教学内容释疑解难 第5章 1.孤立奇点0(=0k<+∞)的分类问题 方法与步骤 找出函数∫(=)的所有孤立奇点当题目没有特别强调在扩充复平面上求解时,不必考虑无穷远点∞ 般地,我们遇到的题目中函数f(=)的孤立奇点基本上均为∫()的表达式无意义的点,如0为 Sin 的孤立奇点,z=1,zk=1 2k+1 tan(E-D) 的可列个孤立奇点 cosz一 但我们心里要明白,还有一些函数如∫()=2,f(-)=在整个复平面上是处处不解析的,它们没有孤 立奇点原点及负半轴上的点是函数f()=Lnz的奇点,但不是孤立奇点 第二步 判断lim∫(-)是否等于常数,如果是常数,则二。为∫(z)的可去奇点 sln二 sin 例如:因为lim 1,所以z=0为函数f(=) 的可去奇点 第三步 如果lim∫(=)不等于常数,看它是否属于下面两种类型 ①若lim(z-=0)4f(=)=c(c为不等于0的常数),则=为f(z)的k阶极点 →-0 例如:因为lim(=-0)=2(x-1 1≠0,所以z=0为f(=)的二阶极点 ②若∫()为分母含三角函数、指数函数情形,则通过分母的零点来判断孤立奇点是否为极点 例如:函数f(=) 的分母有零点z=2π,由于(cosz-1ly 1:=2k=0 (cosz-1)"l=2k=-1≠0,从而z=2k丌为分母cosz-1的二阶零点.又因为z=2{不是分子e的零 点,所以z=2kπ为∫(-)的二阶极点 例如:函数f()= 的分母有零点z=2kπi(k=0,±1,±2…),由于[e-1)2 (e-1)2]l2;≠0,从而z=2kxi为分母的二阶零点又因为z=2kxi当k≠0时不是分子的零点, 故z=2kπi(k≠0)为∫()的二阶极点当k=0时x=0为分子的一阶零点,故z=0为f()的一阶极 第四步 如果第三步不易做到,此时只好将∫(=)在孤立奇点〓o的解析邻域内展为罗朗级数,依孤立奇点分 类的定义来判断其类型.若级数中有无穷多项(二--=0)的负指数幂,则=0为f(z)的本性奇点,若级数中 只有有限项(-=0)的负指数幂,则=0为f(二)的极点(同时可知极点的阶数)
教学内容释疑解难 第 5 章 1. 孤立奇点 )|(| 的分类问题. zz 00 +∞< 方法与步骤 第一步： 找出函数 zf )( 的所有孤立奇点.当题目没有特别强调在扩充复平面上求解时，不必考虑无穷远点∞ . 一般地，我们遇到的题目中函数 的孤立奇点基本上均为 的表达式无意义的点，如 zf )( zf )( 0 为 1cos e ,e , )1( 1 , sin 1 2 z − zz z − z z z 的孤立奇点, z = ,1 π 2 12 1 + += k zk 为 1 )1tan( − − z z 的可列个孤立奇点. 但我们心里要明白,还有一些函数如 )( = zzf , = zzf ||)( 在整个复平面上是处处不解析的，它们没有孤 立奇点.原点及负半轴上的点是函数 = Ln)( zzf 的奇点，但不是孤立奇点. 第二步： 判断 是否等于常数，如果是常数，则 为 )(lim 的可去奇点. 0 zf →zz 0 z zf )( 例如：因为 1 sin lim 0 = → z z z ，所以 为函数 z = 0 z z zf sin )( = 的可去奇点. 第三步： 如果 )(lim 不等于常数，看它是否属于下面两种类型: 0 zf →zz ① 若 czfzz （ 为不等于 0 的常数），则 为 的 阶极点. k zz − = → 0 )()(lim0 c 0 z zf )( k 例如: 因为 01 )1( 1 )0(lim 2 2 0 ≠−= − − → zz z z ，所以 z = 0 为 zf )( 的二阶极点. ② 若 zf )( 为分母含三角函数、指数函数情形，则通过分母的零点来判断孤立奇点是否为极点. 例如：函数 1cos e )( − = z zf z 的分母有零点 = 2kz π ，由于 0|)'1(cos z − =2kz π = ， z =2kz π ≠−=− 01|')'1(cos ，从而 = 2kz π 为分母 z −1cos 的二阶零点.又因为 不是分子 的零 点，所以 为 的二阶极点. = 2kz π z e = 2kz π zf )( 例如：函数 2 )1(e )( − = z z zf 的分母有零点 = 2kz π i ( k = ± ± ,2 ,1 ,0 L)，由于 ， ，从而 为分母的二阶零点.又因为 0|]')1[(e 2 π i 2 − = kz = z 0|']')1[(e 2 π i 2 − = kz ≠ z = 2kz π i = 2kz π i 当 时不是分子的零点， 故 为 的二阶极点.当 k ≠ 0 2 π kkz ≠= )0( i zf )( k = 0时 z = 0 为分子的一阶零点，故 为 的一阶极 点. z = 0 zf )( 第四步： 如果第三步不易做到，此时只好将 在孤立奇点 的解析邻域内展为罗朗级数，依孤立奇点分 类的定义来判断其类型.若级数中有无穷多项 zf )( 0 z )( 0 − zz 的负指数幂，则 为 的本性奇点，若级数中 只有有限项 的负指数幂，则 为 的极点（同时可知极点的阶数）. 0 z zf )( )( 0 − zz 0 z zf )(
例如:因为函数f()=e=∑=∑ m0nm0m!,故z=0为f(-)的本性奇点 例如:因为函数f(=)= cos22!4! (m为整数),所以当m≤2时,z=0为 f(二)的可去奇点;当m>3时,z=0为f(二)的m-2阶极点 在这一步里要求对常用函数的罗朗展式较为熟悉 无穷远点作为孤立奇点的分类 方法与步骤 第一步:判断lim∫(=)是否等于常数,若为常数,则z=∞为∫(=)的可去奇点 例如:lim =0,则z=∞为f(二)的可去奇点 →z(z2-1) 第二步:令w=-,Q()=f(-),判断w=0作为函数g(v)的孤立奇点的类型(方法步骤同上面 5.3中1所述),依据无穷远点作为孤立奇点的分类的定义下结论 例如:判断函数∫(二)=ze=的孤立奇点z=∞的类型 解:设w=-,q(w)=f(), 而 limo()=lime"=1 故=0为o()的一阶极点,即z=∞为f()=e的一阶极点 例如:判断函数f 的孤立奇点z=∞的类型 解:设=-,()=f(-),则 sh nlw (2k+1 sh 显然,W=0为()的本性奇点,即z=∞为f(-) 的本性奇点
例如：因为函数 ∑∑ ∞ = − ∞ = == = 0 1 0 1 ! 1 ! ) 1 ( e)( n n n n z n zn z zzzf ，故 z = 0 为 zf )( 的本性奇点. 例如：因为函数 m m z zzz z z zf −+− L = − = cos1 !6!4!2 )( 642 ( m 为整数),所以当 m ≤ 2 时, z = 0 为 zf )( 的可去奇点;当 m > 3 时, 为 的 z = 0 zf )( m − 2 阶极点. 在这一步里要求对常用函数的罗朗展式较为熟悉. 2. 无穷远点作为孤立奇点的分类 方法与步骤 第一步：判断 是否等于常数，若为常数，则 zf )(limz ∞→ z = ∞ 为 zf )( 的可去奇点. 例如： 0 )1( 12 lim 2 = − − ∞→ zz z z ，则 为 z ∞= zf )( 的可去奇点. 第二步：令 , 1 z w = ), 1 ()( w ϕ = fw 判断 w = 0 作为函数ϕ w)( 的孤立奇点的类型（方法步骤同上面 5.3 中 1 所述），依据无穷远点作为孤立奇点的分类的定义下结论. 例如：判断函数 z zzf 1 = e)( 的孤立奇点 z = ∞ 的类型. 解：设 , 1 z w = ), 1 ()( w ϕ = fw 则 w w w e ϕ )( = , 而 1elim)(lim0 0 == → → w w w ϕ w , 故 w = 0 为ϕ w)( 的一阶极点,即 z = ∞ 为 z zezf 1 )( = 的一阶极点. 例如：判断函数 z z zf sh )( = 的孤立奇点 z = ∞ 的类型. 解： 设 , 1 z w = ), 1 ()( w ϕ = fw 则 2 ee1 sh)( 11 ww w w ww − − ϕ ⋅=⋅= 2 )(! 1 ! 1 0 0 ∑ ∑ ∞ = ∞ = − − ⋅= n n n n wnwn w ∑ ∞ = + = 0 2 )!12( 1 k k wk , 显然， 为 w = 0 ϕ w)( 的本性奇点,即 z = ∞ 为 z z zf sh )( = 的本性奇点
