复变函数与积分变换试题与答案 题判断(每题2分,共10分,请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”) f(z)=sinz是有界函数 2、函数f()=e是以2xi为周期的周期函数。 3、如果二0是f()的奇点,则f(-)在不可导。 4、若函数f(-)在=处解析,则f(z)也在二解析 5、、的若u(x,y)与vx,y)都是调和函数,则f(=)=l(x,y)+n(x,y)是解析函 二、填空题(每题4分,共16分) 1、设 则|= ,arg a 2、(1+i) 3、Ln(-3i) ,,主值ln(-3i) 4、f(1)=t2+le'+esin6,则f(1)的拉氏变换是 三、解答题(8分+12分=20分) 1、求∫(x2+)t,其中C是沿曲线y=x2由点=0到点==1+1 2、根据R的取值不同,讨论并计算积分 的值。其中C是不 二+1)(二-2) 经过z=-1和z=2的正向圆周|z|=R(R>0)
复变函数与积分变换试题与答案 一、题判断（每题 2 分，共 10 分，请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”） 1、 = sin)( zzf 是有界函数 。 （ ） 2、函数 是以 z )( = ezf 2π i 为周期的周期函数。 ( ) 3、如果 z0是 (zf )的奇点，则 (zf )在 不可导。 z0 （ ） 4、若函数 在 处解析，则 也在 解析。 ( )zf z0 n)( zf )( z0 （ ） 5、、的若 ( ) , yxu 与 ( , yxv )都是调和函数，则 ( ) = ( ) ( + ,, yxivyxuzf ) 是解析函 数 。 ( ) 二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 1、设 z = i i 1+ 2 则 | z | = ，arg z 。 2、 =+ 6 i)1( ， =+ i ( i)1 。 3、 Ln（－3 i ）= ，主值 ln（－3 i ）= 。 4、 tetettf ，则 的拉氏变换是 tt )( 6sin 2 2 ++= tf )( 。 三、解答题（8 分+12 分=20 分） 1、求∫ + ，其中 C 是沿曲线 由点 c )( dziyx 2 2 = xy z = 0 到点 1+= iz 2、根据 R 的取值不同，讨论并计算积分 ∫ −+ c zzz dz )2)(1( 2 的值。 其中 C 是不 经过 z = -1 和 z = 2 的正向圆周 | z | = R ( R > 0 )
四、解答题(每题8分,共16分) 1、已知(x,y)=y3-3x2y是调和函数,求其共轭调和函数v(x,y), 2、f(x)=x2-在何处可导?何处解析?并在可导处求f(z)
四、解答题（每题 8 分，共 16 分） 1、已知 yxyyxu 是调和函数，求其共轭调和函数 ， 23 −= 3),( yxv ),( 2、 −= iyxzf 2 )( 在何处可导? 何处解析？ 并在可导处求 ′ zf )( . A —１
五、解答题(1、2题每题8分,3题6分,共22分) 1、求将单位圆|z|<1内保形映照到单位圆|w|<1内,且满足∫()=0, ag/()=z的分式线性映照 、将f()= (二-1)(=-3) 在1<|z|<3上展开成罗朗级数。 3、指出f(x)= 在有限复平面上的孤立奇点及类型,并求奇点处的留数
五、 解答题（1、2 题每题 8 分，3 题 6 分，共 22 分） 1、求将单位圆 | z | < 1 内保形映照到单位圆 | w | < 1 内， 且满足 0) 2 1 f ( = ， 2 ) 2 1 (arg π f ′ = 的分式线性映照。 2、将 )3)(1( 1 )( −− = zz f z 在 1< | z | < 3 上展开成罗朗级数。 3、指出 4 2 1 )( z e zf z − = 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数 A —２
六、计算题(每题8分,共16分) 1、求正弦函数f(1)= sin t.t的傅氏变换。 2、利用拉氏变换求解微分方程 答案 、题判断(每题2分,共10分,请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”) 1、f()=sinz是有界函数。 2、函数f(二)=e是以2xi为周期的周期函数。 3、如果=0是f()的奇点,则f()在二0不可导 (×) 4、若函数∫()在=处解析,则f(()也在=解析。 5、的若u(x,y)与v(x,y)都是调和函数,则f(=)=u(x,y)+n(x,y)是解析函 数 × 二、填空题(每题4分,共16分) 则|z|=√2
六、计算题 （每题 8 分，共 16 分） 1、求正弦函数 ttf 0 = sin)( ϖ 的傅氏变换。 2、利用拉氏变换求解微分方程 ⎩ ⎨ ⎧ = ′ = ′′ + ′ =+ − 1)0()0( 34 yy eyyy t 答案 一、题判断（每题 2 分，共 10 分，请在正确的题后打“√”,错误的题后打“×”） 1、 = sin)( zzf 是有界函数 。 （ × ） 2、函数 )( = ezf z 是以2π i 为周期的周期函数。 ( √ ) 3、如果 是0 z (zf )的奇点，则 (zf )在 不可导。 z0 （ × ） 4、若函数 在 处解析，则 也在 解析。 ( )zf z0 n)( zf )( z0 （ √ ） 5、的若 ( ) , yxu 与 ( , yxv )都是调和函数，则 ( ) = ( ) ( + ,, yxivyxuzf ) 是解析函 数 。 ( × ) 二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 1、设 z = i i 1+ 2 则 | z | = 2 ，arg z = 4 π 。 A —３
(2k+)x+n2 3、Ln(-3i)=ln3+(2k ),主值ln(-3i)=l32 4、f()=t2+le'+esin6t,则f()的拉氏变换是3++6 s3(s-1)2(s-2)2+36 、计算题(每题8分,共16分) 1、求正弦函数f()= sin o.l的傅氏变换。 解:方法1 F[f()]=iro(+a0)-6(+a0 方法2 FIf(O]= sino t- e- dt ckob)t -i(o+cb )t =[2xo(+a0)-2m6(+a0 =imo(o+a0)-6(0+a0) 22n(a,“be-e=2(m) 2、利用拉氏变换求解微分方程 y(0)=y(0)=1 解::sY(s)-90(0-)y(0+4sy(s-y0+3(s)=-1 Y(s[s2+4s+3]= s+s+5→f(s)s2+6s+6 (s+1)2(s+3)
2、 =+ 6 i)1( −8i =+ i i)1( 1 (2 ) ln2 4 2 i k e −+ +π 。 3、 Ln（－3 i ）= 1 ln3 (2 ) 2 + − k πi ，主值 ln（－3 i ）= 1 ln3 2 − πi . 4、 )( 2 ++= 2tt 6sin tetettf ，则 的拉氏变换是 tf )( 32 2 21 6 ss s ( 1) ( 2) 36 + + − − + 。 三、计算题 （每题 8 分，共 16 分） 1、求正弦函数 ttf 0 = sin)( ϖ 的傅氏变换。 解：方法 1 F 0 [ ( )] ft iπ[ ( + ) ( + )] 0 = − δ ω ϖ δω ϖ 方法 2 F 0 [ ( )] sin i t f t te ω ϖ +∞ − −∞ = ⋅ ∫ dt 0 0 1 () () [ 2 i ti t e e i ωω ωω +∞ −− −+ −∞ = − ∫ ]dt 0 1 [2π ( + ) 2 ( + )] 2i = − δ ω ϖ πδ ω ϖ 0 0 0 = − iπ[ ( + ) ( + )] δ ω ϖ δω ϖ ( 0 1 2( ) 2π it it ed e ω ω πδ ω ϖ ω +∞ −∞ − = Q ∫ 0 ( ) 0 2( i t e dt ω ω πδω ϖ ) +∞ − − −∞ ∴ = − ∫ ) 2、利用拉氏变换求解微分方程 ⎩ ⎨ ⎧ = ′ = ′′ + ′ =+ − 1)0()0( 34 yy eyyy t 。 解：Q 2 1 ( ) (0) '(0) 4[ ( ) (0)] 3 ( ) 1 s Y s sy y sY s y Y s s − −+ − + = + ∴ 2 1 ( )[ 4 3] 5 1 Ys s s s s + + = ++ + ⇒ 2 2 6 6 ( ) ( 1) ( 3) s s Y s s s + + = + + A —４
①y(1)=Res[Y(s)e”,-1]}+Res[Y(s)e,-3] ②y(t)=L[ ,_1 S+I s 四、解答题(1,3,4,5,6:8分;2:12分;7:6分) 1、求∫(x2+0),其中C是沿曲线y=x2由点=0到点:=1+1 解:C: 原式={(+an2)1+2nt (1+)[(r2+2ri)d=(+ (1+)+]= 3266 2、根据R的取值不同,讨论并计算积分 (+1)=)的值。其中C是不经过 1和z=2的正向圆周|z|=R(R>0)。 解:①当R<1时f ②当1R2时==2h=:2-12m=3m ③当R2时ff 22 dz d=2ni--πi+=πil=0 +1 二+1)(二-2)
① ( ) Re [ ( ) , 1] Re [ ( ) , 3] st st yt sY se sY se = −+ − 7 3 t t 3 t − − ( ) 42 4 =+ − e e ② y t( )= L-1 2 1 2 44 [ ( 1) 1 3 s ss + − 7 3 ] + + + 7 3 t t 3 t − − ( ) 42 4 =+ − e e 四、解答题（1，3，4，5，6：8 分；2：12 分；7：6 分） 1、求∫ + ，其中 C 是沿曲线 由点 c )( dziyx 2 2 = xy z = 0 到点 1+= iz 。 解： C： 2 x t y t ⎧ = ⎨ ⎩ = 即 2 z t it = + 原式= 2 1 ( )(1 2 ) 0 t it ti dt ⎧ ⎪ ⎨ + + ⎪ ⎩ = 3 1 2 3 3 0 0 2 (1 ) ( 2 ) (1 )[ ] 3 4 t + + =+ + i t t i dt i i t ∫ 1 = 1 1 (1 )[ ] 32 66 i + + =− + i 5 i 2、根据 R 的取值不同，讨论并计算积分 ∫ −+ c zz dz )2)(1( 的值。 其中 C 是不经过 z = -1 和 z = 2 的正向圆周 | z | = R ( R > 0 ) 。 解：① 当 R2 时 1 2 1 12 2π [ π π ] 0 c c ( 1)( 2) ( 1)( 2) 3 3 dz dz i i i zz zz =+ = − + +− +− ∫∫ ∫ 2 = A —５
3、已知u(x,y)=y32-3x2y是调和函数,求其共轭调和函数v(x,y)。 解:① 由 3xy +c(x) 又因为 av y2+c(x)=-3y2+3x dv=dx+dy=(-3y+3x dx+(-6xy)dy (x,y)=[m(3x2-3y2)dx-6xydy 3x+ 3b+(-3xy2)B 4、∫(=)=x2-p在何处可导?何处解析?并在可导处求f(z)。 解:令l(x,y)=x2,v(x,y)= u(x,y),v(x,y)可微,(1)且满足aOau_b x=-1 即 仅在x=一直线上可导(5”)且f(=)= 无解析点 5、求将单位圆|z|<1内保形映照到单位圆|w|<1内,且满足∫(=)=0
3、已知 yxyyxu 是调和函数，求其共轭调和函数 。 23 −= 3),( yxv ),( 解：① , uvu v x y y ∂∂∂ ∂ = =− ∂∂ ∂ ∂x 由 2 6 3 ( ) v u xy v xy c y x ∂ ∂ = =− ⇒ =− + ∂ ∂ x 又因为 2 2 (3 3 ) v u y x x y ∂ ∂ =− =− − ∂ ∂ 即 2 2 3 '( ) 3 3 2 − + =− + y cx y x 3 ( ) ⇒ = cx x c + 2 3 ∴ ( , ) 3 v x y xy x c =− + + ② Q 2 2 (3 3 ) (6 ) v u dv dx dy y x dx xy dy x y ∂ ∂ = + =− + +− ∂ ∂ (,) 2 2 (0,0) ( , ) (3 3 ) 6 x y v x y x y dx xydy c = −− ∫ + 2 0 0 =3 6 x y x dx xydy c +− + ∫ ∫ 3 2 = | ( 3 )| 0 0 x y x +− + xy c 3 2 = 3 x − xy c + 4、 −= iyxzf 2 ( ) 在何处可导? 何处解析？ 并在可导处求 ′ zf )( 。 解： 令 2 uxy x vxy y ( , ) , ( , ) = =− Q uxy vxy ( , ), ( , )可微，（1’）且满足 , uvu v x y y x ∂ ∂∂ ∂ = =− ∂ ∂∂ ∂ 即 2 1 0 0 ⎧ x=− ⎨ ⎩ = ∴ 仅在 1 2 x=− 直线上可导 （5’） 且 f z'( ) 1 =− 无解析点 5、求将单位圆 | z | < 1 内保形映照到单位圆 | w | < 1 内， 且满足 0) 2 1 f ( = ， A —６
()=z的分式线性映照。 解 且由f()=0得 3 又∵argf()=即arg(e")= 6、将f(=)= 在1<|z|<3上展开成罗朗级数 (二-1)(-3) 解: f(二)= 其中 (二) - (1<=k3) 7、指出f(=) 在有限复平面上的孤立奇点及类型,并求奇点处的留数 解1:①x=0为f(x)的孤立奇点 lim =lim- →z=0为极点 又∵liml 2→z=0为三阶极点
2 ) 2 1 (arg π f ′ = 的分式线性映照。 解： Q 0 0 1 i z z w e z z − = − 且由 0) 2 1 f ( = 得 1 2 1 2 1 2 1 2 i i z z we e z z θ θ − − = = − − 2 3 ' (2 ) i w e z θ = − 又 Q 1 π arg '( ) 2 2 f = 即 4 π π arg( ) 32 2 i e θ = ⇒ = θ ∴ 2 2121 2 2 i z z we i z z π − − = = − − 6、将 )3)(1( 1 )( −− = zz f z 在 1< | z | < 3 上展开成罗朗级数。 解： 11 1 11 11 () [ ] 2 3 1 2 32 f z zz z z = − =⋅ −⋅ −− − −1 其中： 0 1 11 1 ( ) 33 3 3 1 3 n n z z z +∞ = =− ⋅ =− − − ∑ 1 0 0 111 1 1 1 ( ) 1 1 1 n n z z zz z n n z +∞ +∞ + = = =⋅ = = − − ∑ ∑ ∴ 1 0 0 11 1 () [ ( ) ] 23 3 n n n n z f z z +∞ +∞ + = = =− − ∑ ∑ (1 | | 3) < z < 7、指出 4 2 1 )( z e zf z − = 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。 解 1：① z=0为 f ( )z 的孤立奇点 ② Q 2 2 4 3 0 0 1 2 lim lim 4 z z z z e e → → z z − − = =∞ ⇒ = 0 z 为极点 又Q 2 2 3 4 0 0 1 2 lim[ ] lim 2 1 z z z z e e z → → z − − ⋅ = =− ⇒ = 0 z 为三阶极点 A —７
Re(4,0)=lim[] 解2:(==1(2=)1(2-)21(2=)21(22)+…小 l!2 二=0为三阶极点,且Res(f,0)
③ 2 2 4 0 1 11 Re ( ,0) lim[ ]'' 2! 3 z z z e e s z z → − − = 4 =− 解 2： 234 4 1 (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) ( ) [1 (1 )] 1! 2! 3! 4! zz z z f z z = −+ + + + +L 3 2 21 8 [ zz z 3! =− + + +L] ∴ z=0为三阶极点,且 1 4 Re ( ,0) 3 sf c = − = − A —８