复变函数与积分变换试题与答案 、填空题(每题4分,共20分) 1计算√+i= (求Ln(1+i),并指出其主值;求(1+1)2,并指出其主值 f e sinz -d= 计算 e'sinzd=,其中C==1,方向为正向:计算∮,在,其中 C:|z|=1,方向为正向) 2-Sin二 4求留数Res ,0] (求f(3)2在孤立奇点==0处的留数。求ssin 在孤立奇 点z=0处的留数) 5设∫()= tk≤1 0.|t>1 则付氏变换f(1)= 单项选择题(每题4分,共20分) 1、z=1是函数f(二)=co,的 极点, B本性奇点 C可去奇点,D.一级零点【】 (求f()=的奇点,并指出奇点类型;) 2、函数∫(-)= (2+1)(=4+2) 在复平面上的所有有限奇点处留数的和 B.4 C.-1 D.2 3、设C为正向圆周|z}=2,则积分「 e sin z+ 等于 A.24 B.24i, (计算∮+在,其中C1=1,方向为正向:计算在,其中 C:|z|=1,方向为正向) 1 4、设f(x)=--zin-2,则ReSU(),0]为 D.2丌i 设f(x)= etsin2t,则拉氏变换C[f()为
复变函数与积分变换试题与答案 一、填空题（每题 4 分，共 20 分） 1.计算 4 1+ =i (求 ，并指出其主值；求 ，并指出其主值； + iLn )1( i i 2 + )1( 3. 2 5 |z|=1 sin d ( 2) z e z z z = − ∫ (计算 ∫ C z sin dzzez3 ，其中 zC = 1||: ,方向为正向；计算 ∫ − C z dz z ze 2 sin ，其中 zC = 1||: ，方向为正向.) 4.求留数 6 sin Re [ ,0] z z s z − ＝ （求 2 2 )( z e zf z + = 在孤立奇点 z = 0 处的留数。求 2 sin )( z ze zf z = 在孤立奇 点 处的留数 z = 0 .） 5.设 ，则付氏变换F[ 1, | | 1; ( ) 0, | | 1, t f t t ⎧ ≤ = ⎨ ⎩ > f t( )] ___________ = 二、单项选择题（每题 4 分，共 20 分）. 1、 是函数 z =1 1 ( ) cos 1 f z z = − 的 A． 极点， B.本性奇点， C.可去奇点， D.一级零点 【 】 （求 1 1 )( − = z e zf 的奇点，并指出奇点类型；） 2、 函数 ( ) 15 2 24 ( 1) ( 2) z f z z z = + + 3 在复平面上的所有有限奇点处留数的和： A. 1 B. 4 C. －1 D. 2 【 】 3、设 C 为正向圆周| | z = 2 ，则积分 4 3 [ sin ]d ( 1) z C z z e z z + + − ∫ z 等于 A．24， B．24πi ， C.0， D. 12πi 【 】 （计算 ∫ + C z dz z e 5 5 ，其中 zC = 1||: ,方向为正向；计算 ∫ + C z dz z e 3 2 6 ，其中 zC = 1||: ，方向为正向.） 4、设 2 1 1 fz z ( ) sin z z = − ，则 Res[ ( ),0] f z 为. A．1， B．2， C．0， D．2πi 。 【 】 *、设 3 ( ) sin 2 t f z et − = t ，则拉氏变换L[ ( f z)]为
A.4(s+3) 4. 4(S+3) (s+3)2+4(s+3)2+4 (2+4)2(s+3)2+4 解答下列各题(每小题6分,共36分) 1、设a,b是实数,函数f()=x+(ax2+by2)在复平面解析,求a,b (设a,b是实数,函数∫(x)=axy+(bx2+y2)在复平面解析,求a,b,) 2、设∫(-)=el[( Xcos)- ysn y)+i( cos y+ xSin J),计算f() 3、判别级数∑m的收敛性。(判别级数∑的收敛性) 4、求幂级数∑"+5 的收敛半径。(求幂级数S"”的收敛半径) 5、求积分,在,其中C|=2,方向为正向。(求积分∮,,其 中C:|z=2,方向为正向) 6、映射=二把圆周C:|z}=1变成什么曲线?写出曲线的方程。 7、求函数f(1)=e-+δ(t)的 Fourier变换。(求函数f(t)=sint+l(1)的 Fourier变换) 8、求函数f(1)=tsin2t的 Laplace变换。(求函数f(t)=le-sint的 Laplace 变换;利用 Laplace变换求下列广义积分值: dt。) 四、(8分)将函数∫(二)= 分别在圆环域0<x+1k1,1<z+1k+∞展 二(二+1) 开成 Laurent级数。(将函数f(x)= 分别在圆环域0<二+1k1 (二+2)(二+1)
A． 2 4( 3) ( 3) 4 s s + + + ， B. 2 ( 3) [( 3) 4] s s 2 + + + ， C. 2 4 ( 4) s s + 2 ，D. 2 2 4( 3) [( 3) 4] s s + + + 。【 】 三、解答下列各题（每小题 6 分，共 36 分） 1、设 是实数，函数 , ba ++= 22 )()( ibyaxxyzf 在复平面解析，求 。, ba （设 是实数，函数 , ba ++= 22 )()( iybxaxyzf 在复平面解析，求 , ba .） 2、设 ( ) [( cos sin ) ( cos sin )] x f z e x y y y iy y x y = −+ + ，计算 f ′( )z 3、判别级数∑ ∞ =1 2 )cos( n n in 的收敛性。（判别级数∑ ∞ n=1 n n i 的收敛性.） 4、求幂级数 n n n z n ∑ ∞ = + 1 5 2 5 的收敛半径。（求幂级数 n n z n n ∑ ∞ = + 1 5 5 的收敛半径.） 5、求积分 dz z z C ∫ +1 sin 2 ，其中 zC = 2||: ，方向为正向。（求积分 dz z z C ∫ +1 2 ，其 中 ，方向为正向 zC = 2||: .） 6、映射 z z w +1 = 把圆周 变成什么曲线？写出曲线的方程。 zC = 1||: 7、求函数 − t|| += δ tetf )()( 的 Fourier 变换。（求函数 = + tuttf )(sin)( 的 Fourier 变换.） 8、求函数 = 2sin)( tttf 的 Laplace 变换。（求函数 的 Laplace 变换；利用 Laplace 变换求下列广义积分值： ttetf t sin)( − = 2 0 t t e e dt t − − ∞ − ∫ ＋ 。） 四、（8 分）将函数 )1( 1 )( + = zz zf 分别在圆环域 < z + < 1|1|0 ， < z |1|1 +∞<+ 展 开成 Laurent 级数。（将函数 )1)(2( 1 )( ++ = zz zf 分别在圆环域 z <+< 1|1|0
14+1k+展开成 Laurent级数.;将函数f(x)=1 在圆环域 10} 共形地映射成单位圆盘{:|wk}。(求一个函数w=f(),使得它把上半单 位圆盘{z:|-k0}共形地映射成上半平面{w:Im()>0}) 五、(8分)用 Laplace变换解微分方程的初值问题 x"-3x-4x=e+1,x(0)=0,x'(0)=1 (用 Laplace变换解微分方程的初值问题 x"-x'-2x=e+1,x(0)=x(0)=0; 用 Laplace变换解微分方程的初值问题 +a2w2y=f(1) dt y(0)=0,、(f(1)已知) 共3页第3页
z |1|1 +∞ }0)Im(:{ ） 五、（8 分）用 Laplace 变换解微分方程的初值问题： 3 4 t x x xe− ′′ ′ − −= +1， ， x = 0)0( x′(0) 1 = 。 （用 Laplace 变换解微分方程的初值问题： 2 1 t x x xe ′′ ′ −− =+ ， x x (0) (0) 0 = ′ = ； 用 Laplace 变换解微分方程的初值问题： 2 2 ( ) (0) 0,( ( ) dy awy f t dt y ft ⎧ ⎪ + = ⎨ ⎪ ⎩ = 已知） 。） 共 3 页 第 3 页