教学内容释疑解难 第6章 1.若w=f(-)是在D内解析的函数,z0∈D,0=f(0),f"(z0)≠0那么w=f()把二0的一个 邻域内任一小三角形映照成含w0的一个区域内的曲边三角形 答:∵:W=f(二)为D内的解析函数,0=f(二0) =f()将平面上有限区域D映照为w平面上有限区域G.记D1为0邻域内的任 小三角形,对V∈D,有 W=f()∈G且lw-o =--0 叫f(=0)≠0, v属于v0的邻域:|w-w0kf(=0)‖z--0, f(D1)属于W0的邻域:|w-0Nf(=0)‖---0 1-01→|f(0)(x→20), f(D1)与D1形状大致相似,为曲边三角形 2.若w=f(-)在0解析,且∫(二0)≠0,则曲线C经过映照w=f()后在-0处的转动角与伸缩 率跟曲线C的形状和方向无关 答:因为曲线C经过映照w=f(x-)后在二处的转动角与伸缩率分别为argf(=0),|f(二0)|,这 二者的值只与w=f(=)有关,而与经过〓0的曲线的形状及方向无关,所以结论正确 3.若分式线性映照Ws+b C+d(ad-bc≠0)将z平面上圆周C映照为w平面上的圆周C".那 么,C的“内部”整个映成C的“内部”或“外部” 答:设1,二2为C的“内的”任意两点,用直线段把这两点连接起来如果线段二1=2的像为曲线弧 12(或直线段),且w在C之外,w2在C之内,那么弧ww2必与C"交于一点Q,Q在C上,所以 Q必须是C上某一点的像,但从假设,Q又是12上某一点的像,因而就有两个不同的点(一个在圆周 C上,另一个在线段1-2上)被映照成同一点,这与分式线性映照的一一对应相矛盾,故上述结论是正 确的,即C的“内部”不可能部分映照为C"的“内部”,部分映照为C"的“外部” 另外,通过对幂函数将角形域映照为角形域,指数函数将带形域映照为角形域的特点的分析.我们知 道,这两种映照不具有在将z平面上区域D的内部映照为w平面上的区域G的内部(外部)时,同时还将 D的外部映照为G的外部(内部)的性质 a+b 4.①若圆弧C上一点经过WC2+d(ad-bc≠0)映照成W平面上的无穷远点,则C映照成 平面上的一条直线 ②若两相交圆弧的一交点经过w=g+b (ad-bc≠0)映照成w平面上的无穷远点,则这两圆 c+d 弧所围区域映照成角形域. 答:①由于分式线性映照在扩充复平面上具有保圆性,当圆弧C上一点经过
教学内容释疑解难 第 6 章 1. 若 是在 = zfw )( D 内解析的函数， 0)(' ),( , 0 ∈ 0 = 0 zfzfwDz 0 ≠ 那么 把 的一个 邻域内任一小三角形映照成含 的一个区域内的曲边三角形. = zfw )( 0 z w0 答：Q = zfw )( 为 D 内的解析函数, )( 0 0 = zfw =∴ zfw )( 将 平面上有限区域 映照为 平面上有限区域 .记 为 邻域内的任一 小三角形，对 ,有 z D w G D1 0 z ∈∀ Dz )( ∈= Gzfw 且 0|)('| || || 0 0 0 ≠≈ − − zf zz ww , ∴ w 属于 的邻域： w0 |||)('||| 0 0 0 − ≈ − zzzfww , )( ∴ D f 1 属于 的邻域: w0 |||)('||| 0 0 0 − ≈ − zzzfww . Q )( |)('| || || 0 0 0 0 zzzf zz ww → → − − , )( ∴ D f 1 与 形状大致相似,为曲边三角形. D1 2. 若 = zfw )( 在 解析，且 0 z 0)(' zf 0 ≠ ，则曲线C 经过映照 = zfw )( 后在 处的转动角与伸缩 率跟曲线C 的形状和方向无关. 0 z 答：因为曲线 经过映照 后在 处的转动角与伸缩率分别为 ， ，这 二者的值只与 有关,而与经过 的曲线的形状及方向无关,所以结论正确. C = zfw )( 0 z )('arg 0 zf |)('| 0 zf = zfw )( 0 z 3. 若分式线性映照 ≠− )0( + + = bcad dcz baz w 将 平面上圆周 映照为 平面上的圆周 .那 么，C 的“内部”整个映成 的“内部”或“外部”. z C w C' C' 答： 设 , zz 21 为C 的“内的”任意两点，用直线段把这两点连接起来.如果线段 zz 21 的像为曲线弧 ww 21 （或直线段），且 w1在C'之外， 在 w2 C'之内，那么弧 ww 21 必与 交于一点Q ,Q 在 上，所以 必须是 上某一点的像，但从假设，Q 又是 上某一点的像，因而就有两个不同的点（一个在圆周 上，另一个在线段 上）被映照成同一点，这与分式线性映照的一一对应相矛盾，故上述结论是正 确的，即C 的“内部”不可能部分映照为 的“内部”，部分映照为C'的“外部”. C' C' Q C 21 zz C 21 zz C' 另外,通过对幂函数将角形域映照为角形域,指数函数将带形域映照为角形域的特点的分析.我们知 道,这两种映照不具有在将 平面上区域 的内部映照为 平面上的区域 的内部(外部)时,同时还将 的外部映照为G 的外部(内部)的性质. z D w G D 4. ① 若圆弧C 上一点经过 ≠− )0( + + = bcad dcz baz w 映照成 平面上的无穷远点，则 映照成 平面上的一条直线. w C w ② 若两相交圆弧的一交点经过 ≠− )0( + + = bcad dcz baz w 映照成 平面上的无穷远点，则这两圆 弧所围区域映照成角形域. w 答：①由于分式线性映照在扩充复平面上具有保圆性,当圆弧 C 上一点经过
Du az+b ad-bc≠0)映照成W平面上的无穷远点时,说明这段弧映照成了半径为无穷大的圆上的 c+d 圆弧,而半径为无穷大的圆周被看作是直线,因此圆弧C的像为直线. ②两圆弧C1C2相交于二0点,而二0点经w a+b (ad-bc≠0)映照成无穷远点.C1,C2的像由 d ①知为直线C1,C2',而分式线性映照使z与w为一一对应,所以0的像w0为C1,C2的交点,从而 C1,C2所围的区域为角形域 5.当n为正整数时,幂函数w="(0<ag2<)和w=zn(0<arg<2x)将z平面上的 角形域映照成ν平面上的角形域.如若括号内的条件不满足,用此结论需慎重
≠− )0( + + = bcad dcz baz w 映照成 平面上的无穷远点时，说明这段弧映照成了半径为无穷大的圆上的 圆弧，而半径为无穷大的圆周被看作是直线，因此圆弧C 的像为直线. w ②两圆弧 相交于 点，而 点经 21 ,CC 0 z 0 z )0( + ≠− + = bcad cz az w d b 映照成无穷远点. 的像由 ①知为直线 ，而分式线性映照使 与 为一一对应，所以 的像 为 的交点，从而 所围的区域为角形域. 21 ,CC ' ,' CC 21 z w 0 z w0 ' ,' CC 21 ' ,' CC 21 5. 当 n 为正整数时,幂函数 (n = zw n z 2π arg0 << )和 n zw 1 = ( < z < 2arg0 π )将 平面上的 角形域映照成 平面上的角形域.如若括号内的条件不满足,用此结论需慎重. z w