复变函数与积分变换试题与答案 、填空(3分×10) 1.函数f()在区域D内可导是f()在D内解析的( )条件。 2.1=2在一i处的伸缩率为( 3.z=-√12-2i的指数表示式为( 4.Ln(-1)的主值等于( 5.函数e以( )为周期。 6.设C为简单闭曲线,则在=( 7.若=0为几()的m级极点,则Resf(=),=0]=( 8.若F(O)=Ff(l)( 9.2no6(t-t0)与( )构成一个付立叶变换对 10.已知L[sin]= 则[]=( 计算题(7分×7) 1.求p,m,n的值使得函数f()=my3+nx2y+i(x3+pxy2)为解析函数。 1
复变函数与积分变换试题与答案 一、填空（3 分×10） 1．函数 f(z)在区域 D 内可导是 f(z)在 D 内解析的（ ）条件。 2．w=z 2 在z=-i处的伸缩率为（ ）。 3． z −−= 212 i 的指数表示式为（ ）。 4．Ln(-1)的主值等于（ ）。 5．函数e z 以（ ）为周期。 6．设 C 为简单闭曲线，则 ∫ − c zz dz 0 =（ ）。 7．若z0为f(z)的m级极点，则 zzfs 0 ]),([Re = （ ）。 8．若 F )( =ω F f(t)（ ）。 9． πδ − tt 0 )(2 与（ ）构成一个付立叶变换对。 10．已知 L 1 1 ][sin 2 + = s t ，则 L ] = sin [ t t （ ）。 二、计算题(7 分×7) 1．求 p，m，n 的值使得函数 )( )( 3 2 3 2 = + + + pxyxiynxmyzf 为解析函数。 1
2计第(+: 3.已知调和函数u=2(x-1)y,求解析函数f(x)=+使得f(2)=。 4.把函数 在1<zk2内展开成罗朗级数
2．计算∫ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 3|| − 2 3 1 1 z dz zz 3．已知调和函数 −= )1(2 yxu ，求解析函数 )( = + ivuzf 使得 。 )2( = if 4．把函数 )2)(1( 1 2 zz −+ 在 < z < 2||1 内展开成罗朗级数。 2
5.指出函数f(=) 在扩充复平面上所有孤立奇点并求孤立奇点处 的留数。 6.计算手3
5．指出函数 zz z zf 2 1 )( 2 − − = 在扩充复平面上所有孤立奇点并求孤立奇点处 的留数。 6．计算 dz z ze z z ∫ =2|| −2 1 3
7.利用留数计算积份∫。2+00 三、积分变换(7分×3) 1.设f()= sin oot cos oot(oo为常数),求F[f)] 2.设f(1)以2丌为周期,且在一个周期内的表达式为f(t)= cost0<t≤2丌 <【≤2丌 求L[O]
7．利用留数计算积份 θ + θ ∫ π d 2 0 cos2 1 三、积分变换（7 分×3） 1．设 tttf 0 0 = ω cossin)( ω （ω0 为常数），求 F [f(t)]。 2．设 f(t)以2π 为周期，且在一个周期内的表达式为 求 L [f(t)]。 ⎩ ⎨ ⎧ ≤< ≤< = ππ π 0 2 20cos )( t tt tf 4
3.求方程y"+2y-3y=e-满足条件y(0)=0,y(0)=1的解。 e']-;) s+1 5
3．求方程 t eyyy − ′′ + ′ 32 =− 满足条件 = yy ′ = 1)0(,0)0( 的解。 （L [e -t]= 1 1 s + ）。 5
参考答案 充要条件 5.2m 6.原式2m二。在C内 0不在C内 6
参考答案 一、1． 充要条件 2. 2 3. i e π 6 5 4 − 4. πi 5. 2πi 6. 原式= ⎩ ⎨ ⎧ 不在 内 内在 Cz Czi 0 0 0 2π 6
m1m(x-0)f() my t n 2.原式=(25分) d=(4分)=2mi+6i(1分)=8i -|=3 +=3z+2 (2分) 2(x-1) -x-+2x+C (2分) ∴f(=)=2(x-1)y+i(y2-x2+1) f(2)=i y+C)→c=1(2分) ∴f(=)=2(x-1)y+l(y2-x2+2x+1) (1分) 2 (2分) =∑(-1)"z- =∑Cab (3分) 5.解:z=0,z=2,z=∞ (2分) Reslf(=),0]=lim-2 2 (2分)
7． )()( )!1( 1 1 0 1 0 zfzz dz d iml m m m zz − − − − → 8. ∫ ∞+ ∞− ω ωω π deF i tj )( 2 1 9. 10. 0 2 tj e ω− π ∫ ∞ − π = s + ds arcctgs s 21 1 2 二、1. 解： Pnnyp y v nxy x u −=⇒ ∂ ∂ == ∂ ∂ 22 （3 分） 3 3 3 2 2 2 2 −=⇒−−= ∂ ∂ −=+= ∂ ∂ npyx x v nxmy y u 3m=p ∴ −= = nmp −= 3,1,3 （1 分） 2．原式=（25 分） dz ii i zz z z π=π+π= + + − = ∫∫ = 81624( 2 3 1 1 3|| 3|| 分） （ 分） 3．原式= 2 )( 2 xgyv y v y x u +=⇒ ∂ ∂ == ∂ ∂ （2 分） )1(2 xg )( x v x x u −= ′ ∂ ∂ −=−= ∂ ∂ = − + 2)( + cxxxg 2 （2 分） ∴ )1()1(2)( 22 xyiyxzf +−+−= 2)2( 1) 2 0 0 =⇒++=⇒= = = ccyiyiif y y （2 分） ∴ )12()1(2)( （1 分） 22 xxyiyxzf ++−+−= 4．解： ∑ ∞ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + ＋ ＝ ＝ （－） － 0 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 n nn z z z z z （2 分） ∑ ∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ 0 22 1 2 1 1 2 1 2 1 ＝ ＝－ － － － n n z z z （2 分） ∴ ∑ ∑∑ ∞ ∞ =⋅ + 4 0 1 0 12 2 2 1 2 1 1 1 － ＝ ＋ ＝ （－） ）＋（－ ＝－ － nkk n n n n n nn baC z z z z （3分） 5．解： 20 zzz ＝，＝，＝ ∞ （2 分） 2 1 22 1 lim]0),([Re 0 = − − = → z z zfs z （2 分） 7
Reslf(), 2]=lim (2分) Resf(=),∞]=-1 (1分) 6.解:原式(3分)=2Re (3分)2π+ 2mi. chI (1分) 原式=(2分) (1分) 2+5+1g =lx2+4+1 (1分) d H(z+2-√3)(二+2+√3 (2分)2πiRe 2+√3 +4z+1 (1分)2m 2+√3+2+√3√3 1.解: (3分) 2o(+2)-0(o-20 2解:L=(2分),∫f(le-dt (2分) 1-e∫cose"b=(2分) s+ se 1-c21+s2 (1分) 1-e-2a1+s 3.解:F(y”+2y-3y)=Fe (1分) s2Y(s)-s(s)-Y(0)+2(sY(s)-Y(0)-3(s)= (2分) s+1
2 1 22 1 lim]2),([Re 2 = − − = → z z zfs z （2 分） zfs ∞ = −1]),([Re （1 分） 6．解：原式（3 分） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ +π= ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − π= − 22 231, 1 Re1, 1 Re2 1 2 2 ee i z ze s z ze si z z （ 分） π ⋅= chi 12 （1 分） 7．解： 原式=（2 分） iz dz z z z ⋅ + + ∫ =1|| 2 2 1 2 1 =（1 分） dz zz i ∫ z = + + − 1|| 2 14 2 =（1 分） dz z z i ∫ z = ++−+ − 1|| )32)(32( 2 =（2 分） ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− ++ − π 32, 14 2 Re2 2 zz i si =（1 分） 3 2 3232 2 2 π π = +++− − i i 三、1．解： F [f(t)] ∫∫ ∞+ ∞− − ∞+ ∞− − = dtetf = dtte ωtj ωtj 2sin ω 0 2 1 )( （3 分） )]2()2([[ 2 1 = ωδπ wi 0 −−+ ωωδ 0 （4 分） 2.解：L [f(t)]=（2 分） ∫ − − − π π 2 2 0 )( 1 1 dtetf e st s （2 分）= ∫ − − − π 2π 0 cos 1 1 dtte e st s =（2 分） 2 2 11 1 s ses e s s + + ⋅ − − − π π （1 分）= 2 2 11 1 s s e s + ⋅ − − π 3．解：F ′′ + ′ − yyy )32( =F[e -t] （1 分） 1 1 )(3))0()((2)0()()( 2 + =−−+−− s sYYssYYssYsYs （2 分） 8
Y(s)=+/ s+2 (2分) +2-3(s+1)(s+3)(s-1) Y()=∑ResY(s)e"],zk=-1,1-3]=-e-+3e-e (2分) 9
32 1 1 1 )( 2 −+ + = + ss s sY = )1)(3)(1( 2 −++ + sss s （2 分） = ∑ −−= ]3,1,1,])([Re)( k st zesYstY = t t t eee 3 8 1 8 3 4 1 − − −+− （2 分） 9