第1篇复变函数 第1章复数与复变函数 教学内容 复数的各种表示方法;复数的代数运算;复数及其代数运算的几何意义;扩充复平面 平面点集;复变函数的概念及其几何意义;初等函数的定义及性质 教学要求 1.牢固掌握复数的各种表示方法及其运算 2.了解区域的概念。 3理解复变函数的概念,了解指数函数、对数函数、幂函数和三角函数的定义及其主要 性质 重点:复变函数的概念及其几何意义 难点:初等函数中的多值函数。 深度和广度:牢固掌握复数的各种表示方法及其运算,理解复变函数的概念。 第2章导数 教学内容 复变函数的极限、连续和导数的概念:解析函数的概念:函数解析的充分必要条件;解 析函数与调和函数的关系:由解析函数的实部求其虚部和由虚部求其实部的方法:初等函数 的解析性。 教学要求 了解复变函数的极限和连续的概念 2.理解复变函数的导数和复变函数解析的概念,掌握复变函数解析的充分必要条件
《复变函数与积分变换》课程教学大纲(工科) 英文名称：Complex Functions and Integral Transformation 课程编号：310601 课程类型：学科方向课程 学 时：56 学 分：3.5 适用对象：工科本科自动控制、电子、计算机、楼宇智能控制、机电、环境工程专业 先修课程：数学分析 一、课程的性质、目的与任务 1．课程性质 复变函数与积分变换是高等工科院校有关专业的一门基础课。 2．课程目的和任务 通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习有 关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 二、教学内容及要求 第 1 篇 复变函数 第 1 章 复数与复变函数 教学内容 复数的各种表示方法；复数的代数运算；复数及其代数运算的几何意义；扩充复平面； 平面点集；复变函数的概念及其几何意义；初等函数的定义及性质。 教学要求 1. 牢固掌握复数的各种表示方法及其运算。 2.了解区域的概念。 3.理解复变函数的概念，了解指数函数、对数函数、幂函数和三角函数的定义及其主要 性质。 重点：复变函数的概念及其几何意义。 难点：初等函数中的多值函数。 深度和广度：牢固掌握复数的各种表示方法及其运算，理解复变函数的概念。 第 2 章 导数 教学内容 复变函数的极限、连续和导数的概念；解析函数的概念；函数解析的充分必要条件；解 析函数与调和函数的关系；由解析函数的实部求其虚部和由虚部求其实部的方法；初等函数 的解析性。 教学要求 1. 了解复变函数的极限和连续的概念。 2. 理解复变函数的导数和复变函数解析的概念，掌握复变函数解析的充分必要条件
3.了解调和函数与解析函数的关系,掌握从解析函数的实(虚)部求其虚(实)部的 方法 了解初等函数的解析性。 重点:解析函数的概念:函数解析的充要条件;解析函数与调和函数的关系:;初等函数 的解析性 难点:函数解析的充要条件的证明 深度和广度:了解复变函数的极限、连续和导数的概念,理解复变函数解析的概念,掌 握从解析函数的实(虚)部求其虚(实)部的方法。 第3章积分 教学内容 复变函数积分的定义和计算方法;柯西积分定理及其推广;柯西公式;解析函数的高阶 导数。 教学要求 1.理解复变函数积分的定义,性质,了解求复变函数的积分的计算方法 2.理解柯西积分定理、柯西积分定理的推广定理。掌握柯西积分公式和高阶导数公式。 重点:柯西积分定理及其推广;柯西公式:解析函数高阶导数公式。 难点:柯西公式;解析函数高阶导数公式的证明。 深度和广度:理解复变函数积分的定义,性质,了解求复变函数的积分的计算公式:掌 握柯西积分公式和高阶导数公式的应用 第4章級数 教学内容 复数项级数:幂级数(阿贝尔(Abel)定理,收敛圆和收敛半径,和函数的解析性,解 析函数的泰勒展式,一些初等函数的泰勒展开式):罗朗( Laurent)级数解析函数的罗朗展 教学要求 1.正确理解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念。 2.了解幂级数收敛圆的概念,理解幂级数:收敛圆和收敛半径,解析函数的泰勒展式 相关定理 3.了解和函数的一些基本性质 4.会求e、sinz、血(1+)、(1+z)的麦克劳林( Maclaurin)展开式,并能利用它 们将一些简单的解析函数展开为幂级数 5.理解罗朗( Laurent)定理,会求简单的函数在圆环内展为罗朗级数 重点:解析函数在圆及圆环内展为级数的理论。 难点:罗朗定理的证明。 深度和广度:了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念,会简单的函数在圆环内展 为罗朗级数的间接方法。 第5章留数 教学内容 孤立奇点的分类及其类型的判定方法;留数的概念:留数定理:孤立奇点处留数的计算 方法;应用留数计算定积分
3. 了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的 方法。 4. 了解初等函数的解析性。 重点：解析函数的概念；函数解析的充要条件；解析函数与调和函数的关系；初等函数 的解析性。 难点：函数解析的充要条件的证明。 深度和广度：了解复变函数的极限、连续和导数的概念，理解复变函数解析的概念，掌 握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。 第 3 章 积分 教学内容 复变函数积分的定义和计算方法；柯西积分定理及其推广；柯西公式；解析函数的高阶 导数。 教学要求 1. 理解复变函数积分的定义，性质，了解求复变函数的积分的计算方法。 2. 理解柯西积分定理、柯西积分定理的推广定理。掌握柯西积分公式和高阶导数公式。 重点：柯西积分定理及其推广；柯西公式；解析函数高阶导数公式。 难点：柯西公式；解析函数高阶导数公式的证明。 深度和广度：理解复变函数积分的定义，性质，了解求复变函数的积分的计算公式；掌 握柯西积分公式和高阶导数公式的应用。 第 4 章 级数 教学内容 复数项级数；幂级数（阿贝尔（Abel）定理，收敛圆和收敛半径，和函数的解析性，解 析函数的泰勒展式，一些初等函数的泰勒展开式）；罗朗（Laurent）级数解析函数的罗朗展 式。 教学要求 1. 正确理解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念。 2. 了解幂级数收敛圆的概念，理解幂级数：收敛圆和收敛半径，解析函数的泰勒展式 相关定理。 3. 了解和函数的一些基本性质。 4. 会求 z e 、sin z 、ln(1 + z)、 (1+ z) 的麦克劳林（Maclaurin）展开式，并能利用它 们将一些简单的解析函数展开为幂级数。 5. 理解罗朗（Laurent）定理，会求简单的函数在圆环内展为罗朗级数。 重点：解析函数在圆及圆环内展为级数的理论。 难点：罗朗定理的证明。 深度和广度：了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念，会简单的函数在圆环内展 为罗朗级数的间接方法。 第 5 章 留数 教学内容 孤立奇点的分类及其类型的判定方法；留数的概念；留数定理；孤立奇点处留数的计算 方法；应用留数计算定积分
教学要求 1.掌握孤立奇点的分类方法,了解无穷远点作为孤立奇点的概念。 2.正确理解留数的概念,会求孤立极点处的留数 3.理解留数定理,掌握用留数求围道积分的方法,会用留数求一些简单实积分。 重点:留数的概念、计算、留数定理。 难点:应用留数计算定积分 深度和广度:熟练孤立奇点的分类及留数的方法,并利用留数定理求一些实积分。 第6章保形映照 教学内容 保形映照的概念;分式线性映照及其性质特点;幂级数=za(a为正有理数);指 数函数a=e及对数函数O=hnz所构成的映照;简单区域之间的保角映照 教学要求 1.理解保形映照的概念, 2.掌握分式线性映照的性质特点。 3.了解=za(a为正有理数)和o=e的映照性质。 4.会求一些简单区域(例如平面、半平面、角形域、圆、带形域等)之间的保形映照 重点:分式线性映照性质特点 难点:运用分式线性作保形映照。 深度和广度:了解保形映照的概念,重点掌握分式线性映照的性质。 第2篇积分变换 第1章傅里叶( Fourier)变换 教学内容 傅里叶积分的概念;频谱的概念;傅里叶积分定理:傅里叶变换的定义、性质、应用 δ一函数函数的概念、性质及其傅里叶变换 教学要求 1.了解傅里叶积分,傅里叶积分定理,频谱的概念,理解傅里叶变换的概念,会求一 些常见函数的傅里叶变换。 2.正确理解傅里叶变换的线性性质、位移性质、微分性质、积分性质,理解卷积的概 念及卷积定理,会用这些性质来求傅里叶变换,解线性微分方程 3.了解单位脉冲函数(d一函数)的概念及筛选性质并会用此性质来求一些函数的傅 里叶变换 重点:傅里叶变换的概念、性质、应用 难点:δ函数的概念 深度和广度:掌握傅里叶变换的概念、性质、应用 第2章拉普拉斯变换 教学内容 拉普拉斯积分的概念及其存在定理;常用函数的拉普拉斯变换;拉普拉斯逆变换概念定 理;拉普拉斯变换的性质、应用:应用部分分式、卷积性质求拉普拉斯逆变换方法;应用拉 普拉斯变换求解微分方程和微分方程组方法
教学要求 1. 掌握孤立奇点的分类方法，了解无穷远点作为孤立奇点的概念。 2. 正确理解留数的概念，会求孤立极点处的留数。 3. 理解留数定理，掌握用留数求围道积分的方法，会用留数求一些简单实积分。 重点：留数的概念、计算、留数定理。 难点：应用留数计算定积分。 深度和广度：熟练孤立奇点的分类及留数的方法，并利用留数定理求一些实积分。 第 6 章 保形映照 教学内容 保形映照的概念；分式线性映照及其性质特点；幂级数 = z （ 为正有理数）；指 数函数 z = e 及对数函数 = ln z 所构成的映照；简单区域之间的保角映照； 教学要求 1. 理解保形映照的概念。 2. 掌握分式线性映照的性质特点。 3. 了解 = z （ 为正有理数）和 e z = 的映照性质。 4. 会求一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形域等）之间的保形映照。 重点：分式线性映照性质特点。 难点：运用分式线性作保形映照。 深度和广度：了解保形映照的概念，重点掌握分式线性映照的性质。 第 2 篇 积分变换 第 1 章 傅里叶（Fourier）变换 教学内容 傅里叶积分的概念；频谱的概念；傅里叶积分定理；傅里叶变换的定义、性质、应用； —函数函数的概念、性质及其傅里叶变换。 教学要求 1. 了解傅里叶积分，傅里叶积分定理，频谱的概念，理解傅里叶变换的概念，会求一 些常见函数的傅里叶变换。 2. 正确理解傅里叶变换的线性性质、位移性质、微分性质、积分性质，理解卷积的概 念及卷积定理，会用这些性质来求傅里叶变换，解线性微分方程。 3. 了解单位脉冲函数（ —函数）的概念及筛选性质并会用此性质来求一些函数的傅 里叶变换。 重点：傅里叶变换的概念、性质、应用 难点： 函数的概念 深度和广度：掌握傅里叶变换的概念、性质、应用。 第 2 章 拉普拉斯变换 教学内容 拉普拉斯积分的概念及其存在定理；常用函数的拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换概念定 理；拉普拉斯变换的性质、应用；应用部分分式、卷积性质求拉普拉斯逆变换方法；应用拉 普拉斯变换求解微分方程和微分方程组方法
教学要求 1.理解拉普拉斯变换的概念、知道拉普拉斯变换的存在定理。 2.理解拉普拉斯变换的线性性质、微分性质、积分性质、位移性质及延迟性质 3.会用拉普拉斯变换的性质、部分分式法及查表的方法求拉普拉斯变换。 4.会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分方程组 重点:拉普拉斯变换的概念:性质:应用。 难点:拉普拉斯变换存在定理的证明。 深度和广度:掌握拉普拉斯变换的定义、性质:会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方 程及微分方程组 三、课程教学基本要求 1.课堂讲授 课堂教学方法采用黑板讲授与多媒体课件相互配合进行,以启发、互动式的讲述为主 使学生从中学到本课程的基本内容,并学会逻辑推理方法,得到数学能力的培养。 2.作业 布置习题的目的有两点:一是对基本知识内容的掌握;二是数学能力的培养。每次课(2 学时)布置5-7个题 3.考核方式:考试 考试形式以笔试为主,题型有选择题、填空题、计算题和证明题。以开卷面试为辅。 四、实践教学环节 无 五、学时分配 学时分配 章 讲课习题课实验课|上机课讨论课其他 合计 2 6 888 678 66664 2222220 6
教学要求 1. 理解拉普拉斯变换的概念、知道拉普拉斯变换的存在定理。 2. 理解拉普拉斯变换的线性性质、微分性质、积分性质、位移性质及延迟性质。 3. 会用拉普拉斯变换的性质、部分分式法及查表的方法求拉普拉斯变换。 4. 会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分方程组。 重点：拉普拉斯变换的概念；性质；应用。 难点：拉普拉斯变换存在定理的证明。 深度和广度：掌握拉普拉斯变换的定义、性质；会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方 程及微分方程组。 三、课程教学基本要求 1．课堂讲授： 课堂教学方法采用黑板讲授与多媒体课件相互配合进行，以启发、互动式的讲述为主， 使学生从中学到本课程的基本内容，并学会逻辑推理方法，得到数学能力的培养。 2．作业： 布置习题的目的有两点：一是对基本知识内容的掌握;二是数学能力的培养。每次课（2 学时）布置 5-7 个题。 3．考核方式：考试 考试形式以笔试为主，题型有选择题、填空题、计算题和证明题。以开卷面试为辅。 四、实践教学环节 无 五、学时分配 章 学 时 分 配 合计 讲课 习题课 实验课 上机课 讨论课 其他 1 4 4 2 6 2 8 3 6 2 8 4 6 2 8 5 6 2 8 6 6 2 8 7 6 6 8 4 2 6 合计 46 10 56
六、教学内容更新说明 无 制订者:苏变萍 审定者:陈东立 批准者:冯小娟 校对者:苏变萍 制定日期:2004年6月12日
六、教学内容更新说明 无 制订者：苏变萍 审定者：陈东立 批准者：冯小娟 校对者：苏变萍 制定日期： 2004 年 6 月 12 日
