第一篇复变函数 第1章复数与复变函数 复数 12复数的乘幂与方根 1.3平面点集 14复变函数 15初等函数 习题课 1.1复数 1复数及其代数运算 2复数的几何表示 3复数四则运算的几何意义 4扩充复平面 1复数及其代数运算 (1)复数的概念 称z=x+1y为复数.记x=Re(二),y=Im(二) z=1y称为纯虚数 实部虚数单位虚部2=X视为实数x 21=x1+1与z2=x2+1y2相等分x1=x2,y1=y2 z=0分x=0,y=0
第一篇 复变函数 第 1 章 复数与复变函数 1.1 复数 1.2 复数的乘幂与方根 1.3 平面点集 1.4 复变函数 1.5 初等函数 习题课 1.1 复数 1 复数及其代数运算 2 复数的几何表示 3 复数四则运算的几何意义 4 扩充复平面 1 复数及其代数运算 （1）复数的概念 称 xz += i y为复数. 记 = zx y = z)Im( ),Re( . ↑ ↑ ↑ z = i y 称为纯虚数; 实部 虚数单位 虚部 = xz 视为实数 x . 111z += i yx 与 222 z = + i yx 相等⇔ , 21 = xx .21 = yy ⇔= xz = y = 0,00 1
=x+1y和2=x-1y互称为共轭复数 (2)复数的代数运算 复数1=x1+1y1z2=x2+1y2的运算定义如下 1±z2=(x1±x2)+(y1±y2) (x1x2-y1y2)+(x1y2+x2y x1x2 +yiyi y1-x1y2 ≠ 2 +y2 +y2 复数运算所满足的算律: 交换律21+22=22+1;2122=221 结合律21+(z2+23)=(=1+=2)+3;1(2=3)=(12)=3 分配律=1(2+3)=2122+1-3 对复数的运算仍有以下事实: z+0=z,0·z=0: 若212=0则21与二2至少有一个为零反之亦然 21+2 共轭复数的运算性质: =z; 21+2=1±2 2复数的几何表示 (1)复平面
z = x + i y 和 z = x − i 111 i yx y互称为共轭复数. （2）复数的代数运算 复数 z = + 222 , z = + i yx )i()( 212121 yyxx 的运算定义如下： z z +±=± ± ( i() )1221212121z z −= + + yxyxyyxx . 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 2 1 i yx yxyx yx yyxx z z + − + + + = ) 2 ( 0 z ≠ . 复数运算所满足的算律： 交换律 1221z z z +=+ z ; 1221z z = z z . 结合律 321321z z z =++ z + z )()( + z ; 321321z z z = z z )()( z . 分配律 3121321z z z )( =+ z z + z z . 对复数的运算仍有以下事实： 0 =+ zz , z =⋅ 00 ; ⋅1 = zz , 1 1 =⋅ z z ; 若 0 z z21 = 则 1z 与 2z 至少有一个为零,反之亦然. 3 2 3 1 3 21 z z z z z zz += + . 共轭复数的运算性质： = zz ; 2121 ±=± zzzz ; 2121 =⋅ zzzz ; 2 1 2 1 z z z z =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ . 2 复数的几何表示 （1）复平面 2
称x轴为实轴,y轴称为虚轴, xOy平面为二平面 (这里用图1.1和和符号) (2)复数的模与幅角 复数的模 由于z>(x,y)(>2故称E的长度为二的模,记作二|关于2|有: ()|z|=√x2+y 此处有图1.2) (2)1|z||2l,zE=z2; (3)|z图x+y ,|x图=,|yz (4)|=12|1l|2| (5)|1+z2图=1|+|2 (6)1=1-2≥|=1|-|2 复数的幅角 由实轴的正向到向量z之间的夹角称为复数二的幅角,记作Arg二 (此处有图1.3) 显然Arg二有无穷多个值,其中每两个值相差2x的整数倍但Argz 只有一个值6,满足条件-兀<60≤兀称它为z的幅角主值,记作argz 则 Argz=argz+2kπ(k=0,±1,+2,…,-π<argz≤π) 当z=0时,我们说z的模为0,幅角不定 例1.1求Arg(2-21)和Arg(-3+41) Arg(2-21)=arg(2-2i)+2kπ = arc tan(-1)+2kπ
称 x轴为实轴， y 轴称为虚轴， xOy z z 平面为 平面. （这里用图 1.1 和和符号） （2）复数的模与幅角 复数的模 xz y K ),( ↔↔ 故称 z K 由于 的长度为 z 的模,记作 z|| .关于 有: z|| (1) 22 || += yxz ; (此处有图 1.2) (2) 2 == zzzzz || |,||| ; (3) xz +≤ y |||||| , ≤ zx y ≤ z |||| |,||| ; (4) || |||| ; 2121 = zzzz (5) |||||| ; 2121 +≤+ zzzz (6) || |||| 2121 −≥− zzzz . 复数的幅角 由实轴的正向到向量 z 之间的夹角θ 称为复数 的幅角，记作 z Arg z (此处有图 1.3). 显然 有无穷多个值，其中每两个值相差 的整数倍.但 只有一个值 Arg z 2π Arg z θ 0，满足条件− <θ 0 ≤ππ 称它为 的幅角主值，记作 . 则 z arg z zz += 2arg Arg kπ k = ± ± ",,2,1,0( −π < arg z ≤π ) . 当 z = 0时,我们说 z 的模为0,幅角不定. 例 1.1 求 − 2i)(2 Arg 和 − + 4i)3(Arg . =− − + 22i)(2 arg2i)(2 Arg kπ = − + 2)1( tanarc kπ 3
+2k兀(k=0,±1,±2,…) Arg(-3+4i)=ag(-3+4i)+2kπ = arc tan(-)+2k兀+兀 (2k+1)- arctan(k=0,土1,+2,…) 3复数四则运算的几何意义 由x=rcos6,y=rSin6得复数的三角表达式和指数表达式: z=r(cos 0+isin 8), z=re 这里b=Arg 例1.2求i,-2,1-√3的指数表达式、三角表达式 i(2+2kπ) 解 cOS -+Isin 2=2e1+2k)=cos兀+isin兀 +2kπ) 1-√3i=2e cos(m+isin (-) 若21≠0,22≠0有 定理1.1|122|==1|1=2 这里有图1.4 arg( Arg=+ Argz2 定理1.2
2 π 4 π −= + k k = ± ± "),2,1,0( ; −=+− + + 2i)43( argi)43( Arg kπ 2) ππ 3 4 ( tanarc k ++−= 3 4 k )12( π −+= arctan k = ± ± "),2,1,0( . 3 复数四则运算的几何意义 由 = rx θ ,cos y = rsinθ 得复数的三角表达式和指数表达式： rz θ += θ )isin(cos ， iθ = rz e 这里θ = Arg z. 例 1.2 求 −− i31 2, i, 的指数表达式、三角表达式. 解 2 π sini 2 π ei cos 2 π ) 2 π i( +== + k ； e22 cosπ isinπ π 2i( π ) =− = + + k ； ) 3 π (sini) 3 π e2i31 cos( 2 π ) 3 π i( =− −+−= +− k . 若 0 ,0 有: 1 zz 2 ≠≠ 定理 1.1 || |||| ， 这里有图 1.4 2121 = zzzz 21 1 ArgArg)Arg( 2 = + zzzz . 定理 1.2 || || 2 1 2 1 z z z z = ， 4
Arg()=Arg==2 4扩充复平面 (1)复数的球面表示 无限远离原点的点称为“无穷远点”,它与球面上的点N相对应,为了 使扩充复平面上的点与球面上的点一一对应,规定“无穷远点”是唯一的. 因此PZ点. (这里见图1.5) (2)扩充复平面 不包含无穷远点在内的复平面称为复平面.包含无穷远点在内的复平 面称为扩充复平面 (3)复数∞ 设有限复数a≠0,对于z=∞规定 a±∞=∞±C=∞ 0 ∞0±∞,0·∞,-以及一均无意义
1 2 2 1 ArgArg)Arg( zz z z −= 4 扩充复平面 （1）复数的球面表示 无限远离原点的点称为“无穷远点”，它与球面上的点 N 相对应，为了 使扩充复平面上的点与球面上的点一一对应，规定“无穷远点”是唯一的. 因此 P↔Z 点. (这里见图 1.5) （2）扩充复平面 不包含无穷远点在内的复平面称为复平面.包含无穷远点在内的复平 面称为扩充复平面. （3）复数∞ 设有限复数α ≠ 0，对于 z = ∞规定: α ∞± = α =±∞ ∞; α α ∞=⋅∞=∞⋅ ; 0 , 0 = ∞ ∞= α α . 0 0 ∞⋅∞±∞ ,0 , 以及 ∞ ∞ 均无意义. 5
1.2复数的乘幂与方根 1复数的乘幂 2复数的方根
1.2 复数的乘幂与方根 1 复数的乘幂 2 复数的方根 6
1复数的乘幂 对任何整数n,复数z的乘幂有: e 特别地,当z=e时,有(e)”=e"成立,即 (cos0+isin 0)"=cos n0+isinne 此公式称为棣莫弗( De moivre)公式 2复数的方根 称满足方程 z(1≠0,n≥2) 的为1n=z的n次方根,记作W=《z,或=z 设z=re,w=pe,由1”=z可得 (pe 所以 +2k e re k=0,±1,±2, 即 6+2kx 6+2k =r cos +isin 为”=z的全部根,当k取0,1,2,…,n-1时得"=z的n个单根,这 n个单根在几何上是以原点为中心,Pn为半径的圆内接正n边形的n个顶 点.当k取其它整数时,得到的w"=z的根必与这n个单根中的某个重合 若设n=en,方程v=1(n=2,3,……,z≠0)的n个单根可记为
1 复数的乘幂 对任何整数 ,复数 n z 的乘幂有： nnn θ rz i = e iθ z = e 时，有 θ ii nn θ 特别地,当 = e)(e 成立，即 nn θθθθ n +=+ sinicos)sini(cos 此公式称为棣莫弗(De Moivre)公式. 2 复数的方根 称满足方程 zwn = ( ≠ nw ≥ 2,0 ） 的 为 的 w zw 次方根，记作 n = n n w = z ，或 n w z 1 = . 设 iθ = rz e , ϕ ρ i w = e ,由 zwn = 可得 n )e( iϕ ρ iθ = r e 所以 n k n w er θ π θ ρ 2 i 1 i e + == k = ± ± ") ,2 ,1,0( 即 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = n k n k rz nn 2 π sini 2 π cos 11 θ θ . 为 zw 的全部根，当 n = k 取 " n −1,,2,1,0 时得 zwn = 的 个单根，这 个单根在几何上是以原点为中心， n n n r 1 为半径的圆内接正 边形的 个顶 点.当 n n k 取其它整数时，得到的 zwn = 的根必与这n个单根中的某个重合. 若设 n wn 2π i = e ，方程 =1 n w n = " z ≠ )0,,3,2( 的n个单根可记为 32 1 , , , , ,1 n− " wwww nnnn . 7
它们是单位圆内接正n边形的n个顶点,以n=3为例作图1.6,n=6为 例作图1.7. 此处有图(图1.7,1.6) 例1.3求一8i的三个三次方单根 解(-8i)=2e63(k=0,1,2). 例1.4计算√-1-i 汇+2k 解√y-1-i=42(Ccos +iSin4t+2kπ ).(k=0,1)
它们是单位圆内接正n边形的n个顶点，以n = 3为例作图 1.6， 为 例作图 1.7. n = 6 此处有图(图 1.7,1.6) 例 1.3 求− i8 的三个三次方单根. 解 π ) 3 2 6 π i( e2i)8( 3 1 +− k =− k = )2,1,0( . 例 1.4 计算 − − i1 . 解 ) 2 π 2 π 4 3 sini 2 π 2 π 4 3 (cos2i1 4 k +− k + +− =−− . k = )1,0( 8
1.3平面点集 1区域 2曲线 3单连通域和多连通域
1.3 平面点集 1 区域 2 曲线 3 单连通域和多连通域 9
1区域 邻域圆:|二-二0k内部的点的集合称为二0的邻域或圆盘.由 0z==0k<δ所确定的点集称为二的去心邻域 内点设0为平面点集E内的一点,若存在二0的一个邻域,而该邻域 属于E,则称二0为E的内点 开集若点集E的每一个点都是内点,则称E为开集 边界点若点z0的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点, 则称二0为E的边界点 边界集E的全部边界点所组成的点集,称为集E的边界 连通的若点集E内任何两点,都可用属于E的折线连接起来,则称 集E是连通的 开区域连通的开集称为开区域或区域 闭区域开区域连同它的边界一起,称为闭区域. 有界集、无界集若集E可以包含在原点的一个邻域内,那么称集E为 有界集.否则称集E为无界集 2曲线 (1)简单曲线、简单闭曲线 定义1.1设x(1)及y(1)是[a,B]上的连续实函数,则由 x=x(t (a≤t≤B) y=y( 或由 (1)=x(1)+iy(t)(a≤t≤B
1 区域 邻域 圆：| zz 0 |<− δ 内部的点的集合称为 z0 的邻域或圆盘.由 zz 0 ||0 <−< δ 所确定的点集称为 的去心邻域. 0z 内点 设 z0为平面点集E内的一点，若存在 的一个邻域，而该邻域 属于 0z E，则称 为0z E的内点. 开集 若点集E的每一个点都是内点，则称E为开集. 边界点 若点 z0的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点， 则称 为0z E的边界点. 边界 集E的全部边界点所组成的点集，称为集E的边界. 连通的 若点集 E 内任何两点，都可用属于 E 的折线连接起来，则称 集E是连通的. 开区域 连通的开集称为开区域或区域. 闭区域 开区域连同它的边界一起，称为闭区域. 有界集、无界集 若集E可以包含在原点的一个邻域内，那么称集 E为 有界集.否则称集E为无界集. 2 曲线 (1) 简单曲线、简单闭曲线. 定义 1.1 设 x t)( 及 y t)( 是 α β ],[ 上的连续实函数，则由 ⎩ ⎨ ⎧ = = )( )( tyy txx α ≤ t ≤ β )( , 或由 z t x t += y t)(i)()( α ≤ t ≤ β )( 10