复变函数与积分变换试题与答案 、填空(3分×10) 1.m(-1-3√)的模 幅角 2.-8i的三个单根分别为 3.Ln在 的区域内连续。 4.f(=)=z的解极域为 5.f()=x2-y2+2x的导数f(z)= 7.指数函数的映照特点是 8.幂函数的映照特点是: 9.若F(o)=F[)],则f()=F-f(o) 10.若f(t)满足拉氏积分存在条件,则L[)= 、(10分) 已知v(x)=-1x2+1y,求函数(xy)使函数f(2)=(xy)+m(xy)为 解析函数,且f(0)=0 1
复变函数与积分变换试题与答案 一、填空（3 分×10） 1． −− i)31ln( 的模 ，幅角 。 2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。 3．Lnz 在 的区域内连续。 4． )( = zzf 的解极域为： 。 5． )( 2xyiyxzf 22 = − + 的导数 ′ zf )( = 。 6． =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0, sin Re 3 z z s 。 7．指数函数的映照特点是： 。 8．幂函数的映照特点是： 。 9．若 F ω)( =F [f(t)]，则 tf )( = F )][( 1 ω − f 。 10．若 f（t）满足拉氏积分存在条件，则 L [f(t)]= 。 二、(10 分) 已知 2 2 2 1 2 1 ),( +−= yxyxv ，求函数 使函数 yxu ),( = + yxivyxuzf ),(),()( 为 解析函数，且 f(0)=0。 1
(10分)应用留数的相关定理计算 dz 四、计算积分(5分×2) dz
三、（10 分）应用留数的相关定理计算 ∫ = −− 2|| 6 )3)(1( z zzz dz 四、计算积分（5 分×2） 1．∫ = − 2|| )1( z zz dz 2
2 cOS C:绕点i一周正向任意简单闭曲线 五、(10分)求函数f()=1 在以下各圆环内的罗朗展式。 1.0<2-ik 3
2．∫ c − iz z 3 )( cos C：绕点 i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10 分）求函数 )( 1 )( izz zf − = 在以下各圆环内的罗朗展式。 1． −< iz < 1||0 3
2.1<=-ik+∞ 六、证明以下命题:(5分×2) (1)6(t-t)与e构成一对傅氏变换对
2． −< iz ||1 < +∞ 六、证明以下命题：（5 分×2） （1） )( 0 δ − tt 与 构成一对傅氏变换对。 o iwt e − 4
(2)|e-dt=2ro(o) 七、(10分)应用拉氏变换求方程组{x+y+z=0满足x(0=(0)=(0=0的 y+4′=0 解y(1)。 5
（2） ωπδ= )(2 ∫ ∞+ ∞− ω− dte ti 七、（10 分）应用拉氏变换求方程组 满足 x(0)=y(0)=z(0)=0 的 解 y(t)。 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ′ = + ′ =+ ′ ++ ′ = 04 0 1 zy zyx zyx 5
八、(10分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种 参考答案 ln22+-丌 arc 3.Z不取原点和负实轴4.空集5.26.07将常形域映为角形域 6
八、（10 分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。 参考答案 一、1． 2 2 9 4 2ln + π ， π π arctg 2k 2ln 3 2 + − 2. 3 -i 2i 3 -i 3. Z 不取原点和负实轴 4. 空集 5. 2z 6． 0 7.将常形域映为角形域 6
8角形域映为角形域92F(o)e-do 10.∫。f()e"dt 解:∵ cy+c (5分) ay f∫(=) x ++xy+c ∵f(0)=0 (3分) ∴f(z)=x--(x2-y2)=-(x (2分 三、解:原式=(2分)2m∑Re 0 二°(二-1)(二-3) (2分 Re s =(2分) °(=-1(=-3 (=--2小2分工1n= ∴原式=(2分)2m 3°×236 四、1.解:原式=2>Res 4(3分)z=0 二(=-1) =2m[-1+1=0 (2分) 2.解:原式=-,os”|:m=7(-cos:):=- Z I cOS I=- michl f(=)(1分 (1分) (1分)
8. 角形域映为角形域 9. ∫ ∞+ ∞− ωω π ωω deF i )( 2 1 10. ∫ ∞+ − 0 )( dtetf st 二、解：∵ y u x x v ∂ ∂ −=−= ∂ ∂ x u y y v ∂ ∂ == ∂ ∂ ∴ = xyu + c （5 分） ⎟ ++ cxyyxizf ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= 2 2 2 1 2 1 )( ∵f(0)=0 c=0 （3 分） ∴ 22 22 2 2 )2( 2 )( 2 )( z i xyiyx i yx i xyzf −=+−−=−−= （2 分） 三、解：原式=（2 分） ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− ∑= k k z zzz si , )3)(1( 1 Re2 6 2 1 π 0 z1 = 1 z2 = （2 分） ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− −= ∑= k k z zzz si , )3)(1( 1 Re2 6 4 3 π z3 = 3 z4 ∞= 23 1 2(3, )3)(1( 1 Re 6 6 × =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− 分） zzz s ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ −− =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∞ −− 0, 1 )3 1 )(1 1 ( 1 1 Re2, )3)(1( 1 Re 2 6 6 z zzz s zzz s （ 分） =0 ∴原式=（2 分） 23 1 2 6 × πi × = i 6 3 π − 四、1．解：原式 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − π= ∑= k k z zz si , )1( 1 Re2 2 1 （3 分） z1=0 z2=1 πi −= + ]11[2 =0 （2 分） 2．解：原式 iz z i = = sco ′′ !2 2π iz zi −π= ）（ = cos = −π cosii = −πich1 五、1．解： n n i iz iiz i iiziz iiz iz zf ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −⋅ − = − + ⋅⋅ − = +− ⋅ − = 0 11 1 1 11 )( 1 1 1 )( 1 （1)( 分） （ 分） （ 分） 7
=∑i(-)=∑i(=-0)”(2分) 2.解:f()(1分)= =(1分) (二-i)i+(z-1) (1分) i"(-0)”2(2分) (二-1) i"(二-1) ∫(-t0-d=en tet,=e-leo (3分)∴结论成立 (2)解:∵ 2π(oke-dh=e (2分) ∴2z6(w)与1构成傅氏对 e-dt= 2(o) (2分) sX(S)+Y(s)+SZ(s=-( 七、解:∵{X(s)+sY(s)+Z(S)=0(2)(3分) Y(s)+4sz(s)=0 S(2)-(1): ∴Y(s)= ∴Y(1)=1-e-e=1-cht 八、解:①定义; ②C-R充要条件Th;③y为u的共扼函数10分
（2 分） 1 1 0 )( − ∞ − = ∑ −= n n n izi n n n izi )( 1 ∑ −= ∞ −= 2．解： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⋅ − = −+ ⋅ − = iz iziiz iz i zf 1 1 )( 1 1 )( 1 )( 1 1)( （ 分） （ 分） 2 （1 分） n n iz i iz ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 0 2 )( 1 2 0 )( 11 + ∞ = − = ∑ n n n izi 2 0 )( − −∞ = ∑ −= n n n izi （2 分） 六、1．解：∵ 0 0 )( 0 ti ett ti ti edtett ω ω ω δ − == − − ∞+ ∞− − = ∫ （3 分） ∴结论成立 （2）解：∵ )(2 1 2 1 0 ==ωπδ π =ω ω− ω− ∞+ ∫ ∞− ti ti edwe （2 分） ∴ πδ w)(2 与 1 构成傅氏对 ∴ ωπδ )(2 （2 分） ω = − ∞+ ∫ ∞− dte ti 七、解：∵ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =++ =++ )3(0)(4)( )2(0)()()( )1( 1 )()()( ssZsY sZssYsX S ssZsYssX （3 分） S（2）-（1）： ∴ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⋅ − = ss sY 1 1 1 )( 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − −= − −= 1 1 1 1 2 11 1 1 2 ssss s s （3 分） ∴ chteetY t t −=−−= − 1 2 1 2 1 1)( 八、解：①定义； ②C-R 充要条件 Th； ③v 为 u 的共扼函数 10 分 8