复变函数与积分变换试题与答案 、填空题:(每空3分) 1./√2+2)的三角表达式 2.i 3.设|0k1,|二}=1,则 4.幂级数∑n!="的和函数的解析域 5.分式线性函数、指数函数的映照特点分别是 6.若L[f()=F(s),则Lf(at+b) 简答题:(每题6分) 1.叙述函数∫(=)在区域D内解析的几种等价定义。 2.若=0分别为f()及g()的m阶及m阶零点,则S) f(=) 在二0具有什么性质 3.叙述将上半平面Im()>0保形映照为单位圆盘|wk1且将=o(m(二a0)>0)映照为w=0 的分式线性函数w=e--0产生的关键步骤 三、计算题:(每题7分) 1.求∫(=)=zRe(二)的解析点 2.求f(二)=在2<k<3时的罗朗级数; 3.求积分I==|d,C为沿单位圆(==1)的左半圆从-到的曲线
复变函数与积分变换试题与答案 一、填空题：（每空 3 分） 1． 1 ( 2 2) 2 + i 的三角表达式 。 2． i i = 。 3．设 | | 1, | | 1, z z 0 | | w 映照为 w = 0 的分式线性函数 0 0 i z z w e z z θ − = − 产生的关键步骤。 三、计算题：（每题 7 分） 1．求 f ( ) Re( ) zzz = 的解析点； 2．求 1 ( ) ( 2)( 3 z f z z z ) − = − + 在2 | < < z | 3时的罗朗级数； 3．求积分 || , C I = z dz ∫ C 为沿单位圆(| z | 1) = 的左半圆从 −i 到i 的曲线。 1
4.求积分I 5.求积分I=[sn1 6、求函数(t-2)∫(-2)的傅里叶变换 7.求函数 s+S2+A的拉普拉斯逆变换。 四、证明及解方程(每题6分) 1.证明 e"dt=2no()。 2.解方程:y(t)+[y(r)dr=1,y(0)=0
4．求积分 2 2 ||1 1 ( 9) z I dz z z = = − ∫ 。 5．求积分 || 2 1 sin , z 1 I dz z = = − ∫ 6、求函数( 2 t f − − ) (2t) 的傅里叶变换. 7．求函数 4 2 2 s s + + 5 4 的拉普拉斯逆变换。 四、证明及解方程（每题 6 分） 1．证明： 2 ( i t e dt ω πδ ω) +∞ −∞ = ∫ 。 2．解方程： 。 0 '( ) ( ) 1 , (0) 0 t yt y d y + = τ τ ∫ = 2
标准答案 、填空题:(每题3分共21分) 1.(√y2+i2)的三角表达式cos(+2k丌)+isin(+2k丌)(k=0,±1,±2,…) 2.t=e (k=0,±1,±2,…)。 3.设|0k1,|=|=1,则 4.幂级数∑n!=”的和函数的解析域_空集 5.分式线性函数、指数函数的映照特点分别是:保角性、保圆性、保对称性、 保伸缩性 将带形域映照为角形域 6.若Lf()]=F(s),则L[f(a+b)=-eaF(-) 、简答题:(每题6分共18分) 1.叙述函数∫(=)在区域D内解析的几种等价定义。 答(1)区域D内可导,则称f()在区域D内 (2分) (2)若f()的实部、虚部均为D内的可微函数,且柯西一黎曼方程成立,则称∫()为在D 内的解析函数 (3)若∫(x)的虚部为实部的共轭调和函数,则称∫(=)在区域D内解析 (2分) 2.若0分别为∫(x)及g()的m阶及n阶零点,则8(x) 在二0具有什么性质 答若n>m,则二为8()的n-m阶零点
标准答案 一、填空题：（每题 3 分 共 21 分） 1． 1 ( 2 2) 2 + i 的三角表达式 cos( 2 ) sin( 2 ) ( 0, 1, 2, ) 4 4 ki k k π π + + + = ±± π π L 。 2． i i = 1 (2 ) 2 ( 0, 1, 2, ) k e k − + π = ±± L 。 3．设 | | 1, | | 1, z z 0 0 z ( ) ( ) g z f z 的 阶零点； n m− (2 分) 3
若n=m,则5为() 的可去奇点 (2分) f(二) 若n0保形映照为单位圆盘|k1且将=o(lm(二a0)>0)映照为w=0 的分式线性函数w=e--0产生的关键步骤 答(1)0映照为w=0,E映照为w=∞,有f(=)=A (3分) (2)当二=x时,川=1,有 (2分) (3)=e (Im(=0)>0)使得Im(二)>0映为 (1分) 三、计算题:(每题7分共49分) 解1.求∫()=zRe()的解析点 f(==(x+).x=x+ixy x2, 2x y仅在(0,0)处成立 (5分) f(=)处处不解析。 (2分) 2.求f()= 在2<zk<3时的罗朗级数 解f(=)=÷( 2-22+3)Q2分)11 (2分) 124、(-1 5a53=”(3分)
若 ，则 为 n m= 0 z ( ) ( ) g z f z 的可去奇点； (2 分) 若 ，则 为 n m | | w 映照为 w = 0 的分式线性函数 0 0 i z z w e z z θ − = − 产生的关键步骤。 答（1） 映照为 0 z w = 0 ， 0 z 映照为 w = ∞，有 0 0 ( ) z z f z z z λ − = − (3 分) （2）当 z = x 时， w =1，有 i e θ λ = (2 分) （3） 0 0 0 (Im( ) 0) i z z we z z z θ − = > − 使得 映为 Im( ) 0 z > w <1 (1 分) 三、计算题：（每题 7 分 共 49 分） 解 1．求 f ( ) Re( ) zzz = 的解析点； Q 2 f () ( ) z x iy x x ixy = + ⋅= + ∴ , 2 u x v xy = = , Q 2 u x x ∂ = ∂ ， v x y ∂ = ∂ ， 0 u y ∂ = ∂ ， v y x ∂ = ∂ 仅在(0,0) 处成立 (5 分) ∴ f ( )z 处处不解析。 (2 分) 2．求 1 ( ) ( 2)( 3 z f z z z ) − = − + 在2 | < < z | 3时的罗朗级数； 解 1 1 4 11 1 4 ( ) ( ) 2 [ ] 2 52 3 5 2 1 3( 1) 3 f z zz z z z =+ = + − + − + （ 分） （ 分） 1 0 0 1 2 4 ( 1) 3 5 53 n n n n n n n z z +∞ +∞ + = = − = + ∑ ∑ （ 分） 4
3.求积分I==|c,C为沿单位圆(==1)的左半圆从-到i的曲线。 解∵z=e(2分) =2e"d3分)=2(2分) 4.求积分I 解=20(2分)=2m42-9)-0(3分)=0(2分) -|=l 5.求积分I=sin-dz (0<二-1k+∞)(3分) C_1=1(2分) =2mi(2分) 6、求函数(t-2)f(-21)的傅里叶变换 解∵(t-2)f(-21)=-[-2f(-2)-2f(-21)(2分) F[(t-2)f(-2y=11 22F(o)9-2F[/(-2/)(2分) (-i1)f(1)。-2F(o)。(2分) F'( )(1分) 7.求函数 s4+5s2+4 的拉普拉斯逆变换 ,)(4分) s4+5s2+43s2+1s2+4 ==sint--sin2t(3分)
3．求积分 || , C I = z dz ∫ C 为沿单位圆(| z | 1) = 的左半圆从 −i 到i 的曲线。 解 Q i z e θ = （ 分） 2 ∴ 2 2 3 2 2 i I ie d i π θ π θ − = = ∫ （ 分） （ 分） 4．求积分 2 2 ||1 1 ( 9) z I dz z z = = − ∫ 。 解 2 2 ||1 1 ( 9) z z I dz z = − = ∫ （ 分） 2 2 0 1 2 ( ) | 3 0 2 9 z i z π = = ⋅ ′ = − （ 分） （ 分） 5．求积分 || 2 1 sin , z 1 I dz z = = − ∫ 解 Q 3 5 1 1 11 11 sin (0 | 1| ) 1 1 3! ( 1) 5! ( 1) z zz z z = − + − < − <+ −− − − L ∞ （ 分） 3 ∴ 1 C 1 − = （ 分） 2 ∴ I i = 2π （ 分） 2 6、求函数( 2 t f − − ) (2t) 的傅里叶变换. 解 Q 1 ( 2) ( 2 ) [ 2 ( 2 )] 2 ( 2 )] 2 t f t tf t f t − − =− − − − − （ 分） 2 ∴ F 1 1 [( 2) ( 2 )] 2 2 t ft − − =− ⋅ F 2 [ ( )]| 2 tf t ω ω=− − ⋅ F[ ( 2 )] f − t （ 分） 2 1 4i = F 2 2 1 [( ) ( )] | 2 ( ) | 2 it f t ω F ω ω ω ω =− =− − −⋅ （ 分2 ） 1 ()() 4 2 F F i 2 ω ω = − −− ′ （1分） 7．求函数 4 2 2 s s + + 5 4 的拉普拉斯逆变换。 解 Q 42 2 2 2 21 1 ( ) ss s s 5 43 1 4 = − ++ + + （ 分） 4 ∴ L-1 4 2 2 21 [ ] sin si 5 43 3 t t s s = − + + n 2 （ 分3 ） 5
四、证明及解方程(每题6分共12分) 1.证明:ed=2m6(a)。 证明 d(1)ed=1(2分) 2丌 广1c"do=()(2分) edt=2(o)(2分) 2.解方程:y()+[y(r)dr=1,yO)=0 解∵sY(s)+-Y(s)=-(3分) Y(s)= (1分) y()=sint(2分)
四、证明及解方程（每题 6 分 共 12 分） 1．证明： 2 ( i t e dt ω πδ ω) +∞ −∞ = ∫ 。 证明Q () 1 i t t e dt ω δ +∞ − −∞ = ∫ （ 分） 2 ∴ 1 1 ( ) 2 i t ed t ω ω δ π +∞ −∞ ⋅ = ∫ （ 分2 ） ∴ 2 ( i t e dt ω πδ ω) +∞ −∞ = ∫ （ 分） 2 2．解方程： 。 0 '( ) ( ) 1 , (0) 0 t yt y d y + = τ τ ∫ = 解Q 1 1 sY s Y s () () s s + = （ 分） 3 ∴ 2 1 ( ) 1 Y s s = + （ 分） 1 ∴ yt t ( ) sin = （ 分） 2 6