复变函数与积分变换试题与答案 、填空题(3分×5) 1.8的三个立方根分别是 2.函数∫(x)=e在z平面上是否解析,有无奇点及弧立奇点 3.设C是正向圆周1,则∮ dE 4.分式线性映照具有:保性,保性,保性 5.设f0的拉代积分存在,则L[f()]= 二、判断题(2分×7,请在题后括号内打“√”、“×”)。 1+1(2(1+1) 若f(x=)存在,则-)在二0处解析。 3.解析函数的导函数仍为解析函数。 4.幂级数的和函数在其收敛圆内解析。 5.函数在弧立奇点的留数是其罗朗展式中的C1 6.从团≤1到M≤1的分式线性函数构成的映照的一般形式为 2-二0 7.单位脉冲函数的傅氏变换结果为1 计算题:(8分×4) SIn 1
复变函数与积分变换试题与答案 一、填空题（3 分×5） 1．8 的三个立方根分别是 。 2．函数 z )( = ezf 在 z 平面上是否解析，有无奇点及弧立奇点 。 3．设 C 是正向圆周|z|=1，则 ∫ c n z dz = 。 4．分式线性映照具有：保 性，保 性，保 性。 5．设 f(t)的拉代积分存在，则 L [f(t)]= 。 二、判断题（2 分×7，请在题后括号内打“√”、“×”）。 1．1+i<2(1+i) ( ) 2．若 存在，则 )( f(z)在z 0 ′ zf 0处解析。 （ ） 3．解析函数的导函数仍为解析函数。 （ ） 4．幂级数的和函数在其收敛圆内解析。 （ ） 5．函数在弧立奇点的留数是其罗朗展式中的C-1 （ ） 6 ． 从 |Z| ≤ 1 到 |w| ≤1 的分式线性函数构成的映照的一般形式为 0 0 zz zz ew i − − = θ 。 （ ） 7．单位脉冲函数的傅氏变换结果为 1。 （ ） 三、计算题：（8 分×4） 1． dz z z ∫ z =1|| 3 sin 1
H=4(+1)(-3) 3.设f(z)= (二+i)°(二- 求Resf(z)-i]
2． dz zz ∫ z =4|| −+ )3)(1( 1 3．设 )2()( 1 )( 10 −+ = ziz zf ，求 −izfs ]),([Re 2
4 d= 四、解答题:(8分×3) 求由u(x,y)=x2-y2为实部的解析函数f(z),使f0)=0
4． dz z ze z z ∫ = − 2|| 2 1 四、解答题：（8 分×3） 1． 求由 为实部的解析函数 f(z)，使 f(0)=0 22 ),( −= yxyxu 3
2.求函数f()= 在圆环00映照成单位圆wl<1的分式线性函数,并使f(l)=0, f(-1)=1
2． 求函数 )1( 1 )( 2 zz zf − = 在圆环 < z − < 1|1|0 内的罗朗展式。 3．求把上半平面 映照成单位圆 的分式线性函数，并使 f(i)=0， f(-1)=1。 zI ＞0)( m w ＜1|| 4
五、解答题(第1小题7分,第2小题8分) 1.设F[f(O=F(),求F[f(2t-5) 2.求方程y”+2y-3y=e满足初始条件y1==1,川=。=0的解
五、解答题（第 1 小题 7 分，第 2 小题 8 分） 1． 设 F = wFtf )()]([ ，求 F tf − )]52([ 2． 求方程 t eyyy − ′′ + ′ 32 =− 满足初始条件 1 y′ t=0= ， 0 0 = t= y 的解。 5
*公式L[e"]= 参考答案 否有无 「2min=1 3.原式 0n≠1 4.对称
* 公式L [e -t]= 1 1 s + . 参考答案 一、1． 2 +− 31 i −− 31 i 2． 否 有 无 3． 原式= ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = 10 12 n π ni 4． 对称 角 圆 6
原式=f()e"dhr 1. 三、1.解:原式(6分)=2msin2)==0 分) 2.解:原式(3分)= (5分) 3z+1 3.解:原式=Res团f(=)-(3分)=m(z+ (5分) (二+i)(=-2) (3分) (-2)0(2分)-1 (2+1)0 4.解:原式(4分)=2m{Res-,1|+Re 1}(4分)=m(e+e)=2mchl ax ou=2y (x)=c(c∈R) (2分) f(0)=0∴c=0(2分)∴f(-)=x2-y2+2xy+i= (2分) 解 ∑(-1)(z-1) (3分) (-1)"n(=-1) )=∑(-1)n( (3分) 3.解:设w=e (3分) f(-1) (3分) 分)
5． 原式= ∫ ∞ − 0 )( dtetf st 二、 1. × 2. × 3.√ 4.√ 5.√ 6.× 7. × 三、1. 解：原式 (6 分) 0 )(sin !2 1 2 = = ′′ z π zi ＝0 （2 分） 2．解：原式（3 分） ∫ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = 4|| 1 1 3 1 4 1 z dz zz =0 （5 分） 3．解：原式 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ = − = + −→ )2()( 1 )(lim !9 1 3]),([Re 10 10 ziz izfs iz iz （ 分） （5分） （3 分） 10 )2( !9 lim !9 1 − − = −→ z iz =（2 分） 10 )2( 1 + i − 4．解：原式（4 分） ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1, 1 Re1, 1 Re2 2 2 z ze s z ze si z z π （4 分）= )( −1 π + eei = πich12 四、1．解：∵ y v x x u ∂ ∂ =∂= ∂ ∂ ∴ = ∂ + xGxyv )( ∵ y y u xGy x v = 2)(2 ∂ ∂ −=+= ∂ ∂ ∴ = ∈ RccxG )()( （2分） ∴ )( )2( icxyyxzf 22 = +− + ∵ f = 0)0( ∴c = 0 （2 分）∴ 22 2 )( = − + 2 + = zixyyxzf （2分） 2．解：∵ ′ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −−−= ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ −= ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∞+ = n n n z zz z )1()1( 11 11 1 0 2 （3 分） （2 分） 1 0 )1()1( − +∞ = ∑ −−−= n n n zn ∴ （3 分） 2 0 )1()1()( − +∞ = ∑ −−= n n n zf zn 3．解：设 iz iz ew i + − = θ （3 分） ∵ f − = 1)1( ∴ i i e i − + −− = θ 1 1 1 ∵ iei = − θ （3 分） ∴ z i iz e z i iziw i + − = + − −= − 2 π （2 分） 7
五、1.解:P[f(21-5=f(2-5ed(2分) f(u)e 2 du (u=21-5)(3分)=-e2 2 2分) 2.解:方程两边同时施加拉氏变换得 s-y(s)-sy(s)-y(s)+2(sY(s)-y(s)J-Y(s) 代入初始条件: (S2+2S-3)(S)= (4分) S+1 +2 Y()=∑ResY(s)e",sk (4分)
五、1．解：F （2 分） ∫ ∞+ ∞− − tf =− − dtetf ωti )52()]52([ ∫ ∞+ ∞− + − = dueuf u i 2 5 )( 2 1 ω (u＝2t－5)（3 分） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 22 1 2 5 ω ωfe i （2 分） 2．解：方程两边同时施加拉氏变换得： 1 1 )()]()([2)()()( 2 + −− ′ =−−+ s sYsyssYsyssysYs 代入初始条件： 1 1 1 )()32( 2 + + =−+ S SYSS （4 分） ∴ )1)(3)(1( 2 )( −++ + = sss s sY ∑= = 4 2 ],)([Re)( k k st sesYstY sk = − −3,1,1 t t t eee − − −+−= 4 1 8 3 8 1 3 （4 分） 8