复变函数与积分变换试题与答案 、填空题(每空1分) 1.z=-12-2i的三角表示式 指数表示式 2.limf()表示以 方式趋于z0时,f()的极限。 3.设几(z)=(xy)+iv(x3y),则∫()= 4.积分 dz =lx2+5z+6 5.函数f(x)= ln(二+1) 的奇点 ,孤立奇点 极 点 6.若O=f()在二为共形映射 表示这个映射在z的转动角 表示这个映射在z的伸缩率。 7.分式线性映射具有 性, 8.如果要把带形域映成角形域,我们经常利用 函数 9.傅代变换中,F(O) f(O= 0.拉代变换中,F(s) f)= 11.以T为周期的函数f(),即f计+7)=()>0),当f0)在一个周期上是分 段连续时,则有L[f()= 二、判断题(每题2分,共20分,请在正确的题打“√”,错误的题后打“×”) 1.区域Im(z)>0是无界的单连通的闭区域。() 2.初等函数在其定义域内解析,可导。() 3.解析函数2)=(xy)+in(xy)的u(xy)与v(xy)互为共扼调和函数。() 4.如果(z)在z解析,那么八z)在二连续。() 5.如果f(=。)存在,那么(=)在二解析。()
复变函数与积分变换试题与答案 一、填空题（每空 1 分） 1． z −−= 212 i 的三角表示式： ，指数表示式 。 2． 表示 zf )(lim z以 o →zz 方式趋于z0时，f(z)的极限。 3．设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则 ′ zf )( = = 。 4．积分∫ =1|| + + 2 z zz 65 dz = 。 5．函数 z z zf )1ln( )( + = 的奇点： ，孤立奇点： 极 点： 。 6．若ω = zf )( 在zo为共形映射， 表示这个映射在zo的转动角 表示这个映射在zo的伸缩率。 7．分式线性映射具有 性， 性， 性。 8．如果要把带形域映成角形域，我们经常利用 函数。 9．傅代变换中， F ω)( = ，f(t)= 。 10．拉代变换中， sF )( = ，f(t)= 。 11．以 T 为周期的函数 f(t)，即 f(t+T)=f(t)(t＞0)，当 f(t)在一个周期上是分 段连续时，则有 L tf )]([ = 。 二、判断题（每题 2 分，共 20 分，请在正确的题打“√”，错误的题后打“×”） 1．区域 Im(z)＞0 是无界的单连通的闭区域。（ ） 2．初等函数在其定义域内解析，可导。（ ） 3．解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的 u(x,y)与 v(x,y)互为共扼调和函数。（ ） 4．如果f(z)在zo解析，那么f(z)在zo连续。（ ） 5．如果 存在，那么 )( f(z)在z o ′ zf o解析。（ ） 1
6.如果z是()的奇点,那么)在二不可导。() 7.如果u(xy),v(xy)的偏导数存在,那么f=)=H+i可导。() 8.每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。() 9.幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。() 10.在=处可导的函数,一定可以在z的邻域内展开成泰勒级数。( 三、计算(每题26分) dC:|=-2i=-,取圆周正向 +1 2.hC==2,积分沿圆周正向。 2
6．如果zo是f(z)的奇点，那么f(z)在zo不可导。（ ） 7．如果 u(x,y)，v(x,y)的偏导数存在，那么 f(z)=u+iv 可导。（ ） 8．每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。（ ） 9．幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。（ ） 10．在zo处可导的函数，一定可以在zo的邻域内展开成泰勒级数。（ ） 三、计算（每题 26 分） 1． dz z e C iz ∫ + 1 2 2 3 izC |2:| =− ，取圆周正向。 2． dz z z C ∫ π − 2 ) 2 ( sin zC = 2|:| ，积分沿圆周正向。 2
3.=c=+0==c-35积分沿圆周正向 4.I= xsin x >0)的值
3．∫ =2|| −−+ 10 )3)(1()( z zziz dz 积分沿圆周正向。 4． ∫ ∞+ + = 0 22 sin dx ax xx I （a＞0）的值 3
四、求解(每题6分) 1.求u(x,y)=y3-3xy与它的共扼调和函数v(x,y)构成的解析函数 f(e=u(x, y)+iv(x, 2.求幂级数∑-的和函数,并注明其收敛域。 nk
四、求解（每题 6 分） 1．求u(x，y)=y 3－3x 2 y与它的共扼调和函数v(x，y)构成的解析函数 ， += ，yxivyxuzf )()()( 2．求幂级数∑ ∞ = − 0 2 ! )1( n n n z 的和函数，并注明其收敛域。 4
3.求对数函数的主值ln(1+z)在=0处的泰勒展式。 4.求函数 在z=2处的罗朗展式,并指明其收敛圆环
3．求对数函数的主值 ln（1＋z）在 z=0 处的泰勒展式。 4．求函数 )2)(1( 1 zz −− 在 z=2 处的罗朗展式，并指明其收敛圆环。 5
5.应用付代变换解微分方程 H(1)+H()=6(1) 0<t<+0 6.求F()=这个拉氏变换的逆变换。 参考答案 填空题(每空1分) 丌-isin,4e6 2.任何 3.a2+2,V,-iy 5.0,-1,负实轴,0,无 6.Argf(=a。),|f(c=。):7.保角,保圆,保对称:8.指数
5．应用付代变换解微分方程： ′ + = δ ttHtH )()()( − ∞ < t < +∞ 6．求 1 )( 2 + = s s sF 这个拉氏变换的逆变换。 参考答案 一、填空题（每空 1 分） 1． ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ππ 6 5 sin 6 5 cos4 i ， i e π 6 5 4 − ； 2．任何； 3． ， ； + ivu xx －iuv yy 4．0； 5．0，－1，负实轴，0，无； 6． ，)( o ′ zfArg )( o ′ zf ； 7．保角，保圆，保对称； 8．指数； 6
-a,2厂-/(o)-dm ∫。fo-"d,2CmF(ok2d;1.2mJO" 、判断题(每题2分,共20分) 2. 4.√ 三、计算(每题6分) 解: (2分 原式=2 Ti Re slf(),i](3分) 22+139)=m02)202(分m(分 2.解:=2m"(E) (3分) 原式=2 TiRe slf() nk =2mcos+1(2分)=0(1分)=2mcos5(2分)=0(1分) 3.解:=-2m{Resf(二),3]+Res(=),o]}(2分) +0}(3分) (1分) =2πiRes a](2分)= (2分) 四、求解(每题6分) 解:∵ Xv= xv-+g(x g(x)(2分
9． ∫ ， ∞+ ∞− − dtetf ωti )( ∫ ∞+ ∞− − ωω π ω def ti )( 2 1 ； 10． ∫ ， ∞+ − 0 )( dtetf st ∫ ∞+β π ∞−β i i stdsesF i )( 2 1 ； 11． ∫ − − − T st sT dtetf e 0 )( 1 1 二、判断题（每题 2 分，共 20 分） 1．×； 2．×； 3．×； 4．√； 5．×； 6．×； 7．×； 8．×； 9．×； 10．×。 三、计算（每题 6 分） 1．解： ∫ − + = c iz dz iz iz e （2 分 原式 = π izfsi ]),([Re2 （3 分） ( ) iz iz iz ei + = = 2π （3 分） (1 分) −1 = πe iz iz z e i = = 2 2π (2 分) = πe −1 （1 分） 2．解： ! )( 2 )( n zf i o n π= （3 分） 原式 ] 2 ),([Re2 π π ⋅= zfsi 2 π cos2 π = = z zi （2 分）=0（1 分） 2 π cos2 π = = z zi （2 分） （ = 0 1 分） 3．解： −= π + zszfsi ∞]}),[(Re]3),([{Re2 （2 分） ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + −= 0 )3(2 1 2 10 i πi （3 分） 10 i)3( i + −= π （1 分） 4．解：∵ ],[Re2 22 22 aie az z sidxe ax x ix iz + π= + ∫ ∞+ ∞− (2 分) a a ie e i − − =⋅= ππ 2 2 (2 分) ∴ a e ax xx − ∞+ ∞− = + ∫ π 2 1sin 22 (2 分) 四、求解（每题 6 分） 1．解：∵ y v xy x u ∂ ∂ =−= ∂ ∂ 6 ∴ ∫ +−=−= )(36 2 v xgxyxydy )(3 2 xgy x v +−= ′ ∂ ∂ （2 分） 7
3y2=g(x)=-3y2+3x2∴g(x (2分) x,y)=x32-3xy2+c f(x)=(y3-3x2y)+i(x32-2xy2+c)=i(3+c)(2分) 2.解:∑ -k+∞(6分) ! =k1 1+ (3分) (2分)|=k1 4.解:将f()在14z-2+∞内展开为罗朗级数 (2分) (2分)=∑(-1 原式=∑(-1) (2分)(+∞丬2-2|1) 5.解:∵F[H()+1+()=F[d(t) ∴F[H(H+[H()=1(2分)∴F团H 衰减函数∫()= Fy=-1 (2分) 0t<0 +I0 t≥0 ∴H(= 101<0 (2分 6.解:f0=cost(公式)
∵ y u x v ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∴ ∴g(x)=x 2 22 =− ′ +−= 33)(3 xyxgy 3 +c （2 分） ∴ +−= cxyxyxv 3 2 3),( ∴ )2()3()( （2 分） 23 3 2 +−+−= cxyxiyxyzf )( 3 += czi 2．解： 2 )1( 0 2 ! )1( − ∞ = = − ∑ z n n e n z z || z − > )1|2|( 5．解：∵F ′ + + ttH )(1)([ = F td )]([ ∴iω F [H(t)]+F [H(t)]=1（2 分）∴F [H(t)]= 1 1 iω + ∵衰减函数 F [f(t)]= ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − 00 0 )( t te tf βt + iωβ 1 （2 分） ∴H(t)= （2 分） ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ − 00 0 t te βt 6．解：f(t)=cost（公式） 8
s2+1有两个一级零点s1=i,s2=-i (1分) f()=L (2分∑Re e",s2分) (1分)1 t>0
1 2 s + 有两个一级零点s1=i，s2=－i （1 分） ∴f(t)=L －1 is st is st k st k e s s e s s se s s s s s = = −= + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∑ 22 2, 1 Re)2( 1 2 2 1 2 分 （ 分） （1 分） cos)( 0 2 1 =+= > − ttee itit 9